(完整word版)最全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論

1、文案大全文案大全一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于f(X)定義域內(nèi)的每一個x，都存在非零常數(shù)丁，使得f(X+T)=f(X)恒成立，則稱函數(shù)f(X)具有周期性，T叫做f(x)的一個周期，則叮(keZ,k豐0)也是f(x)的周期，所有周期中的最

2、小正數(shù)叫f(x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)y=f(x)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:y=f(x),xea,bt=b-a。把y=f(x)沿x軸平移KT=K(b-a)個單位即按向量a=(kT,0)平移，即愚=f(x)在其他周期的圖像：y=f(xkT),xekT+a,kT+bLf_|f(x)xela,bfWf(xkT)xelkT+a,kT+b2、奇偶函數(shù)：設(shè)y=f(x),xea,b或xeLb，a.,b若f(-x)=-f(x),則稱y=f(x)為奇函數(shù)；若f(-x)=f(x測稱y=f(x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：(1)中心對稱即點對稱：點A(x,y)與B(2a-x,

3、2b-y)關(guān)于點(a,b)對稱；點A(a-x,b-y)與B(a+x,b+y)關(guān)于(a,b)對稱；函數(shù)y=f(x)與2b-y=f(2a-x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)b-y=f(a-x)與b+y=f(a+x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)F(x,y)=0與F(2a-x,2b-y)=0關(guān)于點(a,b)成中心對稱。(2)軸對稱：對稱軸方程為：Ax+By+C=0。點A(x,y)與B(x/,y/)=B(x-2A(+By+C),y-2B(+By+C)關(guān)于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對稱；文案大全文案大全(完整word版)最全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論函數(shù)y=f

4、(x)與y2B(+By+C=f(x24+By+C)關(guān)于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對稱。F(x,y)=0與F(x-2A(Ax+By+C),y-2B(Ax+By+C)=0關(guān)于直線A2+B2A2+B2Ax+By+C=0成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論(一)函數(shù)y=f(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若f(x+a)=f(x+b)，則f(x)具有周期性；若f(a+x)=f(b-x)，貝Uf(x)具有對稱性：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。1、f(a+x)=f(b-x)Oy=f(x)圖象關(guān)于直線x=(a+x)+(b-x)=a+b對稱22推論1：f(a+x)=f(a-x)Oy=

5、f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱推論2、f(x)=f(2a-x)Oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱推論3、f(-x)=f(2a+x)Oy=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱2、f(a+x)+f(b-x)=2cOy=f(x)的圖象關(guān)于點(b,c)對稱2推論1、f(a+x)+f(a-x)=2bOy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論2、f(x)+f(2a-x)=2bOy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論3、f(-x)+f(2a+x)=2bOy=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y=f(x)與y=f(

6、-x)圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)圖象關(guān)于X軸對稱(完整(完整word版)最全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論文案大全文案大全4、互為反函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對稱5.函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)圖象關(guān)于直線x二bZa對稱2推論1:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)圖象關(guān)于直線x=0對稱推論2:函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)圖象關(guān)于直線x=a對稱推論3:函數(shù)y=f(-x)與y=f(2a+x)圖象關(guān)于直線x=-a對稱(三)抽象函數(shù)的對稱性與周期性1

7、、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x二a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：(1)f(a+x)=f(a-x)(2)f(2a-x)=f(x)(3)f(2a+x)=f(-x)性質(zhì)2若函數(shù)丫二6)關(guān)于點(2,0)中心對稱，則以下三個式子成立且等價:(1)f(a+x)=-f(a-x)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x)易知，y=f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1(或2)當(dāng)a=0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg(-x)=fg(x),貝愎數(shù)函數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有fg(-x)=-f

8、g(x),(完整(完整word版)最全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)。文案大全文案大全說明：(1)復(fù)數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(-x)=fg(x)而不是f-g(x)=fg(x),復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為奇函數(shù)，則fg(-x)=-fg(x)而不是f-g(x)=-fg(x)。(2)兩個特例：丫=f(x+a)為偶函數(shù)，則f(x+a)=f(-x+a)；y=f(x+a)為奇函數(shù)，則f(-x+a)=-f(a+x)(3)y=f(x+a)為偶(或奇)函數(shù)，等價于單層函數(shù)丫=f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱(或關(guān)于點(2,0)中心對稱)3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3

9、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于直線乂二”-己)/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(b-x)關(guān)于點(-己)/2,0)中心對稱推論1、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)關(guān)于y軸軸對稱推論2、復(fù)合函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(a-x)關(guān)于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2間是它的一個周期。f(x+a)=f(x-a)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1/f(x)f(x+a)=-1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性文案大全文案大全(完整word版)最

10、全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論性質(zhì)5若函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于直線x二a與x二b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T二2|a-b|性質(zhì)6、若函數(shù)y=f(x)同時關(guān)于點(a,0)與點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質(zhì)7、若函數(shù)y二f(x)既關(guān)于點(3，0)中心對稱，又關(guān)于直線x二b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=4|a-b|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用(1)若j=f(x)關(guān)于點(h,幻對稱，則x+x/=2h,y+y/=2k,即f(x)+f(x/)=f(x)+f(2h-x)=2kTOC o 1-5 h zf(x)+f(x)+.+f(x)+

11、f(2h-x)+f(2h-x)+.+f(2h-x)=2nk12nnn-11(2)例題1、f(x)=_ax_關(guān)于點(1,)對稱：f(x)+f(1-x)=1；ax+-aa22f(x)=_-2x+1關(guān)于(0J)對稱：f(x)+f(-x)=22x+i1、，一111、，f(x)=(aeR,x豐0)關(guān)于(,_)對稱：f(x)+f()=1xa+122x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(0,0)對稱：f(x)+f(-x)=0。3、若f(x)=f(2a-x)或f(a-x)=f(a+x),則y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱。設(shè)f(x)=0有n個不同的實數(shù)根，則x+x+x=x+(2ax)+x+(2ax)+x+(2ax)

12、=na.TOC o 1-5 h z12n1122nn22(當(dāng)n=2k+1時，必有x=2a一x,nx=a)111(四)常用函數(shù)的對稱性(完整(完整word版)最全最詳細抽象函數(shù)地對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論文案大全文案大全三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、f(x土T)=f(x)(T豐0)O-f(x)的周期為T，kT(kgZ)也是函數(shù)的周期2、f(x+a)=f(x+b)Oy=f(x)的周期為T=ba3、f(x+a)=-f(x)Oy=f(x)的周期為T=2a4、f(x+a)=Oy=f(x)的周期為T=2af(x)5、f(x+a)=-1Oy=f(x)的周期為T=2af(x)6、f(x+a)=-f(-)-Oy=f(x)的周期為T=3a1+f(x)7、f(x+a)=-1-Oy=f(x)的周期為T=2af(x)+18、f(x+a)=1+xOy=f(x)的周期為T=4a1-f(x)9、f(x+2a)=f(x+a)-f(x)Oy=f(x)的周期為T=6a1。、右p0,f(px)=f(px-p),則T=J.11、y=f(x)有兩條對稱軸x=a和x=b(ba)Oy=f(x)周期T=2(b-a)推論：偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)Oy=f(x)周期7=2ai2、y=f)有兩個對