陜西省延安市黃陵中學(xué)高新部2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

1、PAGE 陜西省延安市黃陵中學(xué)高新部2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）A. 1B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合純虛數(shù)的定義，可得，從而可求出的值，進而求出的值即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.所以.故選：D.【點睛】本題考查純虛數(shù)，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握.2. 下列命題中錯誤的是（ ）A. 命題“若，則”的逆否命題是真命題B. 命題“”的否定是“”C. 若為真命題，則為真命題D. 使“”是“”的必要不充分條件

2、【答案】C【解析】【分析】.利用原命題和其逆否命題的真假一致原理可以判斷該命題是正確的；.利用特稱命題的否定可以判斷該命題是正確的；.中至少有一個是真命題，則不一定是真命題，所以該命題是錯誤的；.里喲紅必要不充分的定義可以判斷該命題是正確的.【詳解】.命題“若，則”是真命題，所以它的逆否命題是真命題，所以該命題是正確的；.命題“”的否定是“”,所以該命題是正確的；.若為真命題，中至少有一個是真命題，則不一定是真命題，所以該命題是錯誤的；.，不一定有“”，如：，所以是非充分條件；“”,一定有，所以是必要條件.所以該命題是正確的.故選：C【點睛】本題主要考查四種命題和特稱命題的否定，考查復(fù)合命題的

3、真假，考查充分條件和必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時， ，則的值為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由得到的周期為，從而，再利用奇偶性得到，利用給定的函數(shù)的解析式可求.【詳解】由得到，所以的周期為，所以，又為奇函數(shù)，故，而，故，所以即，選A.【點睛】一般地，如果上的奇函數(shù)滿足，那么的一個周期為，并且的圖像關(guān)于直線對稱.4. 已知等比數(shù)列的前n項和為，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件，先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的求和公式與通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等比數(shù)列的前n

4、項和為，且，所以，因此.故選：D.5. 等差數(shù)列中，則數(shù)列的公差為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由可知，結(jié)合可求出【詳解】， 即故選：B點睛】本題考查等差中項、等差數(shù)列通項解決等差數(shù)列基本量計算問題利用方程的思想.等差數(shù)列中有五個量一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量和；成等差數(shù)列.6. 函數(shù)的圖象的相鄰兩個對稱中心間的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：相鄰兩個對稱中心間的距離是半周期，為.考點：三角函數(shù)圖象與性質(zhì).7. 已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由于，結(jié)合，

5、且與的夾角為，求得將它們代入求值即可【詳解】向量，滿足，且與的夾角為則故選：A【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積，根據(jù)已知向量的模、夾角求目標(biāo)向量的模8. 函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像（ ）A. 向左平移個單位得到B. 向右平移個單位得到C. 向左平移個單位得到D. 向左平移個單位得到【答案】A【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，然后再利用三角函數(shù)圖象的平移變換求解.【詳解】因為,所以將向左平移可得到故選：A9. 中，角所對的邊分別為，已知向量，且共線，則的形狀是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由

6、正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解【詳解】共線，即，整理得，所以或，或或（舍去）三角形為直角三角形或等腰三角形故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)解題時不能隨便約分漏解10. 已知函數(shù)的最大值為，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖像關(guān)于點對稱，則下列判斷正確的是（）A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C. 當(dāng)時，函數(shù)的最小值為D. 要得到函數(shù)的圖像，只需要將的圖像向右平移個單位【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）的解析式，再判斷四個選項中的命題是否正

7、確即可【詳解】函數(shù)f（x）Asin（x+）中，A，T，2，又f（x）的圖象關(guān)于點（，0）對稱，x+2（）+k，解得k，kZ，；f（x）sin（2x）；對于A，x，時，2x，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，錯誤對于B，x時，f（）sin（2）0，f（x）圖象不關(guān)于x對稱，錯誤；對于C，x，時，2x，sin（2x），1，f（x）的最小值為，C錯誤；對于D，ycos2x向右平移個單位，得ycos2（x）cos（2x）的圖象，且ycos（2x）cos（2x）sin（2x），正確；故選D【點睛】本題考查了由yAsin（x+）的部分圖象確定其解析式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題確定yAsin(x)

8、b(A0，0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b；(2)求，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)特殊點法：確定值時，往往以尋找“最值點”為突破口具體如下：“最大值點”(即圖象的“峰點”)時x；“最小值點”(即圖象的“谷點”)時x.11. 已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把函數(shù)交點有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點，作出對應(yīng)函數(shù)

9、圖象和直線，利用導(dǎo)數(shù)求出相應(yīng)切線的斜率，由圖象觀察出的范圍【詳解】，所以函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，作出函數(shù)的圖象，如下圖，由得，設(shè)直線與圖象切點為，則，所以由得，與在原點相切時，由得，與在原點相切時，所以直線，與曲線相切，由直線與曲線的位置關(guān)系可得：當(dāng)時有兩個交點，即函數(shù)恰有兩個零點.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)問題，解題方法是把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點個數(shù)，作出函數(shù)圖象與直線通過數(shù)形結(jié)合思想求解12. 已知平面向量，滿足且，若對每一個確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時，的最大值為（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,

10、建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點.由即可求得點的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時,有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式即可求得直線方程,進而求得原點到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點的軌跡方程為又因為,變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時,有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點到直線距離公式可得,化簡可得 即 所以切線方程為或所以當(dāng)變化時, 到直線的最大值為 即的最大值

11、為故選:B【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用, 圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分13. 將函數(shù)，圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度得到的圖象，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，可得的值【詳解】解：將函數(shù)，圖象上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，再向右平移個單位長度得到的圖象，且，解得，函數(shù)，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題14. 函數(shù)（且）的圖象過定點，則點

12、的坐標(biāo)為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),令冪指數(shù)為,進行求解即可求出定點坐標(biāo).詳解】由得,此時,即函數(shù)過定點，故答案為: .【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)恒過定點問題,難度容易.15. 已知函數(shù)，對于，且當(dāng)時，恒有，則實數(shù)a的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】依題意，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，則恒成立，再根據(jù)參變分離，即可得解.【詳解】解：由，可知，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.，.，實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的求導(dǎo)、構(gòu)造函數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16. 給出以下四個結(jié)論：函數(shù)的對稱中心是；若關(guān)于的方程在沒有

13、實數(shù)根，則的取值范圍是；在中，“”是“為等邊三角形”的充分不必要條件；若的圖象向右平移個單位后為奇函數(shù)，則最小值是.其中正確的結(jié)論是_【答案】【解析】【分析】對四個結(jié)論逐個分析，可選出答案.【詳解】對于，其圖象由的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到，故的對稱中心為，即正確；對于，由，可得.令，且，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，又因為時，故在的值域為，所以當(dāng)時，關(guān)于的方程在沒有實數(shù)根，即錯誤；對于，先來判斷充分性，當(dāng)時，可得，所以，即，所以為等腰三角形，不能推出為等邊三角形，即充分性不成立；再來判斷必要性，當(dāng)為等邊三角形時，可得，則，故，即必要性成立，故不正確；對于，的圖象向右平移個單位后

14、，得到，由為奇函數(shù)，可得，則，解得，當(dāng)時，取得最小正值為，故不正確.所以，正確的結(jié)論是.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱中心，考查三角函數(shù)的平移變換及奇偶性的應(yīng)用，考查利用參變分離法解決方程的解的存在性問題，考查充分性與必要性的判斷，考查學(xué)生的推理論證能力與計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：（17題10分，其余都是12分，共70分）17. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角大??；（2）已知，面積為6，求邊長的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用兩個角的和的余弦公式求，由三角形三內(nèi)角和定理可求得，從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積公式求

15、出邊，再由余弦定理求邊.【詳解】試題分析：（1）由已知得，化簡得，故，所以，因為，所以.（2）因為，由，所以，由余弦定理得，所以.【點睛】本題主要考查了兩角和差公式的應(yīng)用及利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.18. 我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖的的值；（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；（3）估計居民月用水量的中位數(shù).【答案】(1) ； (2)36000；（3）.【解析】【分析】

16、本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力. 第（）問，由高組距=頻率，計算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計算出a的值；第（）問，利用高組距=頻率，先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率樣本容量=頻數(shù)，計算所求人數(shù)；第（）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進行比較，得出2x2.5，再估計月均用水量的中位數(shù).【詳解】（）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在0,0.5）的頻率為0.080.5=0.04.同理，在0.5,1），1.5,2），2,2.5），3,3.5），3.5,4），4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0

17、.25，0.06，0.04，0.02.由1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，解得a=0.30.（）由（）100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36000.（）設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.730.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5所以2x2.5.由0.50（x2）=0.50.48，解得x=2.04

18、.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.【考點】頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個小矩形的面積就是相應(yīng)組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)19. 已知向量，函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，分別是角，的對邊且，求，的值【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)利用向量坐標(biāo)關(guān)系即可求解化簡，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解的單調(diào)遞增區(qū)間（2）根據(jù)，求解，結(jié)合余弦定理，即可求解，的值【詳解】解：（1）由；令，得：，的單調(diào)遞增區(qū)間

19、為，（2）由（1）可得（C）即，可得：由余弦定理：，可得：，由解得：【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，向量坐標(biāo)的運算，余弦定理的應(yīng)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵20. 已知函數(shù)（，為常數(shù)），點的橫坐標(biāo)為0，曲線在點處的切線方程為（1）求，的值及函數(shù)的極值；（2）證明：當(dāng)時，【答案】（1），極小值為；無極大值（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再利用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論【詳解】（1）由已知代入切線方程得，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，即為極小值；無極大值（2）令，則，由（1）知在上為增函數(shù)，即.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式屬于中檔題.21. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線（）與直線和曲