有限元法的理論基礎(chǔ)

1、有限元法的理論基礎(chǔ)有限元法是一種失散化的數(shù)值計(jì)算方法，關(guān)于構(gòu)造剖析而言，它的理論基礎(chǔ)是能量原理。能量原理表示，在外力作用下，彈性體的變形、應(yīng)力和外力之間的關(guān)系受能量原理的支配，能量原理與微分方程和定解條件是等價(jià)的。下邊介紹有限元法中常常使用的虛位移原理和最小勢能原理。1.虛位移原理虛位移原理又稱虛功原理，能夠表達(dá)以下：假如物體在發(fā)生虛位移以前所受的力系是均衡的(物體內(nèi)部知足均衡微分方程，物體界限上知足力學(xué)界限條件），那么在發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功等于虛應(yīng)變能（物體內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功）。反之，假如物體所受的力系在虛位移（及虛應(yīng)變）上所做的虛功相等，則它們必定是均衡的。能夠

2、看出，虛位移原理等價(jià)于均衡微分方程與力學(xué)界限條件。所以虛位移原理表述了力系均衡的必需而充分的條件。虛位移原理不單能夠應(yīng)用于彈性性力學(xué)識(shí)題，還能夠應(yīng)用于非線性彈性以及彈塑性等非線性問題。2.最小勢能原理最小勢能原理能夠表達(dá)為：彈性體遇到外力作用時(shí)，在全部知足位移界限條件和變形協(xié)調(diào)條件的能夠位移中，真切位移使系統(tǒng)的總勢能取駐值，且為最小值。依據(jù)最小勢能原理，要求彈性體在外力作用下的位移，能夠知足幾何方程和位移界限條件且使物體總勢能取最小值的條件去追求答案。最小勢能原理僅合用于彈性力學(xué)識(shí)題。有限元法求解問題的基本步驟彈性力學(xué)中的有限元法是一種數(shù)值計(jì)算方法，關(guān)于不一樣物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元法

3、的基本步驟是同樣的，不過詳細(xì)方式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不一樣，有限元求解問題的基本步驟以下。問題的分類求解問題的第一步就是對它進(jìn)行辨別剖析，它包含的更深層次的物理問題是什么比方是靜力學(xué)仍是動(dòng)力學(xué)，能否包含非線性，能否需要迭代求解，要從剖析中得等到什么結(jié)果等。對這些問題的回答會(huì)加深對問題的認(rèn)識(shí)與理解，直接影響到此后的建模與求解方法的選用等。建模在進(jìn)行有限元失散化和數(shù)值求解之值，我們?yōu)槠饰鰡栴}設(shè)計(jì)計(jì)算模型，這一步包含決定哪種特點(diǎn)是所要議論的要點(diǎn)問題，以便忽視不用要的細(xì)節(jié)，并決定采納哪一種理論或數(shù)學(xué)公式描繪結(jié)果的行為。所以，我們能夠忽視幾何不規(guī)則性，把一些載荷看做是集中載荷，并把某些支撐看做是固定的。資料能

4、夠理想化為線彈性和各向同性的。依據(jù)問題的維數(shù)、載荷以及理論化的界限條件，我們能夠決定采納梁理論、板曲折理論、平面彈性理論或許一些其余剖析理論描繪構(gòu)造性能。在求解中運(yùn)用剖析理論簡化問題，成立問題的模型。連續(xù)體失散化連續(xù)體失散化，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)區(qū)分，馬上連續(xù)體區(qū)分為有限個(gè)擁有規(guī)則形狀的單元的會(huì)合，兩相鄰單元之間只經(jīng)過若干點(diǎn)互相連結(jié)，每個(gè)連結(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)量等應(yīng)視問題的性質(zhì)、描繪變形的需要和計(jì)算精度而定，如二維連續(xù)體的單元可為三角形、四邊形，三維連續(xù)體的單元能夠是四周體、長方體和六面體等。為合理有效地表示連續(xù)體，需要適入選擇單元的種類、數(shù)量、大小和擺列方式。失散化的模型與

5、本來模型差別在于，單元之間只經(jīng)過節(jié)點(diǎn)互相連結(jié)、互相作用，而無其余連結(jié)。所以這類連結(jié)要知足變形協(xié)調(diào)條件。失散化是將一個(gè)無窮多自由度的連續(xù)體轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)有限多自由度的失散體過程，所以必定惹起偏差。主要有兩類：建模偏差和失散化偏差。建模偏差能夠經(jīng)過改良模型來減少，失散化偏差可經(jīng)過增添單元數(shù)量來減少。所以當(dāng)單元數(shù)目許多，模型與實(shí)質(zhì)比較靠近時(shí)，所得的剖析結(jié)果就與實(shí)質(zhì)狀況比較靠近。單元剖析（1）選擇位移模式在有限元法中，選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為位移法；選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱為力法；取一部分力一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為混淆法。與力法對比，位移法擁有易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)自動(dòng)化的長處，所以，在有限

6、元法中，位移法應(yīng)用最廣。如采納位移法計(jì)算，單元內(nèi)的物理量如位移、應(yīng)力、應(yīng)變就能夠經(jīng)過節(jié)點(diǎn)位移來描繪。在有限元法中，第一將單元內(nèi)的位移表示成單元節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)，稱為位移函數(shù)或許位移模式，位移函數(shù)往常為多項(xiàng)式，最簡單的狀況是線性多項(xiàng)式。（2）剖析單元的力學(xué)性質(zhì)依據(jù)單元的資料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)量、位移和含義等，應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來成立節(jié)點(diǎn)載荷和節(jié)點(diǎn)位移的方程式，導(dǎo)出單元的剛度矩陣。設(shè)節(jié)點(diǎn)載荷向量用F?表示，節(jié)點(diǎn)位移向量用表示，則單元的載荷和位移的關(guān)系式為F?=K?式中，k為單元?jiǎng)偠染仃嚒?）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷連續(xù)體失散化后，力是經(jīng)過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳達(dá)到另一個(gè)單元的。但在實(shí)質(zhì)的連續(xù)體

7、中，力是由一個(gè)單元傳達(dá)到另一個(gè)單元的，故要把作用在單元界限上的表面力、體積力或集中力等效地移到節(jié)點(diǎn)上，即用等效的節(jié)點(diǎn)力來取代全部在單元上的力。構(gòu)成物體的整體方程組由已知的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷排陣集成獲得整個(gè)構(gòu)造的總剛度矩陣和構(gòu)造載荷排陣，進(jìn)而成立起整個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。設(shè)總剛度矩陣為K、載荷向量為F，節(jié)點(diǎn)位移向量為，則整個(gè)構(gòu)造的均衡方程為F=K獲得整個(gè)構(gòu)造的均衡方程后，還需要考慮其界限條件或初始條件，才能求解上述方程組。求解有限元方程和結(jié)果解說求解上述的構(gòu)造均衡方程。求解結(jié)果是單元節(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值，關(guān)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將經(jīng)過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則供給的同意值比較來評論并確立能否需

8、要重復(fù)計(jì)算。簡言之，有限元剖析可分紅三個(gè)階段，前辦理、求解和后辦理。前辦理是成立有限元模型，達(dá)成單元網(wǎng)格區(qū)分;后辦理則是收集求解剖析結(jié)果，使用戶能簡易提守信息，認(rèn)識(shí)計(jì)算結(jié)果。因?yàn)樵趯?shí)質(zhì)工程問題中，構(gòu)造件的幾何形狀、界限條件、拘束條件和外載荷一般比較復(fù)雜，需要進(jìn)行相應(yīng)的簡化。這類簡化一定盡可能反應(yīng)實(shí)質(zhì)狀況，且不會(huì)使計(jì)算過于復(fù)雜。在進(jìn)行力學(xué)模型的簡化時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：1）鑒別實(shí)質(zhì)構(gòu)造是屬于哪一種種類，是屬于一維問題、二維問題仍是三維問題。假如是二維問題，要分清是平面應(yīng)力問題仍是平面變力問題，若能簡化成平面問題的就不要用三維實(shí)體單元去剖析。2）注意實(shí)質(zhì)構(gòu)造的對稱性，假如對稱，能夠利用構(gòu)造的對稱性進(jìn)行

9、計(jì)算簡化。3）對實(shí)質(zhì)機(jī)建立模時(shí)能夠去掉一些不用要的細(xì)節(jié)，比方倒角等。4）簡化后的力學(xué)模型須是靜定構(gòu)造或是超靜定構(gòu)造。高級仿真綜述UGNX4高級仿真是一個(gè)綜合性的有限元建模和結(jié)果可視化的產(chǎn)品，旨在知足設(shè)計(jì)工程師與剖析師的需要。高級仿真包含一整套前辦理和后辦理工具，并支持寬泛的產(chǎn)品性能評估解法。高級仿真工作流程在開始一個(gè)剖析前，應(yīng)當(dāng)對試圖求解的問題有一完全認(rèn)識(shí)。應(yīng)當(dāng)知道將利用哪個(gè)求解器，正在履行什么種類的剖析和需要什么種類的解決方案。以下簡要摘錄了在構(gòu)造仿真中通用的工作流程。1）在NX中，翻開一零件文件。2）啟動(dòng)高級仿真應(yīng)用。為FEM和仿真文件規(guī)定默認(rèn)求解器（設(shè)置環(huán)境，或語言）。注意：也能夠選擇先成立FEM文件，而后再成立仿真文件。3）成立一解決方案。選擇求解器（如NXNastran）、剖析種類（如Structural）和解決方案種類（如LinearStatics）。4）假如需要，理想化零件幾何體。一旦使理想化零件激活，能夠移去不需要的細(xì)節(jié)，如孔或圓角，分開幾何體準(zhǔn)備實(shí)體網(wǎng)格區(qū)分或成立中面。5）使FEM文件激活，網(wǎng)格區(qū)分幾何體。第一利用系統(tǒng)默認(rèn)自動(dòng)地網(wǎng)格化幾何體。在很多狀況下系統(tǒng)默認(rèn)供給一好的高質(zhì)量