生物統(tǒng)計(jì)學(xué)02-10課件

1、碩士研究生課程生物統(tǒng)計(jì)學(xué) Biostatistics第 二 章試驗(yàn)資料的整理與統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算Chapter 2 Collation of Raw Data and Calculation of Statistics 明德 礪志 博學(xué) 篤行目 錄0. 本章提要1. 試驗(yàn)資料的搜集與整理 1.1 試驗(yàn)資料的搜集 (調(diào)查; 試驗(yàn)) 1.2 試驗(yàn)資料的整理 (檢查與核對(duì); 類型; 表; 圖)2. 試驗(yàn)資料統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 2.1 平均數(shù) (算術(shù)平均數(shù); 中位數(shù); 眾數(shù); 幾何平均數(shù)) 2.2 變異數(shù) (極差; 方差; 標(biāo)準(zhǔn)差; 變異系數(shù))第二章 試驗(yàn)資料的整理與統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算本章提要：試驗(yàn)資料的搜集與整理，是

2、數(shù)據(jù)資料處理的首要環(huán)節(jié)。 搜集資料時(shí)常用的方法為調(diào)查和試驗(yàn)；資料的整理，一般通過對(duì)原始資料進(jìn)行檢查、核對(duì)、制作頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來完成。 試驗(yàn)資料都具有集中性和離散性兩種基本特征： 反映集中性的特征值(統(tǒng)計(jì)量)是平均數(shù)，主要包括算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、幾何平均數(shù)等， 而反映離散性的特征值(統(tǒng)計(jì)量)是變異數(shù)，主要包括極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。 對(duì)某種具體事物或現(xiàn)象的觀察結(jié)果，以及來自生物學(xué)試驗(yàn)及調(diào)查的原始數(shù)據(jù)，都稱為資料(data)。 在未整理之前，這些資料一般是分散的、零星的和孤立的，是一堆無序的數(shù)字和符號(hào)。 統(tǒng)計(jì)分析過程就是對(duì)這些資料進(jìn)行整理、分類、計(jì)算，再以圖、表、特征值(統(tǒng)計(jì)量

3、)、方程等反映結(jié)果。 1. 試驗(yàn)資料的搜集與整理1.1 試驗(yàn)資料的搜集樣本資料的搜集(collection)是統(tǒng)計(jì)分析的第一步，也是全部統(tǒng)計(jì)工作的基礎(chǔ)。 資料的來源一般有兩個(gè)：一是調(diào)查，二是試驗(yàn)。 無論是調(diào)查還是試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)原始資料都要求完整和準(zhǔn)確。 要通過樣本無偏差地估計(jì)總體，既要增大樣本容量，又要采用科學(xué)的抽樣方法抽取有代表性的樣本，取得完整而準(zhǔn)確的資料。 與相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析方法相結(jié)合，正確的抽樣方法不僅能節(jié)約人力、物力和財(cái)力，而且能為做出比較準(zhǔn)確的總體估計(jì)和推斷奠定基礎(chǔ)。 生物學(xué)研究中，由于研究的目的和性質(zhì)不同，所采取的抽樣方法也各不相同。 以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)原理為依據(jù)，用來推斷總體的

4、樣本必須是隨機(jī)樣本(random sample)，即以隨機(jī)抽樣(random sampling)法獲得的樣本，因?yàn)橹挥羞@樣才能正確估算抽樣誤差、準(zhǔn)確地推斷總體。 隨機(jī)抽樣必須滿足兩個(gè)條件： 總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的機(jī)會(huì)是均等的； 總體中任意一個(gè)個(gè)體是否被抽中是相互獨(dú)立的，不受其他個(gè)體存在的影響(這一條特別適合于無限總體)。但是，生物學(xué)研究遇到的某些總體屬于有限總體，有時(shí)難以完全符合隨機(jī)樣本的理論要求。1.2 試驗(yàn)資料的整理1.2.1 原始資料的檢查與核對(duì)通過調(diào)查或試驗(yàn)取得原始資料(raw data)，及時(shí)對(duì)全部數(shù)據(jù)進(jìn)行檢查與核對(duì)，然后才能進(jìn)行整理(collation)。 檢查與核對(duì)，就是查驗(yàn)取樣

5、是否有差錯(cuò)、數(shù)據(jù)本身是否有錯(cuò)誤、以及訂正不合理的數(shù)據(jù)，具體涉及到對(duì)原始資料的測(cè)量和記載有無差錯(cuò)、原始資料有無遺失、有無重記或非法合并現(xiàn)象、有無特大或特小的異常值。 對(duì)個(gè)別缺失的數(shù)據(jù)應(yīng)進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)救，對(duì)重復(fù)、錯(cuò)誤和異常值應(yīng)予以刪除或訂正并注明原因，必要時(shí)進(jìn)行復(fù)查或重新試驗(yàn)。 數(shù)據(jù)的檢查與核對(duì)，在統(tǒng)計(jì)分析中是非常重要的步驟。只有經(jīng)過檢查與核實(shí)的資料，在數(shù)據(jù)完整、真實(shí)、可靠方面獲得保證，才能進(jìn)入統(tǒng)計(jì)分析的后續(xù)過程。1.2.2 試驗(yàn)資料的類型對(duì)試驗(yàn)資料進(jìn)行整理、分類，是統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)，必須堅(jiān)持“同質(zhì)”原則?！巴|(zhì)”的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，才能反映事物的共性和本質(zhì)。 試驗(yàn)和調(diào)查資料一般具有兩類性狀：數(shù)量性狀(quan

6、titative character)和質(zhì)量性狀(qualitative character)。數(shù)量性狀是定量的，而質(zhì)量性狀則是定性的。所以資料也可以如此分為二類。1.2.2.1 數(shù)量性狀資料數(shù)量性狀資料(data of quantitative character)，一般是由計(jì)數(shù)和測(cè)量得到的。由計(jì)數(shù)法得到的數(shù)據(jù)稱為計(jì)數(shù)資料(enumeration data)，也稱為非連續(xù)變量資料(data of discontinuous variable)，以正整數(shù)出現(xiàn)。例如，魚尾數(shù)、玉米果穗籽粒行數(shù)、種群內(nèi)個(gè)體數(shù)、白血細(xì)胞數(shù)等，只可能是 1，2，n。 由測(cè)量所得的數(shù)據(jù)稱為計(jì)量資料(measurement

7、 data)，也稱為連續(xù)變量資料(data of continuous variable)。計(jì)量數(shù)據(jù)通常以長度、重量、體積等單位表示，可以帶小數(shù)；其數(shù)值可以精確至十分、百分、千分位等，依試驗(yàn)要求和測(cè)量儀器或工具的精度而定。例如，人體身高、玉米果穗重量、仔豬體重、奶牛產(chǎn)奶量等。 (2) 評(píng)分法(point system)，以數(shù)字劃分等級(jí)，表示某種屬性的強(qiáng)弱差別。例如，小麥感染銹病的嚴(yán)重程度可劃分為 0 (免疫)、1 (高度抵抗)、2 (中度抵抗)、3 (感染)級(jí)；家畜肉質(zhì)可評(píng)為10分、8分、或6分。 經(jīng)過數(shù)量化的質(zhì)量性狀資料就可以參照計(jì)數(shù)和計(jì)量資料統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行處理。1.2.3 頻數(shù)分布表根據(jù)樣本

8、資料的多少確定是否分組。一般樣本容量在30以下的小樣本不必分組，可直接投入統(tǒng)計(jì)分析；如果樣本容量在30以上，就需酌情將數(shù)據(jù)分成若干組。 經(jīng)過分組的數(shù)據(jù)，可以編制頻數(shù)分布表(frequency table)，或繪制頻數(shù)分布圖。1.2.3.1 計(jì)數(shù)資料的整理計(jì)數(shù)資料基本上以單項(xiàng)式分組法(grouping method of monomial)進(jìn)行分組，即以自然的樣本變量值進(jìn)行分組，使每組包含一個(gè)或幾個(gè)變量值，再計(jì)算各組內(nèi)相應(yīng)變量的頻數(shù)、編制頻數(shù)分布表。例如，從某雞場(chǎng)調(diào)查100只來亨雞每個(gè)月的產(chǎn)蛋數(shù)，原始數(shù)據(jù)見表2-1。 每月產(chǎn)蛋數(shù)變動(dòng)在11-17范圍內(nèi)。把這100個(gè)觀測(cè)值按照每月產(chǎn)蛋數(shù)加以歸類，共

9、分7組；將各組所含數(shù)據(jù)的數(shù)目進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得出各組頻數(shù)；計(jì)算出各組的頻率(frequency)和累積頻率(cumulative frequency)，填入表2-2，構(gòu)成每月產(chǎn)蛋數(shù)的頻數(shù)分布表。表2-2 100只來亨雞每月產(chǎn)蛋數(shù)的頻數(shù)分布表每月產(chǎn)蛋數(shù)次數(shù)頻率累積頻率1120.020.021270.070.0913190.190.2814350.350.6315210.210.8416110.110.951750.051.00 由表2-2可知，一堆雜亂無章的原始數(shù)據(jù)，經(jīng)初步整理后就顯示了產(chǎn)蛋概況。其中以每月產(chǎn)蛋數(shù)為14枚者最多。經(jīng)過這樣整理的資料也就便于繼續(xù)分析。 對(duì)于變量較多而變異范圍較大的計(jì)數(shù)資料

10、，若同樣分組，則顯得組數(shù)太多而每組內(nèi)變量數(shù)目較少，容易掩蓋數(shù)據(jù)分布的規(guī)律性。例如，現(xiàn)有某小麥品種的300個(gè)麥穗，穗粒數(shù)為18-62粒；如果按一個(gè)變量分一組，需要分45組，仍然很分散。 此時(shí)酌情按5個(gè)自然變量值分1組可分9組，每組的起止限為：18-22、23-27、28-32、33-37、38-42、43-47、48-52、53-57、58-62。將這300個(gè)穗粒數(shù)資料進(jìn)行如此分組，算出各組變量數(shù)目的頻數(shù)、頻率和累積頻率并制表(表2-3)，就可顯示出分布概況，即大部分麥穗的粒數(shù)在28-52之間，呈現(xiàn)了一定的規(guī)律性。表2-3 小麥品種300個(gè)麥穗穗粒數(shù)的頻數(shù)分布表穗粒數(shù)頻數(shù)頻率累積頻率18 22

11、30.01000.010023 27 180.06000.070028 32 380.12670.196733 37 510.17000.366738 42 680.22670.593443 47 530.17660.770048 52 410.13670.906753 57 220.07330.980058 62 60.02001.00001.2.3.2 計(jì)量資料的整理對(duì)計(jì)量資料一般采用組距式分組法(grouping method of class interval)。分組時(shí)需先確定全距、組數(shù)、組距、各組上下限，然后按觀測(cè)值的大小來歸組。各組的上下限要比觀測(cè)值精確一位。 下面以150尾鰱魚的

12、體長資料(表2-4)為例，說明計(jì)量資料的整理方法和具體步驟。表2-4 150尾鰱魚的體長(cm)-56, 49, 62, 78, 41, 47, 65, 45, 58, 55, 52, 52, 60, 51, 62, 78, 66, 45, 58, 58, 56, 46, 58, 70, 72, 76, 77, 56, 66, 58, 63, 57, 65, 85, 59, 58, 54, 62, 48, 63, 58, 52, 54, 55, 66, 52, 48, 56, 75, 55, 63, 75, 65, 48, 52, 55, 54, 62, 61, 62, 54, 53, 65,

13、 42, 83, 66, 48, 53, 58, 57, 60, 54, 58, 49, 52, 56, 82, 63, 61, 48, 70, 69, 40, 56, 58, 61, 54, 53, 52, 43, 58, 52, 56, 61, 59, 54, 59, 64, 68, 51, 55, 47, 56, 58, 64, 67, 72, 58, 54, 52, 46, 57, 38, 39, 64, 62, 63, 67, 65, 52, 59, 60, 58, 46, 53, 57, 37, 62, 52, 59, 65, 62, 57, 51, 50, 48, 46, 58,

14、 64, 68, 69, 73, 52, 48, 65, 72, 76, 56, 58, 63- (1) 求全距 全距(range)是樣本數(shù)據(jù)資料中最大觀測(cè)數(shù)與最小觀測(cè)數(shù)的差值。它是整個(gè)樣本的變異幅度。由表2-4可以看出，鰱魚體長最大值為 85 cm，最小值為 37 cm，因此，全距 = 85 37 = 48 (cm)。 (2) 確定組數(shù)和組距 根據(jù)樣本觀測(cè)數(shù)的數(shù)目及組距大小來確定組數(shù)(number of classes)，同時(shí)也要兼顧待算樣本統(tǒng)計(jì)量的精度以及計(jì)算是否方便。 組距小組數(shù)自然就多；組數(shù)少組距就相應(yīng)增大。 通常劃分組數(shù)可參照表2-5樣本容量與分組數(shù)的關(guān)系來確定。 表2-4中鰱魚體長

15、的樣本容量為150，查表2-5，組數(shù)為9-12組，這里取10組，則組距應(yīng)為：48 / 10 = 4.8 (cm)為分組方便，以 5 cm 作為組距。 (3) 確定組限和組中值 組限(class limit)是指每組變量值的起止界限。每組有兩個(gè)組限：下限和上限。在確定最小組的下限時(shí)，必須把資料中最小的數(shù)值包括在內(nèi)，因此，下限要比最小值小些。為了計(jì)算方便，組限可取到10分位或5分位數(shù)上。確定最大組的上限時(shí)，必須大于資料中的最大值。 如表2-4中最小值為 37 cm，第一組的下限可定為35.5 cm，上限定為 40.5 cm，即 35.5-40.5 cm為第一組，凡大于 35.5 cm 小于 40.

16、5 cm 的變量均歸于這一組，等于或大于 40.5 cm 的變量列入下一組。為了使各組界限明確，避免重疊，目前在寫法上，每組只寫下限，不寫上限，如表2-6資料分組寫成 35.5，40.5，85.5。 (4) 分組、編制頻數(shù)分布表 確定組數(shù)和各組上、下限后，可按原始資料中各觀測(cè)數(shù)的次序，把各個(gè)數(shù)值歸于各組，即進(jìn)行分組(classification)。一般用“正”字劃計(jì)法或卡片法來統(tǒng)計(jì)各組的觀測(cè)數(shù)次數(shù)。 全部觀測(cè)數(shù)歸組后，即可求出各組的頻數(shù)、頻率和累積頻率，制成一個(gè)頻數(shù)分布表(表2-6)。這種頻數(shù)分布表不僅便于閱讀，而且可根據(jù)它繪制頻數(shù)分布圖，計(jì)算平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量。表2-6 150尾鰱魚體長

17、(cm)的頻數(shù)分布表組限(cm)組中值(cm)頻數(shù)頻率累積頻率35.53830.02000.020040.54340.02670.046745.548170.11330.160050.553280.18670.346755.558400.26660.613360.563250.16670.780065.568170.11330.893370.57360.04000.933375.57870.04670.980080.58320.01330.993385.58810.00671.00001.2.4 頻數(shù)分布圖頻數(shù)分布圖(frequency chart)，用于把頻數(shù)分布信息繪成統(tǒng)計(jì)圖。頻數(shù)分布圖可

18、以更形象而直觀地反映各組變量次數(shù)的分布概況。常用的頻數(shù)分布圖有條形圖、餅圖、直方圖、多邊形圖、散點(diǎn)圖等。1.2.4.1 條形圖(bar chart)又稱柱形圖，適于表示計(jì)數(shù)資料和屬性資料的頻數(shù)分布。橫坐標(biāo)表示變量的自然值，縱坐標(biāo)表示次數(shù)。每個(gè)頻數(shù)在相應(yīng)自然值的所在位置起筆截取某個(gè)寬度，并按其頻數(shù)高度繪成長方形。各長方形之間留有間隔，以示與后面介紹的直方圖不同。圖2-1是100只來亨雞每月產(chǎn)蛋數(shù)的次數(shù)分布條形圖。1.2.4.2 餅圖(pie chart)適于表示計(jì)數(shù)資料和屬性資料的次數(shù)分布。把餅圖的全面積看成 1，求出各觀測(cè)值次數(shù)占觀測(cè)值總數(shù)的百分比(或頻率)，按比例將圓餅分成若干份，并以扇形面

19、積大小分別表示各組變量的比例(圖2-2)。1.2.4.3 直方圖(histogram)又稱矩形圖，適合于表示計(jì)量資料的次數(shù)分布。與條形圖相似，橫坐標(biāo)表示各組組限，縱坐標(biāo)表示次數(shù)。按組距截取一定寬度并按次數(shù)截取高度，再用直線連接起來構(gòu)成長方形。各長方形間沒有間隔，即前組上限與后組下限合并(圖2-3)。1.2.4.4 多邊形圖(polygon chart)也稱折線圖(broken-line chart)，也是表示計(jì)量資料次數(shù)分布的一種方法。以橫坐標(biāo)表示各組組中值，縱坐標(biāo)表示次數(shù)。在各組組中值的垂線上，按該組次數(shù)高度標(biāo)記一個(gè)點(diǎn)；把相鄰的點(diǎn)用直線段順次連接起來，即成多邊形圖(圖2-4)。1.2.4.5

20、 散點(diǎn)圖(Scatter chart)又稱散布圖，適合于表示計(jì)數(shù)資料和計(jì)量資料的次數(shù)分布。橫坐標(biāo)表示 x 變量，縱坐標(biāo)表示 y 變量。由 x值和 y 值確定數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖形中的位置。研究人員根據(jù)圖中各點(diǎn)分布狀態(tài)判斷變量之間的關(guān)系(圖2-5、圖2-6)。 與頻數(shù)分布表相比，頻數(shù)分布圖能更直觀地反映各觀測(cè)資料的中心及其變化趨勢(shì)。同樣，按照資料分組的頻率值也可以繪制頻率分布圖。2. 試驗(yàn)資料統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算由頻數(shù)分布表、圖可知，變量分布具有二種基本特征：集中性和離散性。 集中性(centrality)表達(dá)了變量的重心，或者說反映了以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)。離散性(discreteness)是變量表現(xiàn)的偏

21、離中心而分散、變異的性質(zhì)。為了反映變量分布的這兩個(gè)基本性質(zhì)，就必須計(jì)算它們的統(tǒng)計(jì)量(statistic)。 反映集中性的統(tǒng)計(jì)量是平均數(shù)，包括算術(shù)平均值、中位數(shù)、眾數(shù)、幾何平均數(shù)等；其中最為常用的是算術(shù)平均值。 反映離散性的統(tǒng)計(jì)量為變異數(shù)，包括極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)；其中最為常用的是標(biāo)準(zhǔn)差。2.1 平均數(shù)(mean)是計(jì)量資料的代表值，表示資料中觀測(cè)值的中心位置，并且可作為某組資料代表與其它組資料相比較，以確定二者之間的差異。平均數(shù)主要有以下四種：2.1.1 算術(shù)平均數(shù)(arithmetic mean) 總體或樣本資料中所有觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)(arithme

22、tic mean)。對(duì)于一個(gè)具有 N 個(gè)觀測(cè)值的有限總體，其觀測(cè)數(shù)為 x1，x2，xN，則該總體的算術(shù)平均數(shù)(arithmetic mean of the population)為：(2.1) 對(duì)于具有 n 個(gè)觀測(cè)數(shù) x1，x2，xn 的樣本，其算術(shù)平均數(shù)(arithmetic mean of the sample)為：(2.2) 式(2.1)和式(2.2)中，為求和符號(hào)；xi 表示隨機(jī)變量，其下標(biāo) i 表示變量排列順序； 表示把隨機(jī)變量從第一個(gè)加到最后一個(gè)，也可簡寫為 。 是的估計(jì)值；因 應(yīng)用廣泛，常簡稱為平均數(shù)或均值。2.1.1.1 算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 (1) 直接計(jì)算法 當(dāng)樣本較小時(shí)可

23、根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義直接進(jìn)行。 【例2.1】 隨機(jī)抽取20株小麥，其株高(cm)分別為82，79，85，84，86，84，83，82，83，83，84，81，80，81，82，81，82，82，82，80，求小麥的平均株高。根據(jù)平均數(shù)的定義，由式(2.2)，得： (2) 減去(或加上)常數(shù)法 若變量 xi 的值都較大(或較小)，且接近某一常數(shù) a 時(shí)，可將它們的值都減去(或加上)常數(shù) a，得到一組新的數(shù)據(jù)，然后再計(jì)算平均數(shù)，最后重新加上(或減去)常數(shù) a 即得到 。以減去常數(shù) a 為例，設(shè) y1 = x1 - a，y2 = x2 - a，yn = xn a, 則有 x1 = y1 + a, x

24、2 = y2 + a，xn = yn + a，于是有： (2.4) 【例2.2】利用減去常數(shù)法，計(jì)算例2.1的平均數(shù)。 設(shè) a = 80，則有 y1 = 82 80 = 2，y2 = 79 80 = -1，y20 = 80 80 = 0，代入式(2.4)，得： (3) 加權(quán)平均法 在具有 n 個(gè)觀測(cè)數(shù)的樣本中，如果觀測(cè)數(shù) x1 出現(xiàn) f1 次，觀測(cè)數(shù) x2 出現(xiàn) f2 次，觀測(cè)數(shù) xm 出現(xiàn) fm 次，且 f1 + f2 + + fm = n，這時(shí)則有： (2.5)這里，fi 可理解為 xi 在平均數(shù)中的“權(quán)重(weight)”，即數(shù)值相同的觀測(cè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，因而上式所求得的稱為加權(quán)平均數(shù)(w

25、eighted mean)。 【例2.3】 利用加權(quán)平均法，計(jì)算例2.1的加權(quán)平均數(shù)。先整理20個(gè)小麥株高數(shù)據(jù)如表2-7。表2-7 小麥20個(gè)株高(cm)數(shù)據(jù)的次數(shù)分布株高 x次數(shù) f fxfx27917962418021601280081324319683826492403448332492066784325221168851857225861867396總和f = 20fx = 1646fx2 = 135524由式(2.5)得：2.1.1.2 算術(shù)平均數(shù)的重要特性 (1) 離均差的總和等于零 樣本中各觀測(cè)值與其平均數(shù)之差離均差(deviation from mean)的總和等于零。證明如下

26、：因?yàn)?，所以 ，故：(2.6) (2) 離均差平方和最小 樣本中各觀測(cè)值與其平均數(shù)之差平方的總和，較各觀測(cè)值與任一數(shù)值離差的平方和為小，即離均差平方和 (mean deviation sum of squares)為最小。設(shè) a 為 以外的任何數(shù)值，則 。證明如下：已知 ，因此 因?yàn)?必大于0，所以有：2.1.1.3 算術(shù)平均數(shù)的作用算術(shù)平均數(shù)是描述觀測(cè)資料的重要特征值，它的作用主要有以下兩點(diǎn)： (1) 指出一組數(shù)據(jù)資料中心位置，標(biāo)志著資料所代表性狀的數(shù)量水平和質(zhì)量水平； (2) 作為樣本或資料的代表數(shù)與其他資料進(jìn)行比較。2.1.2 中位數(shù)(median) 將試驗(yàn)或調(diào)查的資料中所有觀測(cè)值依大

27、小順序排列，居于中間位置的觀測(cè)值稱為中位數(shù)(median)，以 Md 表示。當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù) n 為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)是第(n + 1)2位置的觀測(cè)值；當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù) n 為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)是第 n/2 和 n/2 + 1位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的 1/2。2.1.3 眾數(shù)(mode) 資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的中點(diǎn)值(組中值)，稱為眾數(shù)(mode)，以 Mo 表示。2.1.4 幾何平均數(shù)(geometric mean) 資料中有 n 個(gè)觀測(cè)數(shù)，其乘積開 n 次方所得的數(shù)值，稱為幾何平均數(shù)(geometric mean)。幾何平均數(shù)適用于變量 x 為對(duì)數(shù)正態(tài)分布、經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后呈正態(tài)分布的資

28、料。其計(jì)算公式為： (2.3) 上述四種平均數(shù)中，算術(shù)平均數(shù)是最常用的平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)和幾何平均數(shù)使用較少。2.2 變異數(shù)變量的分布具有集中性和離散性兩方面特征，因而只有表示集中性的平均數(shù)是不夠的，還必須計(jì)算變異數(shù)(variance)以度量其變量的離散性或變異性(variability)。用來表示變異性的指標(biāo)較多，常用的有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等，其中以標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)應(yīng)用最為廣泛。2.2.1 極差(range) 又稱全距，它是樣本變量中最大值和最小值之差，一般用R表示。R = max x1，x2，xn min x1，x2，xn (2.8) 例如表2-4資料中，150尾鰱魚體長的極差

29、R = 85 37 = 48 (cm)。 極差在一定程度上能說明樣本波動(dòng)的大小，但它只受樣本中兩個(gè)極端個(gè)體數(shù)值大小的影響，不能代表樣本中所有觀測(cè)值的變異程度，因而只在研究小樣本波動(dòng)性時(shí)使用，具有一定的局限性。2.2.2 方差(variance)為了度量變量的變異程度，對(duì)含有 n 個(gè)觀測(cè)值 x1，x2，xn 的樣本，可以用各觀測(cè)值離均差的大小來表示，但是， ，不能反映樣本的總變異程度。若將離均差先平方再求和，即 ，就可消除上述弊病。但這樣還有一個(gè)缺點(diǎn)，就是離均差平方和常隨樣本容量大小而改變。 為便于比較，用樣本容量 n 來除離均差平方和，得到平均的平方和，簡稱方差(variance)或均方(me

30、an squares, MS)。 樣本方差(sample variance) s2 的計(jì)算公式為：(2.9)總體方差(population variance)2的計(jì)算公式為：(2.10) 式(2.9)中，n - 1為自由度(degree of freedom, df)。式(2.10)中，N 為有限總體容量。s2 是2 的最好估計(jì)值。 比較式(2.9)和式(2.10)，樣本方差不用 n，而是用n - 1為除數(shù)，因?yàn)?是一個(gè)最小的平方和，如果以 n 為除數(shù)，則所得 s2 是2 的偏小估計(jì)。如果用 n - 1替代 n，則可避免偏小估計(jì)的弊端，從而提高用樣本估計(jì)總體變異的精度。 方差是度量資料變異的常

31、用統(tǒng)計(jì)量，在分析數(shù)據(jù)資料的變異特征和統(tǒng)計(jì)推斷中有廣泛用途。2.2.3 標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation, SD) 2.2.3.1 標(biāo)準(zhǔn)差的定義方差雖能反映變量的變異程度，但由于離均差取了平方值，使得它與原始數(shù)據(jù)的數(shù)值和單位都不相適應(yīng)，需要將方差開方還原。方差的平方根值就是標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation, SD)。樣本的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation of the sample) s為： (2.11)總體標(biāo)準(zhǔn)(standard deviation of the population)為： (2.12)2.2.3.2 標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式 要求先計(jì)算樣本平均數(shù)

32、，再按式(2.11)計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差。這樣計(jì)算比較麻煩，而且當(dāng) 為約數(shù)時(shí)，容易引起計(jì)算誤差。所以，通常把 展開、變換，直接用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算：(2.13) 把展開式代入式(2.11)，得： (2.14) 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)遇到數(shù)值較大(或較小)的數(shù)據(jù)時(shí)，為了減化計(jì)算過程，可將各觀測(cè)值都減去(或加上)一個(gè)常數(shù)，所得的 s 不變。 【例2.4】 測(cè)得9名男子前臂長(cm)的樣本數(shù)據(jù)，列于表2-8，試計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)差(設(shè) x = x 45)。表2-8 9名男子前臂長(cm)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算前臂長 xx2x= x - 45x245202500421764-39441936-1l411681-41647220924

33、5025005254722092446211611492401416x = 411x2 = 18841x = 6x2 = 76將表2-8資料按兩種算法的數(shù)據(jù)代入式(2.14)，得： 兩種算法相比，其結(jié)果是一樣的。當(dāng)樣本的變量數(shù)值較大時(shí)，用簡化后的數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 s 可以大大節(jié)約計(jì)算工作量。 對(duì)于已分組的資料，應(yīng)采用加權(quán)的公式進(jìn)行計(jì)算，其公式為： 【例2.5】 根據(jù)表2-7數(shù)據(jù)，計(jì)算20株小麥株高的標(biāo)準(zhǔn)差。 由表2-7可知，fx = 1 646，fx2 = 135 524，代入式(2.15)，得：2.2.3.3 標(biāo)準(zhǔn)差的特性及其作用標(biāo)準(zhǔn)差是衡量變量資料變異程度的最好標(biāo)志，它具有以下幾個(gè)特性： (

34、1) 標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受多個(gè)觀測(cè)值的影響，如果觀測(cè)值與觀測(cè)值間差異較大，其離均差也大，因而標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。 (2) 在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，對(duì)各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)差不變。如果給各觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù) a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大或縮小了 a 倍。 (3) 在正態(tài)分布情況下，一個(gè)樣本變量的分布情況可作如下估計(jì)：在平均數(shù) 兩側(cè)的1s范圍內(nèi)，即 內(nèi)的觀測(cè)值個(gè)數(shù)為觀測(cè)值總個(gè)數(shù)的68.26；在平均數(shù)兩側(cè)的2s范圍內(nèi)，即 內(nèi)的觀測(cè)值個(gè)數(shù)約觀測(cè)值總個(gè)數(shù)的95.45；在平均數(shù)兩側(cè)的3s范圍內(nèi)，即 內(nèi)的觀測(cè)值個(gè)數(shù)約為觀測(cè)值總個(gè)數(shù)的99.73。 標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)表明，它具有以下幾種作用： (1) 表示變量分布

35、的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差小，說明變量的分布比較密集在平均數(shù)附近，標(biāo)準(zhǔn)差大，則表明變量的分布比較離散。因此，可以用標(biāo)準(zhǔn)差的大小判斷隨機(jī)變量波動(dòng)性的大小。 (2) 概括隨機(jī)變量的比例。利用標(biāo)準(zhǔn)差可以概括隨機(jī)變量的次數(shù)分布及其在總體中所占的比例。 (3) 估計(jì)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。即以樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差估算平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。 (4) 進(jìn)行平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)和變異系數(shù)計(jì)算。2.2.4 變異系數(shù)(coefficient of variation)當(dāng)比較兩個(gè)樣本時(shí)，由于兩者的平均數(shù)可能不同，統(tǒng)一用標(biāo)準(zhǔn)差表達(dá)它們的變異程度就不合適，而變異系數(shù)則適應(yīng)這種比較。樣本標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本平均數(shù)，所得商或比值就是變異系數(shù)coeff

36、icient of variation (variability)，一般用CV表示，其公式表達(dá)為： (2.16)【例2.6】 某品種水稻在大田栽植，其穗粒數(shù)為44.6，標(biāo)準(zhǔn)差為17.9，而在豐產(chǎn)田栽植，其穗粒數(shù)為65.0，標(biāo)準(zhǔn)差18.3，問哪種栽植田水稻穗粒數(shù)變異程度較大? 將兩種栽植田內(nèi)水稻穗粒數(shù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差分別代入式(2.16)，得出： 大田水稻穗粒數(shù)的變異系數(shù)為： 豐產(chǎn)田水稻穗粒數(shù)的變異系數(shù)為： 從變異系數(shù)可以看出，雖然大田內(nèi)水稻穗粒數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差較小，但其變異系數(shù)要比豐產(chǎn)田大，說明豐產(chǎn)田水稻穗粒數(shù)的整齊度優(yōu)于大田。思考練習(xí)題 習(xí)題2.1 什么是次數(shù)分布表? 什么是次數(shù)分布圖? 制表和繪圖的基本步驟有哪些? 制表和繪圖時(shí)應(yīng)注意些什么? 習(xí)題2.2 算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)形式上有何不同? 為什么說它們的實(shí)質(zhì)是一致的? 習(xí)題2.3 平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差在統(tǒng)計(jì)分析中有什么用處? 它們各有哪些特性? 習(xí)題2.4 總體和樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差有什么