創(chuàng)新設(shè)計(jì)極限

理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題第十三章極限第64課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法1．歸納法：由一些事例推出一般結(jié)論的推理方法，特點(diǎn)：特殊→一般2．不完全歸納法：根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法．3．完全歸納法：把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法．與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的．通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法．4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法．1． 根據(jù)下面5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個(gè)圖形中有 ______個(gè)點(diǎn)．

解析：可歸納出第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1＋n(n－1)＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋12．在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球：第2,3,4，…堆最底層(第一層)分別按圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f(3)＝________；f(n)＝________.(答案用n表示)解析：f(3)＝6＋3＋1＝10.觀察題目中的圖示，不難發(fā)現(xiàn)第n堆最底層(第一層)的乒乓球數(shù)an＝1＋2＋3＋…＋n＝，第n堆的乒乓球總數(shù)相當(dāng)于n堆乒乓球的底層數(shù)之和，即f(n)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋答案：103．若數(shù)列{an}中，a1＝3，且an＋1＝

(n∈N*)，則數(shù)列的通項(xiàng)an等于________．解析：由an＋1＝

，a1＝3得，a2＝9＝32.a3＝81＝34＝，a4＝38＝，可推測an＝.答案：4．上圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此 規(guī)律第

n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚________塊．(用含n的代數(shù)式表示)解析：第(1)、(2)、(3)…個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)依次為：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜測第(n)個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)為：12＋(n－1)×4＝4n＋8.答案：4n＋8從若干特殊事例出發(fā)，通過觀察、分析、比較、歸納、猜想出一般結(jié)論，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．這一思想方法對于分析問題和解決問題是非常重要的，特別是在求解存在性或探索性問題時(shí)．利用數(shù)學(xué)歸納法可證明等式、不等式、整除和幾何問題等．【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋…＋n·(n＋1)2

＝(an2＋bn＋c)對一切正整數(shù)n都成立？ 解答：假設(shè)存在a、b、c使等式成立，令n＝1,2,3，得

解之得a＝3，b＝11，c＝10，故對n＝1,2,3等式， 1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝ (3n2＋11n＋10)成立．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＝ (3k2＋11k＋10)成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2]＋(k＋1)·(k＋2)2＝k(k＋1)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]·(3k2＋17k＋24)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]∴n＝k＋1時(shí)等式也成立．由①②可知，對n∈N*等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c＝10，題設(shè)等式對一切n∈N*都成立．變式1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝ ，右邊＝，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有

＝＝＝即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．根據(jù)(1)、(2)可知，對一切n∈N*，等式成立.這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的等式是直接給出的，有時(shí)是根據(jù)條件從前n項(xiàng)入手，通過觀察、猜想，歸納出一個(gè)等式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明．【例2】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*) (1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)若數(shù)列{bn}滿足＝(an＋1)bn(n∈N*)， 證明：{bn}是等差數(shù)列．解答：(1)證明：由an＋2＝3an＋1－2an得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，即 ＝2，∴{an＋1－an}是公比為2的等比數(shù)列．(2)an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n，∴∴an－a1＝2n－2，則an＝2n－1.(3)證明：∵②－①整理得(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0.由b1＝b1，b2＝b1＋(b2－b1)，b3＝b1＋2(b2－b1)，可推測bn＝b1＋(n－1)·(b2－b1)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明，因此{(lán)bn}成等差數(shù)列．變式2.數(shù)列{an}滿足a1＝1，且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1)，bn＝(n≥1)．(1)求b1，b2，b3，b4的值；(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn.解答：(1)a1＝1，故b1＝，a2＝，故b2＝，a3＝，故b3＝＝4，a4＝，故b4＝，(2)由(1)可推測bn＝，可用數(shù)學(xué)歸納法給以證明(略)，由bn＝得anbn＝ ，∴Sn＝.同用數(shù)學(xué)歸納法證明等式一樣，這類題型也通常與數(shù)列的遞推公式或通項(xiàng)公式有關(guān)，待證的不等式的條件可能直接給出，也可能需根據(jù)條件歸納猜想出，再證明．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x－sinx，數(shù)列{an}滿足：0<a1<1，an＋1＝f(an)，n＝1,2,3，…. 證明：(1)0<an＋1<an<1；(2)

證明：(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0<an<1，n＝1,2,3，…. ①當(dāng)n＝1時(shí)，由已知，結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即0<ak<1.因?yàn)?<x<1時(shí)，f′(x) ＝1－cosx>0，所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù)． 又f(x)在[0,1]上連續(xù)，從而f(0)<f(ak)<f(1)，即0<ak＋1<1－sin1<1. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立． 由①②可知，0<an<1對一切正整數(shù)都成立． 又因?yàn)?<an<1時(shí)，an＋1－an＝an－sinan－an＝－sinan<0， 所以an＋1<an.綜上所述0<an＋1<an<1.(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝sinx－x＋x3,0<x<1.由(1)知，當(dāng)0<x<1時(shí)，sinx<x.從而g′(x)＝cosx－1＋=＝0.所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù)．又g(x)在[0,1]上連續(xù)，且g(0)＝0，所以當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0成立．于是g(an)>0，即sinan－an＋

>0.故an＋1<變式3.試證明不等式(a＋b)n－an－bn≥(2n－2)·()n.(其中n∈N*，a>0，b>0) 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左端＝0＝右端，命題成立； 當(dāng)n＝2時(shí)，左端＝2ab＝右端，命題成立； 當(dāng)n＝3時(shí)，左端＝3a2b＋3ab2≥，不等式成立；②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，不等式成立，即(a＋b)k－ak－bk≥(2k－2)·()k當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1＝[(a＋b)k－ak－bk](a＋b)＋abk＋akb≥(2k－2)()k(a＋b)＋abk＋akb≥2(2k－2)()k＋1＋2＝(2k＋1－2)()k＋1，不等式成立，由①②可知不等式對一切n∈N*都成立.【方法規(guī)律】1．利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明等式、不等式、整除問題和幾何問題等．2．要注意不完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法的聯(lián)合使用，比如解決已知數(shù)列的遞 推公式、求通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和等問題．3．使用數(shù)學(xué)歸納法要完成兩步．第一步，要驗(yàn)證“基礎(chǔ)”；第二步，要證明 “遞推”，二者缺一不可．關(guān)鍵在于使用歸納假設(shè)進(jìn)行遞推，這也是數(shù)學(xué)歸 納法的靈活和魅力之所在，要根據(jù)不同問題，加強(qiáng)練習(xí)，逐步掌握.

(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2,3，….(1)求a1，a2；(2)求{an}的通項(xiàng)公式.【答題模板】解答：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0，有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1·(a1－1)－a1＝0，解得a1＝當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝(2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即

－2Sn＋1－anSn＝0.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得：Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)知S1＝a1