曲線與方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、曲線與方程的授課方案曲線與方程的授課方案9/9曲線與方程的授課方案曲線與方程的授課方案上海曹楊二中桂思銘一、內(nèi)容和內(nèi)容解析曲線與方程為選修2-1的內(nèi)容，它刻畫(huà)了曲線（幾何圖形）和方程（代數(shù)算式）間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;同時(shí)，介紹了求解曲線方程的一般方法，并要修業(yè)生能經(jīng)過(guò)方程來(lái)辦理一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，如依照已知條件確定方程中的參數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等問(wèn)題.學(xué)生在這本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)從前，已經(jīng)有了直線方程及圓方程的相關(guān)知識(shí)，在這里進(jìn)一步研究曲線與方程的關(guān)系有著承上啟下的作用，學(xué)生能夠依照已經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)進(jìn)行一般的概括總結(jié)，用已有經(jīng)驗(yàn)來(lái)加深對(duì)定義的認(rèn)識(shí)，廓清曲線與方程之間的關(guān)系，進(jìn)而能更深入理解解析幾何的實(shí)

2、質(zhì)，同時(shí)也為后繼圓錐曲線的學(xué)習(xí)確定一個(gè)基礎(chǔ).二目標(biāo)和目標(biāo)解析授課目的：理解曲線的方程、方程的曲線的見(jiàn)解；能依照給出的條件求曲線的方程；經(jīng)歷對(duì)曲線方程定義的概括理解過(guò)程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的慎重，借助于技術(shù)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.上述授課目的詳盡表現(xiàn)在:（1）能辨析給出的方程是否是某個(gè)曲線的方程;（2）給出一些熟悉的曲線的部分圖像后能確定變量的取值范圍;（3）掌握求曲線方程的基本流程;4）能利用曲線方程的定義求解軌跡方程;5）能比較求曲線方程的步驟來(lái)反思自己的求解過(guò)程.授課的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)曲線與方程的見(jiàn)解的理解和掌握.三授課識(shí)題診斷新課標(biāo)教材將這部分內(nèi)容作為選修內(nèi)容，從前的學(xué)習(xí)為學(xué)生供應(yīng)了曲線與

3、方程的詳盡事例(直線及圓),學(xué)生知道直線和圓的問(wèn)題能夠經(jīng)過(guò)方程來(lái)研究辦理,如判斷兩條直線的地址關(guān)系;求直線的交點(diǎn);直線和圓的地址關(guān)系等,但可能經(jīng)過(guò)了一個(gè)階段學(xué)生記憶中留下的可是一些詳盡的解題的方法和知識(shí),其實(shí)不能夠自覺(jué)地經(jīng)過(guò)已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和成立新的知識(shí)，這需要教師經(jīng)過(guò)一些事例去激活學(xué)生的思想.別的,在前面學(xué)習(xí)的直線和圓的過(guò)程中,學(xué)生遇到的問(wèn)題經(jīng)常是求得的直線或圓就是一條完滿的直線或一個(gè)完滿的圓,不需要去追查求得的方程可否會(huì)混入不在曲線上的點(diǎn)的問(wèn)題,而進(jìn)入到一般的曲線的研究過(guò)程,學(xué)生自然會(huì)在這方面出現(xiàn)這樣或那樣的問(wèn)題,因此我們?cè)谑谡n中,要重申新授知識(shí)和已有知識(shí)間的差異和聯(lián)系,讓學(xué)生感覺(jué)新

4、學(xué)的內(nèi)容既不是一個(gè)嶄新的內(nèi)容,又與過(guò)去的內(nèi)容又有必然的差異,這有助于聯(lián)系的看問(wèn)題,完滿學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生掌握好本節(jié)內(nèi)容.四授課支持條件解析為了能很好地幫助學(xué)生理解、反思學(xué)習(xí)內(nèi)容,領(lǐng)悟新學(xué)的知識(shí)的要義,授課中需要有詳盡的圖形來(lái)幫助學(xué)生理解解析問(wèn)題,因此，借助于動(dòng)向幾何的軟件來(lái)加強(qiáng)幾何直觀十分必要，同時(shí)這也能夠幫助學(xué)生考據(jù)其演算結(jié)果的正確與否,領(lǐng)悟曲線與方程的定義.五授課過(guò)程設(shè)計(jì)(一)見(jiàn)解的導(dǎo)入1經(jīng)過(guò)投影表現(xiàn)幾個(gè)教材內(nèi)容的片斷,為新課的學(xué)習(xí)作一些必要的鋪墊.片斷1數(shù)學(xué)2第三章中直線與方程的章頭語(yǔ)：經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，它是解析幾何中最基本的研究方法。成立直線方程.爾后經(jīng)過(guò)方程,

5、研究直線的相關(guān)性質(zhì).片斷2第四章圓與方程的章頭語(yǔ)成立圓的方程.經(jīng)過(guò)圓的方程,研究直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系.片斷3數(shù)學(xué)2中第97頁(yè)的思慮欄目（1）平面直角系中的每一條直線都能夠用一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程來(lái)表示嗎？（2）每一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程都能表示一條直線嗎？2.請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合對(duì)上述片斷的觀察回答從中能夠得出哪些主要信息?(從上述片斷中能夠提煉出這樣一些見(jiàn)解:解析幾何主若是經(jīng)過(guò)方程來(lái)研究幾何問(wèn)題我們能夠用成立起二元方程和直線間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;片斷3也供應(yīng)了怎樣來(lái)成立方程;和曲線聯(lián)系的路子;更一般的,能夠?qū)Τ闪⑶€的方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì).)3.指出今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,板書(shū)標(biāo)題曲線與方程4

6、.為了幫助學(xué)生給曲線的方程下定義,進(jìn)一步供應(yīng)予下問(wèn)題:(1)寫(xiě)出表示以下列圖形(實(shí)線部分)的方程作以下方程所表示的圖形(i);(ii)結(jié)合對(duì)前面問(wèn)題的觀察解析,請(qǐng)你來(lái)給曲線的方程下個(gè)定義.6.一般地,在直角坐標(biāo)系中,若是某曲線(看作點(diǎn)的會(huì)集或某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解成立了以下的關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).7.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是.(1)要修業(yè)生解析明確要證明軌跡方程為需要從曲線滿足的方程和方程所對(duì)應(yīng)的曲線這兩個(gè)方面來(lái)考慮問(wèn)題;(2)教師顯現(xiàn)證明過(guò)程,幫助學(xué)生規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě),領(lǐng)悟解

7、決問(wèn)題的過(guò)程.(二)求曲線的方程對(duì)什么是求曲線的方程作一些簡(jiǎn)單的闡述(結(jié)合前面的問(wèn)題來(lái)講解,明確求曲線的方程實(shí)際上是做什么工作，要注意哪些問(wèn)題)2.經(jīng)過(guò)投影顯示例2的內(nèi)容,請(qǐng)學(xué)生閱讀例2,學(xué)習(xí)解題的方法,并比較例2的解題步驟,寫(xiě)出求曲線方程的一般步驟.3.例3.已知一條直線和它上方的一點(diǎn),點(diǎn)到的距離是2,一條曲線也在的上方,它上面每一點(diǎn)到的距離減去到的距離的差都是2,成立合適的坐標(biāo)系,求這條曲線的方程.請(qǐng)學(xué)生成立直角坐標(biāo)系,并要修業(yè)生說(shuō)明這樣成立坐標(biāo)系的原由;要修業(yè)生寫(xiě)出曲線的方程,經(jīng)過(guò)幾何軟件,考據(jù)方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上,特別提示學(xué)生要仔細(xì)審題,要有放過(guò)來(lái)考據(jù)的思慮,不要輕易地判斷反過(guò)去

8、結(jié)論也成立,要有理性的思慮.(三)牢固練習(xí)完成教科書(shū)第37頁(yè)上的練習(xí)1.2,請(qǐng)學(xué)生談?wù)勥@兩個(gè)題主要幫助你加深了對(duì)哪些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)?完成習(xí)題3,并結(jié)合幾何的解析說(shuō)明方程的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)必然在曲線上。六目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)已知曲線的方程為，并且曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，（1）求曲線的方程；（2）若在的正半軸上存在一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線，于，兩點(diǎn)，求，的中點(diǎn)的軌跡方程.希望能經(jīng)過(guò)這個(gè)問(wèn)題能檢查學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的掌握狀況，因（2）的結(jié)果需要有分類(lèi)討論的過(guò)程，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題，教師可順勢(shì)提出問(wèn)題，回扣曲線與方程的定義，完成小節(jié)工作，同時(shí)也為學(xué)生的回家作業(yè)作了一個(gè)鋪墊.回家作業(yè)習(xí)題2.1的全部題目“曲線與方程”的授課反思上海

9、曹楊二中桂思銘一、對(duì)授課方案的再思慮本內(nèi)容包含“曲線與方程”和“求曲線的方程”。前一小節(jié)引入“曲線的方程”和“方程的曲線”見(jiàn)解,并經(jīng)過(guò)見(jiàn)解的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解見(jiàn)解；后一小節(jié)給出求軌跡方程的一般步驟和方法，經(jīng)過(guò)求軌跡方程幫助學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握曲線方程的見(jiàn)解.在先前的授課方案中，主要考慮貫徹教材編寫(xiě)妄圖問(wèn)題，著重利用學(xué)生在學(xué)習(xí)“直線的方程”“圓的方程”中成立的已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)合適的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，這樣的安排充分注意了學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，有利于學(xué)生主動(dòng)成立見(jiàn)解。我認(rèn)為這樣的設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生理解見(jiàn)解、發(fā)展能力都有積極意義，但做好這一點(diǎn)必定有充分的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行概括、思慮、總結(jié).從實(shí)質(zhì)的授課狀況來(lái)看,

10、在見(jiàn)解的引入上是比較成功的,學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)和授課方案的預(yù)設(shè)比較一致,這是設(shè)計(jì)中值得必然的一面.先前的設(shè)計(jì)的不足主若是沒(méi)有充分重視軌跡方程的求解過(guò)程寫(xiě)妄圖,在重視見(jiàn)解形成發(fā)展過(guò)程的同時(shí)還需要重視習(xí)題內(nèi)容的辦理個(gè)習(xí)題(37頁(yè)練習(xí)3):.要完滿地表現(xiàn)教材的編.我們來(lái)看教材中的一如圖,已知點(diǎn)的坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線與軸交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.這個(gè)問(wèn)題的解答路子主要有兩種:（1）用和有公共的斜邊這一特點(diǎn),得出點(diǎn)到定點(diǎn)及的距離同樣,得出所求的軌跡就是線段的垂直均分線,因此能夠利用例2的方法來(lái)求解;（2）引入一個(gè)參數(shù),設(shè)直線的斜率為,爾后依照已有的知識(shí)將點(diǎn)的

11、坐標(biāo)用來(lái)表示,最后消去參數(shù).這兩種方法學(xué)生都比較陌生,前一種解法的“平面幾何味道”很濃,有一個(gè)轉(zhuǎn)變的過(guò)程;后一種解法主若是用參數(shù)方程的思想,學(xué)生沒(méi)有接觸過(guò),沒(méi)有能夠模擬的例題,獨(dú)立解決有困難,需要教師的鋪墊與概括.同樣，學(xué)生獨(dú)立完成教科書(shū)上的習(xí)題也有必然的難度。因此，課堂授課中，經(jīng)過(guò)例題有效地幫助學(xué)生領(lǐng)悟到“曲線與方程”中包含的數(shù)學(xué)思想和方法是特別重要的任務(wù).基于上述解析,應(yīng)將求軌跡方程的方法列入授課的重點(diǎn)和難點(diǎn),但一個(gè)課時(shí)無(wú)法完成教學(xué)任務(wù)，需要增加一個(gè)課時(shí).二、對(duì)授課方案的調(diào)整基于上面的思慮，現(xiàn)將授課方案作一個(gè)調(diào)整，將本節(jié)內(nèi)容改成兩節(jié)課完成，兩節(jié)課第一課第二課例的內(nèi)容安排以下：曲線與方程的全

12、部?jī)?nèi)容加上求曲線的方程例3結(jié)合作業(yè)解析,概括幾種主要的求軌跡方程的方法.2;下面是更正后的授課方案：（一）課前預(yù)習(xí)在上課前一天部署學(xué)生復(fù)習(xí)回顧以下內(nèi)容，并思慮：從中能夠概括出哪些見(jiàn)解？片斷1數(shù)學(xué)2第三章中直線與方程的章頭語(yǔ)：經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，它是解析幾何中最基本的研究方法。成立直線方程.爾后經(jīng)過(guò)方程,研究直線的相關(guān)性質(zhì).片斷2第四章圓與方程的章頭語(yǔ)成立圓的方程.經(jīng)過(guò)圓的方程,研究直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系.片斷3數(shù)學(xué)2中第97頁(yè)的思慮欄目（1）平面直角系中的每一條直線都能夠用一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程來(lái)表示嗎？（2）每一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程都能表示一條直線嗎？(二)見(jiàn)解導(dǎo)入1

13、經(jīng)過(guò)投影表現(xiàn)上述片斷，讓學(xué)生回答從中能夠得出哪些主要信息?(從上述片斷中能夠提煉出見(jiàn)解:解析幾何主若是經(jīng)過(guò)方程來(lái)研究幾何問(wèn)題次方程和直線間擁有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;片斷3也供應(yīng)了成立方程和曲線聯(lián)系的路子般的,能夠先成立曲線的方程，經(jīng)過(guò)方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì).);二元一;更一2.指出今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,板書(shū)標(biāo)題“曲線與方程”。3.為了幫助學(xué)生給曲線的方程下定義,進(jìn)一步供應(yīng)予下問(wèn)題:(1)寫(xiě)出表示以下列圖形(實(shí)線部分)的方程：作以下方程所表示的圖形：(i);(ii).(經(jīng)過(guò)詳盡問(wèn)題領(lǐng)悟“純粹性”和“齊全性”。授課中可依照學(xué)生的回答狀況，經(jīng)過(guò)追問(wèn)的方式，在上述兩點(diǎn)上幫助學(xué)生深入理解。)結(jié)合對(duì)前面問(wèn)題的觀

14、察解析,請(qǐng)學(xué)生給曲線的方程下個(gè)定義：一般地,在直角坐標(biāo)系中,若是某曲線(看作點(diǎn)的會(huì)集或某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解成立了以下的關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).5.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡方程是.(1)先用信息技術(shù)顯現(xiàn)“與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，再引導(dǎo)學(xué)生解析，明確解題任務(wù)要證明軌跡方程為，就是要證明兩個(gè)命題：軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，并且方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在軌跡上;教師顯現(xiàn)證明過(guò)程,幫助學(xué)生規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě),領(lǐng)悟解題過(guò)程.(三)求曲線的方程對(duì)什么是求曲線的方程作簡(jiǎn)單講解(結(jié)合前面的

15、問(wèn)題來(lái)講解,明確求曲線的方程是要做什么工作，要注意哪些問(wèn)題)。經(jīng)過(guò)投影顯示例2的內(nèi)容,請(qǐng)學(xué)生閱讀例2,學(xué)習(xí)解題的方法(這里將直線看作點(diǎn)的軌跡),并比較例2的解題步驟,寫(xiě)出求曲線方程的一般步驟.(四)牢固練習(xí)完成教科書(shū)第37頁(yè)上的練習(xí)1.2,請(qǐng)學(xué)生談?wù)勥@兩個(gè)題主要幫助自己加深了對(duì)哪些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)?2.閱讀37頁(yè)上的練習(xí)3,教師用幾何軟件作軌跡圖形(線段的垂直均分線)爾后幫助學(xué)生形成解題的方法.(設(shè)計(jì)說(shuō)明：前面已解析了學(xué)生解這個(gè)問(wèn)題的困難所在,先用軟件作圖的目的在于啟示學(xué)生的思想,幫助學(xué)生形成解題策略,有了軌跡能夠啟示學(xué)生用平面幾何的知識(shí)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,同時(shí)也能夠?qū)忸}中為什么要引入?yún)?shù),怎樣引入?yún)?/p>

16、數(shù)作一些必要的說(shuō)明,讓學(xué)生掌握解題的方法。)目標(biāo)檢測(cè)還是延用原來(lái)的內(nèi)容.家庭作業(yè)習(xí)題2.1的A組習(xí)題,再補(bǔ)充一個(gè)習(xí)題：已知在長(zhǎng)為線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以、為邊在的同一側(cè)作等邊三角形、,成立合適的坐標(biāo)系,求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.(這個(gè)習(xí)題的目的是要修業(yè)生領(lǐng)悟解析法的思想,領(lǐng)悟運(yùn)用參數(shù)求軌跡方程的方法。)三、對(duì)授課方案中“問(wèn)題串”的思慮本課題在先期研究中確定，授課方案以問(wèn)題串的形式進(jìn)行，這種做法的實(shí)質(zhì)意義在于：便于課題組成員之間相互借鑒,同時(shí)能促進(jìn)設(shè)計(jì)者更好地思慮、掌握好授課的細(xì)節(jié)，在課后也便于總結(jié)回顧和更正.經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的對(duì)“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)的思慮，我認(rèn)為“問(wèn)題串”能夠有“串通”和“并聯(lián)”兩種模式：串通模式并聯(lián)模式“串通模式”平時(shí)是將一個(gè)大的問(wèn)題肢解成若干小問(wèn)題，經(jīng)過(guò)小問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生步步深入而得出結(jié)論,其優(yōu)勢(shì)是針對(duì)性強(qiáng),學(xué)生簡(jiǎn)單操作,缺點(diǎn)是不夠開(kāi)放,有時(shí)會(huì)產(chǎn)生“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的場(chǎng)面;而“并聯(lián)模式”優(yōu)勢(shì)在于學(xué)生的獨(dú)立思慮空間較大，更有利于從整體上把握問(wèn)題，但針對(duì)性不如前一種強(qiáng).這兩種模式各有特點(diǎn),我們應(yīng)依照實(shí)質(zhì)的授課內(nèi)容來(lái)合理的加以運(yùn)用.在本