應(yīng)用舉例正余弦定理在實際問題中的應(yīng)用NO課下檢測

一、選擇題1.如圖，從氣球A測得正前方的濟南全運會東荷、西柳兩個場館B、C的俯角分別為α、β，此時氣球的高度為h，則兩個場館B、C間的距離為()\f(hsinαsinβ,sinα－β) \f(hsinβ－α,sinαsinβ)\f(hsinα,sinβsinα－β) \f(hsinβ,sinαsina－β)解析：在Rt△ADC中，AC＝eq\f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理BC＝eq\f(AC,sinα)·sin(β－α)＝eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ).答案：B2．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()\f(17\r(6),2)nmile B．34eq\r(6)nmile\f(17\r(2),2)nmile D．34eq\r(2)nmile解析：如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6).∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(mile/h)．答案：A3．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等．燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，那么燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°解析：如圖，由已知得∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°.又EC∥BD，∴∠CBD＝∠BCE＝60°，則∠ABD＝60°－50°＝10°，∴燈塔A在燈塔B的北偏西10°.答案：B4．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距()A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m解析：設(shè)炮臺頂部為A，兩條船分別為B、C，炮臺底部為D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分別在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.答案：D二、填空題5．一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/解析：如圖，v實＝eq\r(22＋42－2×4×2×cos60°)＝2eq\r(3)(km/h)，所以實際航程為2eq\r(3)×2＝4eq\r(3)(km)．答案：4eq\r(3)6．如圖，在山底測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1000m至S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為________m.解析：如圖，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝30°.AS＝1000，由正弦定理知eq\f(BS,sin15°)＝eq\f(1000,sin30°)，∴BS＝2000sin15°.∴BD＝BS·sin75°＝2000sin15°·cos15°＝1000sin30°＝500，且DC＝ST＝1000sin30°＝500，從而BC＝DC＋DB＝1000(m)．答案：10007．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見燈塔在船的北偏東65°方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是________km.(精確到0.1km)解析：如圖，由條件知，AB＝24×eq\f(15,60)＝6(km)．在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－65°＝115°，∴∠ASB＝35°.由正弦定理，得eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin35°)，∴BS＝eq\f(6sin30°,sin35°)≈.答案：8．(2022·福州高二檢測)某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A、C兩地距離為________km.解析：如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2·cos150°＝49，AC＝7.則A、C兩地距離為7km.答案：7三、解答題9.如圖所示，要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．解：設(shè)電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得：BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理得：BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得：x＝40，∴電視塔高為40m.10．如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈，eq\r(6)≈．解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD＝BA.在△ABC中，eq\f(