中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究

1、 15/15中學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究 2 x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E 解析幾何中極點與極線知識的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究 王文彬 極點與極線是圓錐曲線內(nèi)在的幾何特征，在解析幾何中必然有所反映，有所體現(xiàn) .現(xiàn)將 具體研究結(jié)果報告如下： 1.極點與極線的定義 A 1.1 幾何定義 如圖， P 是不在圓錐曲線上的點，過 P 點引 兩條割線依次交圓錐曲線于四點 E, F , G , H ，連接 EH , FG F N E P 交于 N ，連接 EG, FH 交于 M ，則直線 MN 為點 P 對應(yīng)的極線. 若 P 為圓錐曲線上的點，

2、則過 P 點的切線即為極線. 由圖 1 可知，同理 PM 為點 N 對應(yīng)的極線， PN 為點 H B G M 所對應(yīng)的極線. MNP 稱為自極三點形.若連接 MN 交圓錐曲線于 M 點 A, B ，則 P A, PB 恰為圓錐曲線的兩條切線. 事實上，圖 1 也給出了兩切線交點 P 對應(yīng)的極線的一種作法. 圖 1 1.2 代數(shù)定義 已 知 圓 錐 曲 線 : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 則 稱 點 P( x , y ) 和 直 線 0 0 l : A x + C y + y ( D x ) + ( E y) +y 是圓錐曲線 的一對極點和極線. 0 0

3、0 0 x + x 事實上，在圓錐曲線方程中，以 x x 替換 x 2 ，以 0 替換 x (另一變量 y 也是如此) 0 即可得到點 P( x , y ) 極線方程. 特別地： (1)對于橢圓 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y = 1 ，與點 P( x , y ) 對應(yīng)的極線方程為 0 + 0 = 1； 0 0 (2)對于雙曲線 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，與點 P( x , y ) 對應(yīng)的極線方程為 0 - 0 = 1； 0 0 (3)對于拋物線 y 2 = 2 px ，與點 P( x , y ) 對應(yīng)的極線方程為 y y = p ( x +

4、 x) . 0 0 2.極點與極線的基本結(jié)論 定理 1 (1)當(dāng) P 在圓錐曲線 上時，則極線 l 是曲線 在 P 點處的切線； (2)當(dāng) P 在 外時，則極線 l 是曲線 從點 P 所引兩條切線的切點所確定的直線(即切點 弦所在直線)； (3) 當(dāng) P 在 內(nèi)時，則極線 l 是曲線 過點 P 的割線兩端點處的切線交點的軌跡. 證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對 : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，兩邊求 Ax + D 導(dǎo)得 2 A x + 2Cyy + 2D + 2Ey = 0 ，解得 y = - ，于是曲線 在 P 點處的切線斜率 Cy + E Ax +

5、D Ax + D 為 k =- ， 故 切 線 l 的 方 程 為 y - y =- 0 0 0 0 ( x - x ) ， 化 簡 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 點 P 在 曲 線 上 ， 故 有 0 0 0 Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，從中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲線 在 P 點 M x + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0) Ax m + C

6、y n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， 處的切線為 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 . 0 0 0 0 (2)設(shè)過點 P 所作的兩條切線的切點分別為 M ( x , y ), N ( x , y ) ，則由 (1)知，在點 1 1 2 2 M , N 處 的 切 線 方 程 分 別 為 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0= F 1 1 1 1 Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又點 2 2 2 2 P

7、 在切線上，所以有 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 1 0 1 1 1 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ， 0 2 0 2 2 2 P 觀察這兩個式子，可發(fā)現(xiàn)點 M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直線 1 1 2 2 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上， N 圖 2 又 兩 點 確 定 一 條 直 線 ， 故 切 點 弦 MN 所 在 的 直 線 方 程 為 Ax x + Cy y

8、+ D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 . (3)設(shè)曲線 過 P( x , y ) 的弦的兩端點分別為 S ( x , y ), T ( x , y ) ，則由(1)知，曲線在 1 1 2 2 這 兩 點 處 的 切 線 方 程 分 別 為 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和 1 1 1 1 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ， 2 2 2 2 設(shè)兩切線的交點為 Q(m , n ) ，則有 T . 1 1 1 1 Q(m,n) 2 2 2 2 觀察兩式

9、可發(fā)現(xiàn) S ( x , y ), T ( x , y ) 在直線 1 1 2 2 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上， S 圖 3 又兩點確定一條直線，所以直線 ST 的方程為 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直線 ST 過點 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而點 0 0 0 0 0 0 Q(m , n ) 在直線 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y +

10、 y) + F = 0 上. 0 0 0 0 所以兩切線的交點的軌跡方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 . 0 0 0 0 定理 2 若圓錐曲線中有一些極線共點于點 P ，則這些極線相應(yīng)的極點共線于點 P 相 應(yīng)的極線，反之亦然. P B 點 P 的極線 點 P 的極線 P A 圖 4(1) 即極點與極線具有對偶性.如圖 4(1)(2)所示. 圖 4(2) . ) 22 a 2 b 2 c 2 y 2 y 證明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2

11、 1 2 2 2 2 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( ) k OC = + p y p py 3.極點與極線在教材中的體現(xiàn) 極點與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn) 3.1 圓錐曲線的焦點與準(zhǔn)線是一對特殊的極點與極線 如果圓錐曲線是橢圓 x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1 ， 當(dāng) P( x , y ) 為 其 焦 點 F (c , 0 時 ， 極 線 0 0 x x y y a 2 x 2 y 2 0 + 0 = 1 變?yōu)?x = ，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線 - a b 2 c a b 2 = 1 ，當(dāng) x x y

12、 y a 2 P( x , y ) 為其焦點 F (c,0) 時，極線 0 - 0 = 1變?yōu)?x = ，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果 0 0 p 圓錐曲線是拋物線 y 2 = 2 px ，當(dāng) P( x , y ) 為其焦點 F ( ,0) 時，極線 y y = p ( x + x) 變 0 0 0 0 p 為 x =- ，恰是拋物線的準(zhǔn)線. 2 3.2 許多習(xí)題都有極點與極線的背景，均可借助極點與極線方法求解 【例 1】過拋物線 y 2 = 2 px 的焦點的一條直線和此拋物線相交，兩個交點的縱坐標(biāo)為 y , y ，求證： y y = - p 2 . 1 2 1 2 三點對應(yīng)的極線方程分別是 p

13、y 2 1 2 A p y 2 y 2 x =- ， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ， 1 2 C O F B x 由于 A, F , B 三點共線，根據(jù)定理 2 可知，對應(yīng)的 p 三條極線共點，將 x = - 代入后面兩式得 2 圖 5 1 p 2 1 p 2 y y 2 - p 2 y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，兩式相除得 1 = 1 ? y y = - p 2 . 1 2 1 2 2 2 作為課本一習(xí)題，2001 年全國高考試卷 19 題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明 這一高考題. 設(shè)拋物線 y 2 = 2 px

14、的焦點為 F ，過焦點 F 的直線交拋物線于兩點 A, B ，點 C 在拋物線的準(zhǔn)線上，且 BC 平行于 x 軸，證明直線 AC 必過原點. 簡證：如圖 5，設(shè) Ax y )Bx, y) 1 1 2 2 p ，則 C (- , y 2 2 ， 從而 k O A = y 1 = x 1 2 p y ， 1 - 2 2 =- 點. 3.3 教材中涉及到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問題，均可化為極點與 圓錐曲線的位置關(guān)系問題來解決 【例 2】(1)已知拋物線的方程為 y 2 = 4 x ，直線 l 過定點 P(-2,1) ，斜率為 k ，問 k 為 何值時，直線 l 與拋物線只有一個公共點，有兩個公

15、共點，沒有公共點？ (2)已知雙曲線 x 2 - 是線段 AB 的中點？ y 2 2 = 1 ，過點 P(1,1)能否作直線 l ，與雙曲線交于 A, B 兩點，且 P x + 0 ，故 ? ， ? 2ky + y = 2 x ? 0 k 當(dāng) k 0 時， ? ， 直 線 l 與 拋 物 線 有 兩 個 公 共 點 ? P( x , y ) 在 拋 物 線 外 2 ? y = ? 0 2 故 ? ，兩式相減得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ?(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2 ? 2 . 解：(1)設(shè)點 P( x

16、 , -1), A( x , y ), B( x , y ) ， A, B, F 三點共線，故相應(yīng)的三極線共點于 P( x , -1) ，代入極線方程得 ? 1 0 x x = 2( y - 1) ? 2 0 解： (1)直線 l 的方程為 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 設(shè)直線 l 對應(yīng)的極點為 P( x , y ) ，則相應(yīng)的極線應(yīng)為 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0 y ? 1 x = + 2 0 0 ? 0 k ? y 2 4 x ? 0 0 4 1 1 1 4( + 2) ，解得 -1 時直

17、線與拋物線沒有公共點. 2 (2)設(shè) A( x , y ) ，則由 P 是線段 AB 的中點得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在雙曲線上， 0 ? y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 0 0 是點 (2, 2) 對應(yīng)的極線，但點 (2, 2) 在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與 雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在. 4.極點與極線在各種考試中的深層體現(xiàn) 4.1 高考試題中的極點與極線 極點與極線作為具體的知識點盡管不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也 不屬于高考考查的范圍，但是極點與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然

18、 會有所反映.事實上，極點與極線的知識常常是解析幾何高考試題的命題背景 【例 3】(2006 年全國試卷 II21)已知拋物線 x 2 = 4 y 的焦點為 F ， A, B 是拋物線上的兩動點，且 y B AF = F B( 0) ，過 A, B 兩點分別作拋物線的切線， 并設(shè)其交點為 P . F (1)證明 FP ? AB 為定值； (2)設(shè) ?ABP 的面積為 S ，寫出 S = f ( ) 的表達(dá)式， 并求 S 的最小值. A O P x 0 1 1 2 2 圖 6 F , A, B 三點對應(yīng)的極線方程分別為 y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y

19、+ y) ，由于 1 1 2 2 0 ? x x = 2( y - 1) 1 2 ， 兩式相減得 ( x - x ) x = 2( y - y ) . 1 2 1 2 又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ? AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 0 2 1 2 1 2 1 2 1 (2)設(shè) AB 的方程為 y = kx + 1 ，與拋物線的極線方程 x x = 2( y + y) 對比可知直線 AB 對應(yīng)的極點為 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦長公式得

20、 AB = 4(1+ k 2) ，所 以 2 y + - 2 1 k 設(shè) AB : y - 2 = k ( x - ) ， 可 化 為 = x ， 故 直 線 AB 對 應(yīng) 的 極 點 為 2 = k k + ? 3 2 ? k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2 ? y = 2 2 ? 2 2 2 4 2 4 4 FP ? FA cos AFP = = 2 4 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ? FA FP FP x 2 + ( x 2 - )2 4 4 1 1 x + x FP ? FB 同理 cos AFP = = S ?ABP = 1 2 AB FP =

21、2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) . 顯然，當(dāng) k = 0 時， S 取最小值 4 . 【例 4】(2005 江西卷 22)設(shè)拋物線 C : y = x 2 的焦點為 F ，動點 P 在直線 l : x - y - 2 = 0 上運動，過 P 作拋物線的兩條切線 P A, PB ， 且與拋物線分別相切于 A, B 兩點. (1)求 ?APB 的重心 G 的軌跡方程； y B 與 (2)證明 PFA = PFB . 解：(1)設(shè)點 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ， 0 0 1 1 2 2 y + y 0 = x x 對比知直線 l : x - y

22、 - 2 = 0 對應(yīng)的 0 A F O P l x 1 極點為 ( , 2) ， P 為直線 l 上的動點，則點 P 對應(yīng) 2 圖 7 1 的極線 AB 必恒過點 ( , 2) . 2 k 2 2 2 2 k k k ( , - 2 )， 將 直 線 AB 的 方 程 代 入 拋 物 線 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2 x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ?APB 的重心 G 的軌跡方程為 1 2 1 2 1 2 ? k ? x = 1 ? ，消去 k 即得 y = (4 x 2

23、 - x + 2) . k k 3 = 3 3 k k k (2)由(1)可設(shè)點 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) . 1 1 1 2 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x + 1 1 2 1 1 2 1 1 FP ( x

24、2 + ) 1 x x + 1 2 FP ? FB FP 1 4 . 所以有 PFA = PFB . 評析：上述解法不僅簡潔易懂，而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點 共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.這里不再一一列舉. 4.2 競賽試題中的極點與極線 作為更高要求的數(shù)學(xué)競賽，有關(guān)極點與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視. A B 2 a b 2 2a y )2 】 ( 評析：該題實質(zhì)上就是求橢圓 + 】( 點 評析：顯然該定直線為點 M ( , ) 對應(yīng)的極線： + = 1 . . 【例 5】(2002 澳大利亞國家數(shù)學(xué)競賽)已知 ?ABC 為銳角三角形，以 AB 為直

25、徑的 K 分別交 AC, BC 于 P , Q ，分別過 A 和 Q 作 K 的兩條切線交于點 R ，分別過 B 和 P 作 K 的兩條切線交于點 S ，證明點 C 在線段 RS 上. R R (-a,y 2) y C C P Q S P S (a,y 1) Q K 下面將圓加強為橢圓，并給出證明. A 圖 8 K B x 證明：以 AB 為 x 軸，線段 AB 為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為 x 2 y 2 + a b 2 = 1 ， - x y y 并設(shè)點 S (a, y ), R(-a, y ) ，則 R 點對應(yīng)的極線 AQ : + 2 = 1 ，代入橢圓方程解得點 1 2 a(

26、 y 2 - b 2 ) 2b 2 y y Q( , 2 ) ， 直 線 B Q: = - 2 ( x - a ， 同 理 我 們 可 以 得 到 直 線 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2 y y - y 2 y y AP : y = 1 ( x + a) ，將直線 BQ 的方程與 AP 的方程聯(lián)立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可驗 a y + y y + y 1 2 1 2 y - y 證其坐標(biāo)滿足直線 RS : y - y = 1 2 ( x - a) 的方程，所以三點共線. 1 評析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1 ，而用極點與極線方法證明不僅顯得

27、簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上. 【例 6】中等數(shù)學(xué)2006 年第 8 期 P 42)過橢圓 x 2 y 2 + = 1 內(nèi)一點 M (3,2) 作直線 AB 25 9 與橢圓交于點 A, B ，作直線 C D 與橢圓交于點 C, D ，過 A, B 分別作橢圓的切線交于點 P ， 過 C, D 分別作橢圓的切線交于點 Q ，求 P , Q 連線所在的直線方程 x 2 y 2 25 9 = 1 內(nèi)一點 M (3,2) 對應(yīng)的極線方程，由定理 1 立即可得答案為 3x 2 y + = 1 . 25 9 【例 7 中學(xué)數(shù)學(xué)2006 年第 7 期新題征展 77)設(shè)橢圓方程為 x 2 1 1 + y 2 = 1 ， M ( , ) ， 2 2 2 過點 M 的動直線與橢圓相交于點 A, B ，點 A, B 處的切線相交于點 N ，求證點 N