《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽》數(shù)列

h數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要課題，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問題。數(shù)列最基本的是等差數(shù)列與等比數(shù)列。所謂數(shù)列，就是按一定次序排列的一列數(shù)。如果數(shù)列｛an｝的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。從函數(shù)角度看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…n｝)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。為了解數(shù)列競(jìng)賽題，首先要深刻理解并熟練掌握兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)有關(guān)公式，把握它們之間的(同構(gòu))關(guān)系。一、等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為：前n項(xiàng)和公式為：從(1)式可以看出，是的一次數(shù)函()或常數(shù)函數(shù)()，()排在一條直線上，由(2)式知，是的二次函數(shù)()或一次函數(shù)()，且常數(shù)項(xiàng)為0。在等差數(shù)列｛｝中，等差中項(xiàng)：且任意兩項(xiàng)的關(guān)系為：它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式還可推出：若二、等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比。公比通常用字母表示。等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是：前項(xiàng)和公式是：在等比數(shù)列中，等比中項(xiàng)：且任意兩項(xiàng)的關(guān)系為如果等比數(shù)列的公比滿足0VV1,這個(gè)數(shù)列就叫做無窮遞縮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)的和（又叫所有項(xiàng)的和）的公式為：從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式可以推出：另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪，則｛｝是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。重要的不僅是兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)，公式；而且蘊(yùn)含于求和過程當(dāng)中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)智慧，也是極其珍貴的，諸如“倒排相加”（等差數(shù)列），“錯(cuò)位相減”（等比數(shù)列）。數(shù)列中主要有兩大類問題，一是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，二是求數(shù)列的前n項(xiàng)和。三、范例例1.設(shè)ap,aq,am，an是等比數(shù)列｛an｝中的第p、q、m、n項(xiàng)，若p+q=m+n,求證：證明：設(shè)等比數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為，公比為q,則說明：這個(gè)例題是等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，它在解題中常常會(huì)用到。它說明等比數(shù)列中距離兩端（首末兩項(xiàng)）距離等遠(yuǎn)的兩項(xiàng)的乘積等于首末兩項(xiàng)的乘積，即：ai+k^an-k=ai?an對(duì)于等差數(shù)列，同樣有：在等差數(shù)列｛｝中，距離兩端等這的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和。即：a1+k+an-k=a1+an例2?在等差數(shù)列｛｝中，a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a9-a10=A.20B.22C.24D28解：由a4+a12=2a8，a6+a10=2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2（a1+8d）-（a1+9d）=a1+7d=a8=24。故選C例3?已知等差數(shù)列｛an｝滿足a1+a2+a3+_+a101=0，則有()A.a1+a101>0B.%+8100<0C.a3+a99=0D.a51=51[2000年北京春季高考理工類第(13)題]解：顯然，a1+a2+a3+^+a101例4?設(shè)Sn為等差數(shù)列的前項(xiàng)之各，S9=18,,Sn=336，則為()A.16B.21C.9D8例5．設(shè)等差數(shù)列｛｝滿足，且>0，為其前項(xiàng)之和，則中最大的是()。(1995年全國高中聯(lián)賽第1題)(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21所以:S19=S20最大，選(C)注：也可用二次函數(shù)求最值例6．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)的和為972，則這樣的數(shù)列共有()(A)2個(gè)(B)3個(gè)(C)4個(gè)(D)5個(gè)[1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第3題]解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，則依題意有：因?yàn)槭遣恍∮?的自然數(shù),97為素?cái)?shù)，故數(shù)的值必為2x972的約數(shù)(因數(shù))，它只能是97,2x97,972,2x972四者之一。若，則由(*)式知2x97左故只可能有=97，(*)式化為:，這時(shí)(*)有兩組解：'或若，則(*)式化為,，這時(shí)(*)也有兩組解。Tr故符今題設(shè)條件的等差數(shù)列共4個(gè)，分別為：49,50，51，???，145,(共97項(xiàng))1，3，5，…，193，(共97項(xiàng))97，97，97，?，97，(共97項(xiàng))1，1，1，?，1(共972=9409項(xiàng))故選(C)例7?將正奇數(shù)集合｛1,3,5,???｝由小到大按第n組有(2n-1)個(gè)奇數(shù)進(jìn)行分組：｛1｝，｛3，5，7｝，｛9，11，13，15，17｝，?(第一組)(第二組)(第三組)則1991位于第組中。[1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第3題]解：依題意，前n組中共有奇數(shù)1+3+5+?+(2n-1)=n2個(gè)而1991=2x996-1,它是第996個(gè)正奇數(shù)。因?yàn)?312=961V996V1024=322所以:1991應(yīng)在第31+1=32組中。故填32例8．一個(gè)正數(shù),若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列,則該數(shù)為。[1989年全國高中聯(lián)賽試題第4題]解：設(shè)該數(shù)為X,則其整數(shù)部分為[x],小數(shù)部分為x-[x],由已知得：x?(x-[x]=[x]2其中[x]>0,0Vx-[x]V1,解得：例9?等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，用nn表示它的前項(xiàng)之積，則叫(n^N*)最大的是()(A)n9(B)nn(C)n12(D)%［1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題］解：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為前n項(xiàng)和選(C)例10．設(shè)，且兩數(shù)列和均為等差數(shù)列，則［1988年全國高中聯(lián)賽試題］解：依題意，有所以:例11．設(shè)是實(shí)數(shù)，成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則的值是［1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題］解：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以有例12.已知集合M={}及N={}并且M=N,那么()解：由M=N知M中應(yīng)有一元素為0任由lg()有意義知，從而，且，故只有l(wèi)g()=0，xy=1，M={x,1,0}；若y=1,則x=1,M=N={0,1,1}與集合中元素互異性相連，故殲1,從而|兀|=1,兀=±1；由兀=1j=1(含)，由x=-1y=-1,M=N={0,1,-1}此時(shí),從而注：數(shù)列X,X2,X3,…，X2001;以及在x=y=-1的條件下都是周期為2的循環(huán)數(shù)列，S2n-1=-2,S2n=0,故2001并不可怕。例13?已知數(shù)列｛｝滿足3an+1+an=4(n>1)且aj=9,其前n項(xiàng)之和為Sn,則滿足不等式丨Sn-n-6|<的最小整數(shù)n是()［1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題］(A)5(B)6(C)7(D)8解：由3an+1+an=4(n>1)3an+1-3=1-an故數(shù)列傀』是以8為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以當(dāng)n=7時(shí)滿足要求，故選(C)［注］:數(shù)列｛an｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，而是由兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相等的等差數(shù)列：1,1,…,1和等比數(shù)列：的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列，故其前n項(xiàng)和Sn可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個(gè)已知數(shù)列的和，這里，觀察通項(xiàng)結(jié)構(gòu)，利用化歸思想把未知轉(zhuǎn)化為已知。例14?設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2an-1(n=12,???)，數(shù)列｛化｝滿足b1=3,bk+嚴(yán)k+bk(k=1,2,???)求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和。［1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第一題］解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，所以:數(shù)列｛an｝是以a1=1為首項(xiàng)，以q=2為公比的等比數(shù)列，故an=2n-1(4)以上諸式相加，得因?yàn)楸碇芯鶠檎龜?shù)，故q>0，，從而,因此，對(duì)于任意1纟9,有評(píng)注:本題中求和實(shí)為等差數(shù)列an=n與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)成的新數(shù)列的前n項(xiàng)的和,將(5)式兩邊同乘以公比，再錯(cuò)項(xiàng)相減，化歸為等比數(shù)列求各。這種方法本是求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法，它在解決此類問題中非常有用，應(yīng)予掌握。課本P137復(fù)習(xí)參考題三B組題第6題為:求和：S=1+2x+3x+???+nxn-i；2003年北京高考理工類第(16)題：已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，且na1=2,a1+a2+a3=12,(I)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(II)令bn=an^xn，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和公式。都貫穿了“錯(cuò)項(xiàng)相減”方法的應(yīng)用。高階等差數(shù)列一、基本知識(shí)定義：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列｛a｝,把它的連結(jié)兩項(xiàng)a】與&的差a「a記為b,得到一個(gè)新數(shù)列｛b｝,把數(shù)列nn+1nn+1nnnb你為原數(shù)列｛a｝的一階差數(shù)列，如果c=bi-b，貝?數(shù)列｛c｝是｛a｝的二階差數(shù)列依此類推，可得出數(shù)列｛a｝的p+1階差數(shù)列，其中pfN如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列高階等差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的統(tǒng)稱高階等差數(shù)列的性質(zhì)：如果數(shù)列｛a｝是p階等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p-1階等差數(shù)列n⑵數(shù)列｛a｝是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式nn(3)如果數(shù)列｛a｝是p階等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和S是關(guān)于n的p+1次多項(xiàng)式nn高階等差數(shù)列中最重要也最常見的問題是求通項(xiàng)和前項(xiàng)和，更深層次的問題是差分方程的求解，解決問題的基本方法有：逐差法：其出發(fā)點(diǎn)是待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其通項(xiàng)a與前n項(xiàng)和S是確定次數(shù)的多項(xiàng)式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多nn項(xiàng)式的系數(shù)，再代入已知條件解方程組即得⑶裂項(xiàng)相消法：其出發(fā)點(diǎn)是a能寫成a=f(n+1)-f(n)nn(4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問題，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的二、例題精講例1.數(shù)列｛a｝的二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16,且a63=a89=10，求％TOC\o"1-5"\h\zn638951解:法一：顯然｛a｝的二階差數(shù)列｛b｝是公差為16的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a,則b=a+(n-1)X16，于是nnn這是一個(gè)關(guān)于n的二次多項(xiàng)式，其中e的系數(shù)為8,由于a63=a89=10,所以6389a=8(n—63)(n—89)+10,從而a=8(51—63)(51—89)+10=3658n51解：法二：由題意，數(shù)列｛a｝是二階等差數(shù)列，故其通項(xiàng)是n的二次多項(xiàng)式，又a63=a89=10，故可設(shè)n6389a=A(n—63)(n—89)+10n由于｛a｝是二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16n3221即a—2a+a=16，321所以A(3—63)(3—89)+10—2[A(2—63)(2—89)+10]+A(1—63)X(1—89)+10=16解得：A=8a=8(n—63)(n—89)+10，從而a=8(51—63)(51—89)+10=3658n51例2.一個(gè)三階等差數(shù)列｛a｝的前4項(xiàng)依次為30,72,140,240，求其通項(xiàng)公式n解：由性質(zhì)(2),a是n的三次多項(xiàng)式，可設(shè)a=An3+Bm+Cn+Dnn由a=30、a=72、a=140、a=240得1234解得：所以a=n3+7n2+14n+8n例3.已知整數(shù)列｛a｝適合條件：na=3a—3a+a,n=2,3,4,…n+2n+1nn—12a=a+a—2213a—a=9,a=1541求數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和Snn解：設(shè)b=a-a,C=b-bnn+1nnn+1nC=b-b=(a-a)-(a-a)nn+1nn+2n+1n+1n=a-2a+a=(3a-3a+a)-2a+a=a-2a+an+2n+1nn+1nn-1n+1nn+1nn-1=C1(n=2,3,4,…)n-1所以｛C｝是常數(shù)列n由條件(2)得C1=2,則｛a｝是二階等差數(shù)列1n因此由條件⑶知b4=9，從而b1=3，于是a=n241n例4.求證：二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為證明：設(shè)｛a｝的一階差數(shù)列為｛b｝，二階差數(shù)列為｛c｝，由于｛a｝是二階等差數(shù)列，故｛c｝為常數(shù)列nnnnn又c=b-b=a-2a+a121321所以例5.求數(shù)列1,3+5+7,9+11+13+15+17,…的通項(xiàng)解：?jiǎn)栴}等價(jià)于：將正奇數(shù)1,3,5,…按照“第n個(gè)組含有2n-1個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),…然后求第n組中各數(shù)之和an依分組規(guī)則，第n組中的數(shù)恰好構(gòu)成以2為公差的項(xiàng)數(shù)為2n-1的等差數(shù)列，因而確定了第n組中正中央這一項(xiàng)，然后乘以(2n-1)即得an將每一組的正中央一項(xiàng)依次寫出得數(shù)列：1,5,13,25,…這個(gè)數(shù)列恰為一個(gè)二階等差數(shù)列，不難求其通項(xiàng)為2n2-2n+1,故第n組正中央的那一項(xiàng)為2n2-2n+1,從而a=(2n-2n+1)(2n-1)n例6.數(shù)列｛a｝的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且a=5,叮6,彗9,彗16,求｛a｝的n1234n通項(xiàng)公式解：易算出｛a｝的二階差數(shù)列｛c｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則c=2,nnn｛a｝的一階差數(shù)列設(shè)為｛b｝，則b1=1且1從而例7.設(shè)有邊長(zhǎng)為1米的正方形紙一張，若將這張紙剪成一邊長(zhǎng)為別為1厘米、3厘米、…、(2n-l)厘米的正方形，愉好是n個(gè)而不剩余紙，這可能嗎？解：原問題即是是否存在正整數(shù)n,使得12+32+???+(2nT)2=1002由于12+32+???+(2n-1)2=[12+22+???+(2n)2]-[22+42+…+(2n)2]=隨著n的增大而增大，當(dāng)n=19時(shí)=9129<10000,當(dāng)n=20時(shí)=10660>10000故不存在…例&對(duì)于任一實(shí)數(shù)序列A=｛aaa???｝,定義DA為序列｛a?-aa3-a???｝,它的第n項(xiàng)為a1-a，假設(shè)序列D(DA)1232132n+1n的所有項(xiàng)均為1,且a19=a92=0,求％解:設(shè)序列DA的首項(xiàng)為d,則序列DA為｛d,d+1,d+2,???｝,它的第n項(xiàng)是，因此序列A的第n項(xiàng)顯然a是關(guān)于nn的二次多項(xiàng)式，首項(xiàng)等比數(shù)列為由于a19=a92=0,必有所以a1=819例9:設(shè)ab是正整數(shù)，｛｝是首項(xiàng)是a,公差為b的等差數(shù)列，｛｝是首項(xiàng)是b,公比為a的等比數(shù)列俎滿足(1)求a的值。對(duì)于某項(xiàng)存在，使+1=,求b的值及mn的關(guān)系式。在｛｝中，對(duì)滿足(2)的項(xiàng)，求它的前k項(xiàng)的和分析：(1)由題意=a+(n-1)b=由,知a<b<a+b<ab<a+2b顯然正整數(shù)aH1(否則由a+bvab得1+bvb,從而1vO,這與1>0矛盾)所以aM2,bM3再由abva+2b得，由于是b^3上的增函數(shù)，從而3所以a<3,結(jié)合aM2得出a=2；(2)對(duì)于某項(xiàng)存在，使+1=,即[2+(m-1)b]+1=bX2n-1由此得，因?yàn)閎M3,b與均為整數(shù)，所以b=3且=1，即b=3,。（3）在｛｝中，對(duì)滿足（2）的項(xiàng)=2+（m-1）3=m-1有,這就是說，n=1,2,3,…，k得滿足（2）的前k項(xiàng)前k項(xiàng)的和Sk===構(gòu)建新數(shù)列巧解遞推數(shù)列競(jìng)賽題遞推數(shù)列是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的“熱點(diǎn)”之一，由于題目靈活多變，答題難度較大。本文利用構(gòu)建新數(shù)列的統(tǒng)一方法解答此類問題，基本思路是根據(jù)題設(shè)提供的信息，構(gòu)建新的數(shù)列，建立新數(shù)列與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間的關(guān)系，然后通過研究新數(shù)列達(dá)到問題解決之目的。其中，怎樣構(gòu)造新數(shù)列是答題關(guān)鍵。1求通項(xiàng)求通項(xiàng)是遞推數(shù)列競(jìng)賽題的常見題型，這類問題可通過構(gòu)建新數(shù)列進(jìn)行代換，使遞推關(guān)系式簡(jiǎn)化，這樣就把原數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列和線性數(shù)列等容易處理的數(shù)列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。例1、數(shù)列中，，。求。（1981年第22屆IMO預(yù)選題）分析本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡(jiǎn)變形。解：構(gòu)建新數(shù)列，使則，，即化簡(jiǎn)得，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。即2證明不等式這類題一般先通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，然后證明不等式或者對(duì)遞推關(guān)系式先進(jìn)行巧妙變形后再構(gòu)建新數(shù)列，然后根據(jù)已經(jīng)簡(jiǎn)化的新數(shù)列滿足的關(guān)系式證明不等式。例2、設(shè)，，求證：。（1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析利用待證的不等式中含有及遞推關(guān)系式中含有這兩個(gè)信息，考慮進(jìn)行三角代換，構(gòu)建新數(shù)列，使，化簡(jiǎn)遞推關(guān)系式。證明：易知，構(gòu)建新數(shù)列，使，則，又，，從而因此，新數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列?？紤]到當(dāng)時(shí)，有。所以，注：對(duì)型如，，都可采用三角代換。證明是整數(shù)這類題把遞推數(shù)列與數(shù)論知識(shí)結(jié)合在一起，我們可以根據(jù)題目中的信息，構(gòu)建新數(shù)列，找到新的遞推關(guān)系式直接解決，或者再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決。例3、設(shè)數(shù)列滿足，求證：。（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2001年第8期第53頁，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題）分析直接令，轉(zhuǎn)化為證明證明：構(gòu)建新數(shù)列，令則，代入整理得從而于是由已知，，，由上式可知，，，依次類推，，即。例4、設(shè)r為正整數(shù)，定義數(shù)列如下:,求證：（1992年中國臺(tái)北數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析把條件變形為比較與前的系數(shù)及與的足碼，考慮到另一項(xiàng)為，等式兩邊同乘以，容易想到構(gòu)新數(shù)列，使。證明,由已知得構(gòu)建新數(shù)列，則，又||，從而。O解決整除問題一般通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)論知識(shí)解決，也可用數(shù)學(xué)歸納法直接證明。例5、設(shè)數(shù)列滿足，，對(duì)一切，有，求所有被11整除的的一切n值。（1990年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題）分析變形遞推關(guān)系式為，就容易想到怎樣構(gòu)建新數(shù)列了。解,由已知構(gòu)建新數(shù)列則，從而，，，當(dāng)時(shí)，由于被11整除，因而也被11整除。所以，所求n值為，8,及的一切自然數(shù)。證明是完全平方數(shù)這類題初看似乎難以入手，但如能通過構(gòu)建新數(shù)列求出通項(xiàng)，問題也就迎刃而解了例6、設(shè)數(shù)列和滿足，且①求證：是完全平方數(shù)。②（2000年全國高中聯(lián)賽加試題）分析先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數(shù)項(xiàng)6，就可以利用特征根方法求通項(xiàng)，因此可令，易求得。證明：由①式得，代入②得化為構(gòu)建新數(shù)列，，且，由特征方程得兩根，所以當(dāng)，1時(shí)，有解得：則則因?yàn)闉檎紨?shù)，所以，是完全平方數(shù)。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過程中，可以看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問題的共性之所在。數(shù)列能力訓(xùn)練題1：是否存在常數(shù)ab使得等式1X22+2X32+3X42+-+n(n+1)2=解得：所以：當(dāng)a=3,b=11屛=10時(shí)，等式對(duì)n=123成立J再用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，原式對(duì)任意正整數(shù)成立2：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求出d的范圍‘(2)推出S1,S2,S3,…，S12中哪個(gè)值最大，并說明理由解：「⑴另解：解之：另解：一般地，一個(gè)遞減(增)等差數(shù)列，，則Sk最大(或最小)。3：已知非常數(shù)的等差數(shù)列｛an｝的前n