端點(diǎn)效應(yīng)與極點(diǎn)效應(yīng) 專題講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

1、 二輪專題復(fù)習(xí)第 第 頁(yè)專題三 端點(diǎn)效應(yīng)與極點(diǎn)效應(yīng)一、端點(diǎn)效應(yīng)什么是端點(diǎn)效應(yīng)？如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的函數(shù)值恰好為零，則當(dāng)時(shí)，成立的一個(gè)必要條件為端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，如圖所示： 因?yàn)槿绻?，那么函?shù)會(huì)在右側(cè)的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)先遞減，會(huì)出現(xiàn)如下情況： 此時(shí)函數(shù)不恒正，不滿足要求。這個(gè)方法把某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為判斷端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)，這就是端點(diǎn)效應(yīng)。類似的，如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的函數(shù)值恰好為零，當(dāng)時(shí)，成立的一個(gè)必要條件為處的導(dǎo)數(shù)值但是，需要注意的是，（或）只是（或）成立的一個(gè)必要條件，如果此時(shí)二階導(dǎo)不變號(hào)，那么這種方法沒有問題；但如果二階導(dǎo)變號(hào)，那么計(jì)算出的結(jié)果極有可能不是正確答案。端點(diǎn)效應(yīng)在解決求參

2、數(shù)范圍問題時(shí)能夠幫助我們得出分類的依據(jù)，簡(jiǎn)化問題的處理，下面一起看幾道例題。例：，若在上恒成立，求的取值范圍。分析：注意到，若，則一定存在一個(gè)，使得時(shí)，都有成立，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以；并且，因此通過得出的參數(shù)范圍就是正確答案，這便是端點(diǎn)效應(yīng)。這種方法可以幫我們得出分類的依據(jù)，例如本題中，根據(jù)，得，因此我們分和兩類進(jìn)行討論。詳解：，若，則，且，所以單調(diào)遞增，所以時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則時(shí)，；若，則，且，單調(diào)遞增，所以存在，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，所以；不成立，舍去。綜上，的取值范圍為。例：，若在上恒成立，求的取值范圍。分析：注意到，因此可用端點(diǎn)效應(yīng)，由，得，因此我們分和兩類進(jìn)行討論

3、。解：，若，則，且，所以單調(diào)遞增，所以時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則時(shí)，；若，則，且，單調(diào)遞增，所以存在，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，所以；不成立，舍去。綜上，的取值范圍為。例：在上恒成立，求的取值范圍。分析：令，注意到雖然，但同時(shí)，看似無法用端點(diǎn)效應(yīng)，其實(shí)不然，可以考慮計(jì)算二階導(dǎo)，再使用端點(diǎn)效應(yīng)，即，且，因此可以使用端點(diǎn)效應(yīng)，由，得，因此我們分和兩類進(jìn)行討論。解：令，；，；，若，則，且，所以單調(diào)遞增；又，所以恒成立，單調(diào)遞增；又，所以時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則時(shí)，；若，則，所以存在，使得成立，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，；不成立，舍去。綜上，的取值范圍為。典例：在上

4、恒成立，求的取值范圍。（2020年全國(guó)卷一）分析： 不妨令，則，此時(shí)看似能夠使用端點(diǎn)效應(yīng)，其實(shí)不然，因?yàn)椋?；則，在上會(huì)變號(hào)，這時(shí)如果使用端點(diǎn)效應(yīng)，應(yīng)該有，即，但其實(shí)這個(gè)答案是錯(cuò)誤的，理由如下：，但，可知在上遞減，在上仍然可能為負(fù)，也即可能會(huì)先遞減，此時(shí)也有可能為負(fù)，所以在上的函數(shù)值也可能比端點(diǎn)處小，即這種情況下有可能為負(fù)值。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，就不滿足要求。所以，當(dāng)高階導(dǎo)變號(hào)時(shí)，我們應(yīng)該慎重，此時(shí)，端點(diǎn)效應(yīng)很有可能就會(huì)失靈。事實(shí)上，本題可考慮分參處理。二、極點(diǎn)效應(yīng)什么是極點(diǎn)效應(yīng)？如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的函數(shù)值恰好為零，則當(dāng)時(shí)（其中），成立的一個(gè)必要條件為處的導(dǎo)數(shù)值，如圖所示： 因?yàn)槿绻?，那么函?shù)會(huì)在右

5、側(cè)的一個(gè)小區(qū)間內(nèi)先遞減，會(huì)出現(xiàn)如上右情況：而這兩種情況都不能保證函數(shù)值非負(fù)。這個(gè)方法把某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間中某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零，這就是極點(diǎn)效應(yīng)。例：若，且在上恒成立，求的值。解：；注意到，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，同時(shí)取得極小值，所以，所以；而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)；此時(shí)在上恒成立，所以。例：若，且，求的值。（2017課標(biāo)二理科數(shù)學(xué)）解：的定義域?yàn)?。設(shè)，則，等價(jià)于。因?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)取得最小值，同時(shí)也是函數(shù)的極小值，所以，又，則，得。若，則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以是的極小值點(diǎn)，故，綜上，。練一練例：在上恒成立，求的取值范圍。例：，若在上恒成立，求的取值范圍。例：在上恒成立，求的取值范圍。例：在上恒成立，求的取值范圍。例：在上恒成立，求的值。例：，若在上恒成立，求的取值范圍。例：，若在上恒成立，求的取值范圍。分析：注意到，因此必有，得，因此我們分和兩類進(jìn)行討論。解：，