【九年級(jí)數(shù)學(xué)幾何培優(yōu)競(jìng)賽專題】專題9 巧用切線長(zhǎng)定理解題【含答案】

專題9巧用切線長(zhǎng)定理解題【知識(shí)解讀】切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，并且這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.該定理在計(jì)算和證明中應(yīng)用相當(dāng)廣泛，常?？捎脕斫鉀Q以下幾種題型：①求角度；②求線段長(zhǎng)；③證線段相等；④證明線段成比例；⑤證明線段平行；⑥與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的問題.培優(yōu)學(xué)案【典例示范】例1已知⊙0的兩條切線PA和PB相交于點(diǎn)P，與⊙0相切于A，B兩點(diǎn)，C是⊙O上的一點(diǎn)，若∠P=60°，求∠ACB的度數(shù).【提示】由于點(diǎn)C的位置不確定，所以需要分類討論.【跟蹤訓(xùn)練】如圖1-9-1，CA和CB都是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A，B，如果⊙O的半徑為，且AB=6，求∠ACB的度數(shù).圖1-8-20圖1-8-20例2如圖1-9-2①，△ABC中，CA=CB，點(diǎn)O在高CH上，OD⊥CA于點(diǎn)D，OE⊥CB于點(diǎn)E，以O(shè)為圓心，OD為半徑作⊙O.（1）求證：⊙O與CB相切于點(diǎn)E；（2）如圖1-9-2②，若⊙O過點(diǎn)H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積.【提示】（1）由等腰三角形的性質(zhì)易得CH是∠ACB的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得OE=OD，即圓心O到直線CB的距離等于半徑，所以結(jié)論得證；（2）先由等腰三角形的性質(zhì)，得BC=AC=5，BH=AH=3，在Rt△BCH中，由勾股定理得CH=4；再由切線長(zhǎng)定理得BE=BH=3；然后，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則易得△BEF∽△BCH，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得EF的長(zhǎng)，則△BHE的面積=BH·EF.圖1-9-2②圖1-9-2①圖1-9-2②圖1-9-2①【跟蹤訓(xùn)練】如圖1-9-3，在△ABC中，∠ABC=90°，0是AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，連接DB，DE，OC，若AD=2，AE=1，求CD的長(zhǎng).圖1-9-3圖1-9-3例3如圖1-9-4，PA，PB切⊙0于A，B兩點(diǎn).CD切⊙0于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D，若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是（）A.B.C.D.【提示】先利用切線長(zhǎng)定理將△PCD的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成線段PA長(zhǎng)的2倍，構(gòu)造出切線長(zhǎng)定理的基本圖形，利用勾股定理、面積法或者是三角函數(shù)計(jì)算出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，最后將所求的∠APB放在一個(gè)直角三角形中，將它的正切值轉(zhuǎn)化為兩條線段的比值即可得到答案.圖1-9-5圖1-9-4圖1-9-5圖1-9-4【跟蹤訓(xùn)練】如圖1-9-5，⊙A與⊙B外切于點(diǎn)D，PC，PD，PE分別是圓的切線，C，D，E是切點(diǎn)，若∠CED=x°，∠ECD=y°，⊙B的半徑為R，則eq\o(DE,\s\up8(︵）的長(zhǎng)度是（）A.B.C.D.例4如圖1-9-6①所示，AB為⊙O的直徑，AD與⊙0相切于點(diǎn)A，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C為DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB.（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）連接AE，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（如圖②所示）.若AB=，AD=2，求線段BC和EG的長(zhǎng).【提示】（1）欲證明BC為⊙O的切線，依據(jù)切線的判定定理，需證明OB⊥BC，為此要連接OC，OE，設(shè)法證明△OBC≌△OEC，得∠0BC=∠OEC=90°；（2）需順著（1）問結(jié)論，靈活運(yùn)用切線長(zhǎng)定理，勾股定理，相似三角形知識(shí)解答，關(guān)鍵有二：一連接BE，發(fā)現(xiàn)EC=BC=CG；二通過過點(diǎn)D作BG邊上的高構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出CE的長(zhǎng)。圖1-9-4②圖1-9-6①圖1-9-4②圖1-9-6①【跟蹤訓(xùn)練】如圖1－9－7，在梯形ABCD中，AD/BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑作0O，恰與另一腰CD相切于點(diǎn)E，連接OD，OC，BE．（1）求證：OD//BE；（2）若梯形ABCD的面積是48，設(shè)OD＝x，OC＝y(tǒng)，且x＋y＝14，求CD的長(zhǎng)．【提示】（1）由E是切點(diǎn)，故先連接OE，要證OD//BE，需證明一組同位角∠AOD＝∠ABE，而∠ABE是圓周角，根據(jù)圓周角定理可知∠ABE＝∠AOE，則需證明AOD＝∠DOE，即證明RtOAD≌RtOED即可；（2）由兩對(duì)三角形全等易得∠DOC＝90°，則CD＝，由梯形的面積是△DOC的2倍，可知xy＝48，再由x＋y＝14可求CD．例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．探究新知如圖1－9－8①，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．（1）求證：內(nèi)切圓的半徑r1＝1；（2）求tan∠OAG的值；結(jié)論應(yīng)用（1）如圖1－9－8②，若半徑為r2的兩個(gè)等圓⊙O1，⊙O2外切，且⊙O2，與AC，AB相切，⊙O2與BC，AB相切，求r2的值；（2）如圖1－9－8③，若半徑為rn的n個(gè)等圓⊙O1，⊙O2．，…，⊙0n，依次外切，且⊙O1與AC，AB相切，⊙0n與BC，AB相切，⊙O1，⊙O2．，…，⊙0n均與AB相切，求rn的值．【跟蹤訓(xùn)練】閱讀材料：已知，如圖1－9－9①，在面積為S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形．∵S＝SABC＋SoAc＋S0AB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝（a＋b＋c）r．∴r＝圖1－9－9（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖1－9－9②，各邊長(zhǎng)分別為AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；（2）理解應(yīng)用：如圖1－9－9③，在等腰梯形ABCD中，AB/∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，00，與00分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求的值．【提示】（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接QA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過程，r易得；（2）上問中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，采用類比的方法即得結(jié)果，但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，AE＝（AB－CD），可求得AE的長(zhǎng)，BE＝AB－AE，求出BE的長(zhǎng)．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可求得DE的長(zhǎng)，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，則r1，r2易得，進(jìn)而求出的值．

培優(yōu)訓(xùn)練直擊中考1．如圖1－9－10，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜邊AB上的一點(diǎn)O為圓心所作的半圓分別與AC，BC相切于點(diǎn)D，E，則AD為_______．2．如圖1－9－11，△ABC中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，12），B（一5，0），C（9，0）．若△ABC的內(nèi)心為I，則點(diǎn)（）A．（，）B．（，4）C．（1,）D．（1，4）3．如圖1－9－12，CD是OO的直徑，且CD＝2cm，點(diǎn)P為CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B．（1）連接AC，若∠APO＝30°，試證明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①當(dāng)DP＝_____cm時(shí)，四邊形AOBD是菱形；②當(dāng)DP＝______cm時(shí)，四邊形AOBP是正方形4．如圖1－9－13，在梯形AOBC中，AO//CB，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上．P是OB中點(diǎn)，以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑作半圓，D為該半圓與AC的一個(gè)公共點(diǎn)，且OB＝CB＝CD＝4．（1）試說明：AC與半圓相切于點(diǎn)D；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．挑戰(zhàn)競(jìng)賽1．如圖1－9－14，已知AB為⊙0的直徑，AB＝2，AD和BE是圓O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過圓上一點(diǎn)C作⊙O的切線CF，分別交AD，BE于點(diǎn)M，N，連接AC，CB，若∠ABC＝30°，則AM＝_______．2．如圖1－9－15，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D，F(xiàn)，E，若AF，BE的長(zhǎng)是方程x2－13x＋30＝0的兩個(gè)根，則△ABC的面積為_______．3．如圖1－9－16，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，弦AB垂直平分線段OP，點(diǎn)D是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),APB)上任一點(diǎn)（與端點(diǎn)A，B不重合），DE⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)D為圓心，DE