高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：7.3《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》(含詳解)

1、第三節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點、線、面的位置關(guān)系(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義(2)了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理(3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題知識點一平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)公理2：過不共線的三點，有且只有一個平面公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線易誤提醒三點不一定能確定一個平面當(dāng)三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)個，所以必須是不在一條直線上的三點才能確定一個平面自測練習(xí)1下列命題中，真命題是()A空間不同三點確定一個平面B空間兩

2、兩相交的三條直線確定一個平面C兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形D和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)解析：A是假命題，當(dāng)三點共線時，過三點有無數(shù)個平面；B不正確，兩兩相交的三條直線不一定共線；C不正確，兩組對邊相等的四邊形可能是空間四邊形；D正確，故選D.答案：D知識點二空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言aba相交關(guān)系圖形語言符號語言abAaAl獨有關(guān)系,圖形語言符號語言a b是異面直線a易誤提醒(1)直線與平面的位置關(guān)系包括線在面內(nèi)與線在面外其中線在面外包括線與面相交和線與面平行，易出錯(2)兩平面的位置關(guān)系不平行一定相交，一般指的是兩

3、不重合的平面自測練習(xí)2若直線ab，且直線a平面，則直線b與平面的位置關(guān)系是_答案：b與相交或b或b知識點三異面直線所成角、平行公理及等角定理1異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角或直角叫作異面直線a與b所成的角(2)范圍：eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).2平行公理平行于同一條直線的兩條直線平行3等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)易誤提醒1有關(guān)異面直線問題的易誤點：(1)“不同在任何一個平面內(nèi)”指這兩條直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交；(2)不能把

4、異面直線誤解為分別在是不同平面內(nèi)的兩條直線(3)異面直線不具有傳遞性，即若直線a與b異面，b與c異面，則a與c不一定是異面直線2關(guān)于等角定理的易忽視點：(1)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等(2)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補(bǔ)(3)如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等自測練習(xí)3已知a，b是異面直線，直線c直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線解析：若cb，ca，ab，與a，b異面矛盾c，b不可能是平行

5、直線答案：C4長方體ABCD A1B1C1D1中，ABBC1，AA1eq r(2)，則異面直線BD1與CC1所成的角為()A.eq f(,4)B.eq f(,6)C.eq f(,3) D.eq f(,2)解析：長方體中BB1CC1，則D1BB1為異面直線BD1與CC1所成的角，在BB1D1中，B1D1BB1eq r(2)，所以D1BB1eq f(,4)，故選A.答案：A考點一平面的基本性質(zhì)|1.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()AA，M，O三點共線BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，

6、M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1AC，A1，C1，A，C四點共面，A1C平面ACC1A1，MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上A，M，O三點共線答案：A2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EFA1B.又A1BCD1，所以EFCD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)因為EFCD1，E

7、FCD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點證明線共面或點共面的三種常用方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面、重合考點二空間兩直線的位置關(guān)系|1(綿陽模擬)已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個數(shù)為

8、()A0B1C2 D3解析：在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯，顯然成立，故選B.答案：B2下列四個命題中錯誤的是()A若直線a，b互相平行，則直線a，b確定一個平面B若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線C若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線D兩條異面直線不可能垂直于同一個平面解析：過兩條平行直線，有且只有一個平面，A正確；如果四點中存在三點共線，則四點共面，B正確；兩條直線沒有公共點，這兩條直線可能平行，也可能異面，C錯誤；垂直于同一個平面的兩條直線平行，這樣的兩條直線共面，D正確答案：C判斷空間兩直線位置關(guān)系的三種策略(1)對于異面直線，可

9、采用直接法或反證法進(jìn)行判定(2)對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判斷(3)對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直考點三異面直線所成角|(高考浙江卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_解析如圖所示，連接ND，取ND的中點E，連接ME，CE，則MEAN，則異面直線AN，CM所成的角即為EMC.由題可知CN1，AN2eq r(2)，MEeq r(2).又CM2eq r(2)，DN2eq r(2)，NEeq r(2)，CEeq r(

10、3)，則cos CMEeq f(CM2EM2CE2,2CMEM)eq f(823,22r(2)r(2)eq f(7,8).答案eq f(7,8)(1)作異面直線所成的角常用平移法，平移法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移(2)求異面直線所成的角的三步曲為：“一作、二證、三求”計算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30B45C60D90解析：分別取AB，AA1，A1C1的中點D，E，F(xiàn)，則BA1DE，AC1EF.所以異面直線BA1與A

11、C1所成的角為DEF(或其補(bǔ)角)，設(shè)ABACAA12，則DEEFeq r(2)，DFeq r(6)，由余弦定理得，DEF120.答案：C22.構(gòu)造模型法判斷空間線面位置關(guān)系【典例】已知m，n是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，有下列四個命題：若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則；若m，n，則mn.其中所有正確的命題是()A BCD思維點撥構(gòu)造一個長方體模型，找出適合條件的直線與平面，在長方體內(nèi)判斷它們的位置關(guān)系解析借助于長方體模型來解決本題，對于，可以得到平面，互相垂直，如圖(1)所示，故正確；對于，平面、互相垂直，如圖(2)所示；對于，平面、可能垂直，如圖(3)所示；對

12、于，由m，可得m，因為n，所以過n作平面，且g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為mg，所以mn.答案A方法點評(1)構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤；(2)對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷跟蹤練習(xí)下列命題正確的是()A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行解析

13、：如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，A1D與D1A和平面ABCD所成的角都是45，但A1D與D1A不平行，故A錯；在平面ABB1A1內(nèi)，直線A1B1上有無數(shù)個點到平面ABCD的距離相等，但平面ABB1A1與平面ABCD不平行，故B錯；平面ADD1A1與平面DCC1D1和平面ABCD都垂直，但兩個平面相交，故D錯，從而C正確答案：CA組考點能力演練1l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面解析：如圖長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD

14、，CDAD但有ABCD，因此A不正確；又ABDCA1B1，但三線不共面，因此C不正確；又從A出發(fā)的三條棱不共面，所以D不正確；因此B正確，且由線線平行和垂直的定義易知B正確答案：B2(廣東佛山模擬)如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是()A.eq f(r(5),5) B.eq f(2r(5),5) C.eq f(1,2) D2解析：如圖，取AC中點G，連FG，EG，則FGC1C，F(xiàn)GC1C；EGBC，EGeq f(1,2)BC，故EFG即為EF與C1C所成的角，在RtEFG中，cosEFGeq

15、 f(FG,FE)eq f(2,r(5)eq f(2r(5),5).答案：B3如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()解析：在A圖中分別連接PS，QR，易證PSQR，P，Q，R，S共面；在C圖中分別連接PQ，RS，易證PQRS，P，Q，R，S共面；如圖所示，在B圖中過P，Q，R，S可作一正六邊形，故四點共面；D圖中PS與QR為異面直線，四點不共面，故選D.答案：D4.(衡水中學(xué)模擬)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列說法錯誤的是()AMN與CC1垂直BMN與AC垂直CMN與BD平行DMN與A1B1平

16、行解析：連接C1D，BD.N是D1C的中點，N是C1D的中點，MNBD.又CC1BD，CC1MN，故A，C正確ACBD，MNBD，MNAC，故B正確故選D.答案：D5如圖所示，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQAC，則下列命題中，錯誤的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD異面直線PM與BD所成的角為45解析：由題意可知PQAC，QMBD，PQQM，所以ACBD，故A正確；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正確；由PNBD知，異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，又四邊形PQMN為正方形，所以MPN45，故D正確；而ACBD沒有條件說明其相等，故選C.答案：

17、C6設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；若a平面，b平面，則a，b一定是異面直線上述命題中正確的命題是_(寫出所有正確命題的序號)解析：由公理4知正確；當(dāng)ab，bc時，a與c可以相交、平行或異面，故錯；當(dāng)a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故錯；a，b，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內(nèi)”，故錯答案：7(濟(jì)南一模)在正四棱錐VABCD中，底面正方形ABCD的邊長為1，側(cè)棱長為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為_解析：如圖，設(shè)ACBDO，連接VO，因為四棱錐VABCD

18、是正四棱錐，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四邊形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC，所以BDVA，即異面直線VA與BD所成角的大小為eq f(,2).答案：eq f(,2)8.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線MN與AC所成的角為60.其中正確的結(jié)論為_(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)解析：由圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線因為D1CMN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與A

19、C所成的角，且角為60.答案：9已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為D1C1、C1B1的中點，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D、B、F、E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線證明：(1)如圖所示，因為EF是D1B1C1的中位線，所以EFB1D1.在正方體AC1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為，又設(shè)平面BDEF為.因為QA1C1，所以Q.又QEF，所以Q.則Q是與的公共點，同理，P點也是與的公共點所以PQ.又A1CR，所

20、以RA1C，R且R.則RPQ，故P、Q、R三點共線10.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點已知BACeq f(,2)，AB2，AC2eq r(3)，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解：(1)SABCeq f(1,2)22eq r(3)2eq r(3)，三棱錐PABC的體積為Veq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)2eq r(3)2eq f(4,3)eq r(3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AEeq r(2)，AD2，c

21、osADEeq f(22222,222)eq f(3,4).B組高考題型專練1(2014高考廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定解析：如圖所示正方體ABCD A1B1C1D1，取l1為BB1，l2為BC，l3為AD，l4為CC1，則l1l4，可知選項A錯誤；取l1為BB1，l2為BC，l3為AD，l4為C1D1，則l1l4，故B錯誤，則C也錯誤，故選D.答案：D2(高考廣東卷)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交解析：可用反證法假設(shè)l與l1，l2都不相交，因為l與l1都在平面內(nèi)，于是ll1，同理ll2，于是l1l2，與已知矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相