紡織數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一講

歡迎同學(xué)們！2012.9.14主講：顧伯洪高晶助教：潘忠祥電話：67792661(82661)

辦公室：紡織樓4027Score20%homework40%mid-term40%finalCalculating0.9040.3490.0020.000980.00036TextileprocessingMulti-factorsNon-linearrelationshipsTextileQualityFiberYarnsFabricsClothingHigherqualityHighqualityforfiber,yarnandfabricHighqualityformanufacturingHighqualitymachineryOptimizationQualitydesignAestheticdesignDoyourbest概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論－事件發(fā)生的可能性數(shù)理統(tǒng)計(jì)－用數(shù)據(jù)來分析對(duì)象滿足的概率規(guī)律一、必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象1、確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象在一定條件下肯定會(huì)發(fā)生某種確定的結(jié)果如水100oC沸騰，蘋果從樹上掉落，導(dǎo)線通電發(fā)熱2、隨機(jī)現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象即使條件一定，結(jié)果也不可預(yù)測(cè)如擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面或反面？買一張彩票，是否中獎(jiǎng)？射擊運(yùn)動(dòng)員射中的環(huán)數(shù)？第一章隨機(jī)事件與概率§1.1樣本空間隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象，從表面上看，似乎是不可捉摸，其實(shí)不然，人民通過實(shí)踐觀察并且證明，在相同的條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果總能呈現(xiàn)某種規(guī)律性，我們把隨機(jī)現(xiàn)象的這種規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。要面對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究，還有一些要求。二、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，具有如下特點(diǎn)：1、試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行2、每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)3、每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知將會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果當(dāng)目的不同時(shí)，結(jié)果也會(huì)有不同。如天氣：下雨或不下雨。晴、多云、陰、小雨、大雨等。隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果稱為隨機(jī)事件。一般用大寫英文字母A、B、C等表示。例如在0、1、2、…、9中任取一數(shù)。A表示取到0，B表示取到5，C表示取到奇數(shù)，D表示取到3的倍數(shù)。它們都是隨機(jī)事件。不能分解為其它事件的事件稱為基本事件。如A,B能分解為其它事件的事件稱為復(fù)合事件。如C,D每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件稱為必然事件。如骰子點(diǎn)數(shù)大于0一般用Ω表示必然事件。每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件。如骰子點(diǎn)數(shù)大于9一般用φ表示不可能事件它們是隨機(jī)事件的特例。為了研究的方便，引入隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間概念。例如擲一顆骰子，任一隨機(jī)事件A都是樣本空間Ω的一個(gè)子集必然事件等于樣本空間，記作Ω不可能事件是不包含任何樣本點(diǎn)的空集，記作φ基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間，記作Ω,即樣本空間例如隨機(jī)事件都是樣本空間的子集三、事件間的關(guān)系及運(yùn)算1、事件的包含若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即屬于A的每個(gè)樣本點(diǎn)也屬于B,則稱事件B包含事件A。等價(jià)的說法是：B不發(fā)生，則A也不發(fā)生。例如A={4},B={2,4,6},則AB記作BA或AB對(duì)任何事件A,有φ

AΩA用圖形表示，即B文氏圖VennDiagram2、事件的相等若AB且BA，稱事件A與B相等。即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同。記作A=B擲一顆骰子A表示點(diǎn)數(shù)小于3，B表示點(diǎn)數(shù)為1或2則A=B3、事件的并（和）兩個(gè)事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生，即“A或B”，是一個(gè)事件，稱為A與B的并（和）。它是由A與B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作A+B或A∪B擲骰子之例中，若A={1,2,3},B={1,3,5}則A∪B={1,2,3,5}集合的運(yùn)算規(guī)律對(duì)事件也成立，如A∪B=B∪A,(A∪B)∪C=A∪(B∪C)A∪BA,A∪BBA∪φ=A,A∪Ω=Ωn個(gè)事件A1,…,An中至少有一個(gè)發(fā)生，是一個(gè)事件。稱為事件A1,…,An的和。記作A1+…+An或A1∪…∪An可列個(gè)事件A1,A2,…,An,…中至少有一個(gè)發(fā)生稱為事件A1,A2,…,An,…的和若A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4}則A+B+C={1,2,3,4,5}用圖形表示，即AB4、事件的交（積）兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生，即“A且B”,是一個(gè)事件。稱為事件A與B的交（積）。它是由A與B的公共樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作AB或A∩B如A={1,2,3},B={1,3,5}則AB={1,3}它也有運(yùn)算律：A∩B=B∩A(A∩B)∩C=A∩(B∩C)A∩BAA∩BBA∩φ=φA∩Ω=A也可定義多個(gè)事件的交。交與并運(yùn)算還滿足分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)用不同的記號(hào)，可寫為(A+B)C=AC+BC(AB)+C=(A+C)(B+C)用圖形表示，即BA5、事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，是一個(gè)事件，稱為事件A與B的差。它由屬于A但不屬于B的所有樣本點(diǎn)組成。記作A-B如：A={1,2,3},B={1,3,5}則A-B={2},B-A={5}用圖形表示即BA6、互不相容事件若A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ稱事件A與B互不相容或互斥?；コ馐录]有公共的樣本點(diǎn)?；臼录g是互不相容的。如A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5}A與C是互不相容的。A與B是相容的。用圖形表示即AC7、對(duì)立事件事件“非A”,即A不發(fā)生，稱為A的對(duì)立事件。也稱為A的逆事件。它是由樣本空間中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成。記作ā如A={1,2,3},ā={4,5,6}易見Aā=φ,A+ā=Ωā=Ω-A=AA用圖形表示Ωā事件的運(yùn)算性質(zhì)(與集合運(yùn)算類似)(2)結(jié)合律：(1)交換律(3)分配律：(4)德摩根定律：對(duì)n個(gè)事件，有：例1

從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的運(yùn)算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有兩次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。解：三次全部取到合格品：A1A2A3三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品三次中至多有一次取得合格品例2

設(shè)x表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的位置，試說明下列各事件的關(guān)系：A={x|x≤20}B={x|x>3}C={x|x<9}D={x|x<-5}E={x|x≥9}解：ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對(duì)應(yīng)事件。B與C，B與A，E與A相容A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的。符號(hào) 集合含義 事件含義Ω

全集 樣本空間，必然事件Φ

空集 不可能事件ω∈Ω

集合的元素 樣本點(diǎn){ω} 單點(diǎn)集 基本事件AΩ

一個(gè)集合 一個(gè)事件AB A的元素在B中 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A=B 集合A與B相等 事件A與B相等A∪B A與B的所有元素 A與B至少有一個(gè)發(fā)生A∩B A與B的共同元素 A與B同時(shí)發(fā)生ā A的補(bǔ)集 A的對(duì)立事件A-B 在A中而不在B中的元素 A發(fā)生而B不發(fā)生A∩B=φ

A與B無公共元素 A與B互斥§1.2隨機(jī)事件的頻率與概率的定義及性質(zhì)1、隨機(jī)事件的頻率概率的統(tǒng)計(jì)定義。在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性。定義1設(shè)隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值稱為隨機(jī)事件A的頻率，記作，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率常在某個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng)。著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行過的拋硬幣試驗(yàn)結(jié)果：試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)n正面朝上次數(shù)nA頻率fn(A)BuffonFisherPearsonPearson4040100001200024000204849796019120120.50690.49790.50160.5005結(jié)果表明，在拋硬幣的試驗(yàn)中，“正面朝上”這一隨機(jī)事件A的頻率fn(A)穩(wěn)定在數(shù)字0.5的附近。頻率fn(A)的性質(zhì)：(1)非負(fù)性：fn(A)>=0。因?yàn)?，在n次試驗(yàn)中隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)nA>=0，所以：fn(A)=nA/n>=0(2)規(guī)范性：fn(Ω)=1。因?yàn)?，在n次試驗(yàn)中事件Ω發(fā)生的次數(shù)nΩ=n，所以：fn(Ω)=nΩ/n=1概率的統(tǒng)計(jì)定義隨機(jī)事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)字p就是隨機(jī)事件A的概率，記作P(A),即P(A)=p。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率fn(A)將在概率P(A)附近擺動(dòng)，所以：P(A)≈Fn(A)隨機(jī)事件的這個(gè)定義通常稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義。年份新生兒總數(shù)男嬰兒數(shù)女嬰兒數(shù)男嬰概率女嬰概率197736701883 178751.31 48.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.27198058442955288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總計(jì)31394161461524851.4848.52可以認(rèn)為生男孩的概率近似值為0.515這種概率只能通過統(tǒng)計(jì)得出。如某婦產(chǎn)醫(yī)院幾年間出生嬰兒的性別記錄為：2、概率的公理化定義3、概率的性質(zhì)上式通常稱為概率加法公式。例1

擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率解：設(shè)硬幣是均勻的只有正、反面兩個(gè)基本事件。若A表示出現(xiàn)正面。解：為簡(jiǎn)便，每位數(shù)字有10種選擇?；臼录倲?shù)是106。事件A表示找到張某，則A只有一個(gè)基本事件。例2

隨意撥一個(gè)六位電話號(hào)碼，正好找到朋友張某的概率。4、關(guān)于概率的一些解釋。(1)硬幣出現(xiàn)正面的概率為(2)概率不會(huì)自動(dòng)“平衡”是指多次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的頻率接近而不是多次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的次數(shù)接近一半。如 總次數(shù)10