廣東省惠州市蘆洲中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

1、廣東省惠州市蘆洲中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則= （ ）A9 B10 C11 D12參考答案：B2. 已知直線l：交雙曲線：于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作直線l的垂線AC交雙曲線于點(diǎn)C若，則雙曲線的離心率為( )A. B. C. 2D. 參考答案：A【分析】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得A，B的坐標(biāo)，以及|AB|，直角三角形的性質(zhì)可得|AC|AB|，設(shè)出直線AC的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得C的橫坐標(biāo)，由弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得ab，進(jìn)而得到所求離

2、心率【詳解】聯(lián)立直線xy和雙曲線方程可得x2，y2，可設(shè)A（，），可得|AB|2|OA|，在直角三角形ABC中，ABC60，可得|AC|AB|，設(shè)直線AC的方程為yx，代入雙曲線方程可得（b23a2）x2xa2b20，可得xC，即有|xCxA|，可得|AC|2?，即為a2+b2|b23a2|，可得ab，e故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及聯(lián)立方程組，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于綜合題求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化

3、為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范圍).3. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為（ ） 20 40參考答案：C4. 已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=x+有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D.參考答案：答案：C 5. 設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）A B C. D參考答案：B6. 圓x2+y24x4y10=0上的點(diǎn)到直線x+y14=0的最大距離與最小距離的差是（）A36B18CD參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)【分析】先看直線與圓的位置關(guān)系，如果相切或相離最大距離與最小距離的差是直徑；相交時(shí)，圓心到直線的距離加上半徑為所求【

4、解答】解：圓x2+y24x4y10=0的圓心為（2，2），半徑為3，圓心到到直線x+y14=0的距離為3，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R=6，故選D7. 用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為的個(gè)小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“3,5,7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種A18 B36 C72 D108參考答案：D【知識(shí)點(diǎn)】排列組合綜合應(yīng)用解：因?yàn)楣蚀鸢笧椋篋8. 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與成績(jī)（單位：分）近似于線性相關(guān)關(guān)系，對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如下：151618192

5、210298115115120由表中樣本數(shù)據(jù)球的回歸方程為，且直線，則點(diǎn)滿足（ ）A在左側(cè) B在右側(cè) C在上 D無(wú)法確定 參考答案：B9. 設(shè)，其中，若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，存在唯一的非零實(shí)數(shù)使得成立，則k的取值范圍為A10,4 B30,9 C4,0 D9,4 參考答案：A10. 已知、是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個(gè)命題：（ ） 若，則; 若，則; 若，則; 若，則.其中真命題的序號(hào)是 A B C. D 參考答案：C略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)的單調(diào)減區(qū)間為，則不等式f(x) f(2x)的解集是 參考答案：12. 拋物線上的

6、點(diǎn)P到兩直線的距離之和的最小值為 參考答案：313. （幾何證明選做題）如圖4，BDAE，AB4, BC2, AD3,則DE ；CE . 圖4參考答案：5、 ；依題意得ADBACB,由.14. 已知為上的偶函數(shù)，對(duì)任意都有且當(dāng)， 時(shí)，有成立，給出四個(gè)命題： 直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸 函數(shù)在上為增函數(shù) 函數(shù)在上有四個(gè)零點(diǎn)其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)參考答案：15. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）則點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為 參考答案：4 ：由點(diǎn)的極坐標(biāo)為，得點(diǎn)的直角坐標(biāo)即M（4，4

7、），由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得普通方程為：，圓心為A（1，0），半徑r=1，由于點(diǎn)M在曲線C外，故點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為16. 設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別為a, b, c，若ABC的面積為S = a2(bc)2，則= . 參考答案：4易知：，又S = a2(bc)2= ，所以，所以=4.17. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為8，則的最小值為_(kāi)參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. (本小題滿分13分)已知函數(shù)，（）若曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)、的值；（）當(dāng)時(shí)，若曲線與在公共點(diǎn)

8、處有相同的切線，求證：點(diǎn)唯一；（）若，且曲線與總存在公切線，求正實(shí)數(shù)的最小值參考答案：解：（），曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線， 解得， 3分（）設(shè)，則由題設(shè)有 又在點(diǎn)有共同的切線代入得 5分設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以 0最多只有個(gè)實(shí)根，從而，結(jié)合（）可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)只能是 7分（）當(dāng)，時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即由，得 曲線與總存在公切線， 關(guān)于的方程，即 總有解 9分若，則，而，顯然不成立，所以 10分從而，方程可化為 令，則 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在的最小值為，所以，要使方程有解，只須，即 12分19. 已知A、B、C分別為ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角，向量，且

9、（1）求角C的大??；（2）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且，求邊c的長(zhǎng)參考答案：（1）；（2）6【詳解】試題分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得，再由已知可得從而求得C的值；（2）由，成等差數(shù)列，得，由條件利用正弦定理、余弦定理求得c邊的長(zhǎng)試題解析：（1）,，；（2）由成等差數(shù)列，得，由正弦定理得，由余弦定理，考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角20. （本小題滿分14分）已知定義在上的函數(shù)，其中為常數(shù) （1）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值 （2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍 （3）若函數(shù)在處取得最大值，求正數(shù)的取值范圍參考答案：21. 隨著社會(huì)的發(fā)展

10、，閱讀紙質(zhì)書(shū)本的人數(shù)逐漸減少，為了了解某大學(xué)男女生閱讀紙質(zhì)書(shū)本的情況，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了100名在校大學(xué)生了解其閱讀情況，得到如下數(shù)據(jù)：每月讀書(shū)本數(shù)1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合計(jì)1087101550（）在每月讀書(shū)超過(guò)5本的樣本中，按性別用分層抽樣隨機(jī)抽取5名學(xué)生.求抽取的5名學(xué)生中男、女生各多少人；從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生的概率.（）如果認(rèn)為每月紙質(zhì)讀書(shū)的本數(shù)超過(guò)3本的學(xué)生為“閱讀達(dá)人”，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為“閱讀達(dá)人”與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.005

11、0.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.參考答案：（）男生有3人，女生2人;（）不能【分析】（）根據(jù)讀書(shū)6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人數(shù). 利用列舉法，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.（）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【詳解】（）由表格可知，樣本中每月閱讀本數(shù)超過(guò)5本的男生有30人，女生20人，在這50人中，按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生，其中男生有3人，女生有2人.記抽取的3名男生分別，；女生分別記為，.再?gòu)倪@5名用戶隨機(jī)抽取2名學(xué)生

12、，共包含，10種等可能的結(jié)果.抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生這一事件包含，共計(jì)6種等可能的結(jié)果，由古典概型的計(jì)算公式可得：.（）由圖中表格可得列聯(lián)表：非閱讀達(dá)人閱讀達(dá)人合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣，考查古典概型概率計(jì)算，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.22. （本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐PABCD，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，BDA60.（）證明：；（）若PB3，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值 參考答案：解: (1)取AD中點(diǎn)O，連OP、OB，由已知得：OPAD，OBAD，又OPOBO，AD平面POB，BCAD，BC