數(shù)值分析與計(jì)算方法-第一章-插值法課件

1、 本章內(nèi)容 1.1 Lagrange插值多項(xiàng)式 1.2 Newton插值多項(xiàng)式 1.3 分段低次插值第一章 插值法/* Interpolation Method */Start from here 本章內(nèi)容第一章 插值法Sta 實(shí)際問題中，某些變量之間的函數(shù)關(guān)系是存在的，只能由測量或?qū)嶒?yàn)得到一系列的離散點(diǎn)上的函數(shù)值：問題的提出（1）有的函數(shù)沒有表達(dá)式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值可能不在該表格中。（2）如果函數(shù)表達(dá)式本身比較復(fù)雜，計(jì)算量會很大； 對于這兩種情況，我們都需要尋找一個計(jì)算方便且表達(dá)簡單的函數(shù) 來近似代替 ，求 的方法稱為插值法。 實(shí)際問題中，某些變量之間的函數(shù)關(guān)系是存在的，

2、只能由測的性質(zhì)近似代替 性質(zhì)一、插值法基本思想個互異節(jié)點(diǎn)上的值，若存在一個簡單函數(shù)插值節(jié)點(diǎn)；為 的插值函數(shù)；被插函數(shù)插值條件求 的方法稱為插值法。的性質(zhì)近似代替 性質(zhì)一、插值法基本思想個互異節(jié)x0 x1x2x3x4xP(x) f(x)幾何意義：xx0 x1x2x3x4xP(x) f(x)幾何意義：x注：簡單函數(shù)常指：多項(xiàng)式函數(shù)、分段多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)； 相應(yīng)插值法稱為：代數(shù)插值法、分段插值、有理函數(shù)插值；特別： 所求 是過兩點(diǎn)的直線線性插值 所求 是過三點(diǎn)的二次曲線拋物插值 我們主要介紹代數(shù)插值（插值函數(shù)為多項(xiàng)式 的插值），相應(yīng)的 稱為插值多項(xiàng)式。注：簡單函數(shù)常指：多項(xiàng)式函數(shù)、分段多項(xiàng)式函數(shù)

3、、有理函數(shù)；特別二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性證明：只要證得 存在唯一即可，由Th4.1 個互異節(jié)點(diǎn)，則滿足插值多項(xiàng)式條件二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性證明：只要證得 存在唯一即注：若不限定次數(shù)，則插值多項(xiàng)式不唯一；如：若 滿足插值條件，則 亦滿足 法則，n+1個插值條件唯一確定一個n次插值多項(xiàng)式。Vandermond行列式注：若不限定次數(shù)，則插值多項(xiàng)式不唯一；如：若 一、Lagrange插值多項(xiàng)式 由Th4.1知， 中系數(shù)的計(jì)算只需求解一個 元方 程組，待定系數(shù)法計(jì)算復(fù)雜，且難以得到 式；下面來介紹構(gòu)造法。的簡單表達(dá)的構(gòu)造 1.2 Lagrange插值多項(xiàng)式/* Lagrange Polynomia

4、l */一、Lagrange插值多項(xiàng)式 由Th4.1知， 中系數(shù)niyxPiin,.,0,)(=求 n 次多項(xiàng)式 使得條件：無重合節(jié)點(diǎn)，即n = 1已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求使得111001)(,)(yxPyxP=可見 P1(x) 是過 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP-+=101xxxx-010 xxxx-= y0 + y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl1、基本插值多項(xiàng)式:Lagrange插值多項(xiàng)式niyxPiin,.,0,)(=求 n 次多項(xiàng)式 與 有關(guān)，而與 無關(guān)插值基函數(shù)/基本插值多項(xiàng)

5、式n 1希望找到n次多項(xiàng)式li(x)，i = 0, , n 使得 li(xj)=ij；然后令=niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi) = yi 。li(x)每個 li(x) 有 n 個根 x0 xi-1 、 xi+1 xn-=j i jiiiixxCxl)(11)(n次Lagrange 插值多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)y與 有關(guān)，而與 無關(guān)n 1希望找到n2、插值余項(xiàng)-Th4.2設(shè) 個節(jié)點(diǎn) 若 在 連續(xù)， 在 內(nèi)存在，則 插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)證明：的零點(diǎn)設(shè)引入輔助函數(shù) 則至少有 個互異零點(diǎn)：2、插值余項(xiàng)-Th4.2設(shè) 個節(jié)點(diǎn) 數(shù)值分析與計(jì)算方法-第一章-插值法課件若 則若 本身是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，

6、則， 即 通常是次數(shù)為n的多項(xiàng)式，特殊情形下可能小于n,如過三點(diǎn)的 若三點(diǎn)共線，則 是一條直線(一次)則有余項(xiàng)若 則若 本身是次例1：已知分別利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值計(jì)算 sin 50 并估計(jì)誤差。 解：n = 1分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計(jì)算利用這里而sin 50 = 0.7660444)185(50sin10pL0.77614利用sin 50 0.76008, 內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計(jì)算的 x 在區(qū)間的內(nèi)部，插值效果較好。例1：已知分別利用 sin x 的1次、2次 Lagrang二次插值比一次插值精度高n = 2)185(50sin20pL

7、0.76543但絕對不是次數(shù)越高就越好二次插值比一次插值精度高n = 2)185(50sin20Lagrange插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜；且已得的 無用，需重新算過； 對于計(jì)算 高次插值精度未必高；Runge現(xiàn)象比較n-1次及n次插值多項(xiàng)式若非常接近，則以n次插值否則增加節(jié)點(diǎn)計(jì)算通常方法：實(shí)用后驗(yàn)估計(jì)不知道選擇多少個插值節(jié)點(diǎn)為宜；Lagrange插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)：基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜；且已得的 本節(jié)內(nèi)容提要基本思想 Newton插值多項(xiàng)式的構(gòu)造 均差(差商) 定義、計(jì)算、性質(zhì) Newton插值多項(xiàng)式的誤差差分及等距節(jié)點(diǎn)插值公式1.3 Newton插值多項(xiàng)式/* Newtons Interpo

8、lation */ 本節(jié)內(nèi)容提要1.3 Newton插值多項(xiàng)式一、基本思想 缺點(diǎn)：增加節(jié)點(diǎn)時，需要計(jì)算 ，而已得的 不能被利用； 為此我們考慮對Lagrange插值多項(xiàng)式進(jìn)行改寫； 由唯一性，僅是形式上的變化 已知n+1個互異插值節(jié)點(diǎn) 由插值多項(xiàng)式的存在唯一性，可以構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式：期望： 的計(jì)算只需要對 作一個簡單的修正.一、基本思想 缺點(diǎn)：增加節(jié)點(diǎn)時，需要計(jì)算 ，而已得的考慮是次數(shù) 的多項(xiàng)式，且有由新增節(jié)點(diǎn)可以計(jì)算出 從而考慮是次數(shù) 的多項(xiàng)式，且有由新增節(jié)點(diǎn)可以數(shù)值分析與計(jì)算方法-第一章-插值法課件此公式仍然比較麻煩！ 此公式仍然比較麻煩！ 二、差商（均差）1、定義：稱 為

9、關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的一階差商/均差記作 表示 在區(qū)間 上的變化率。稱一階差商 的差商為 關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的二階差商，記作：二、差商（均差）1、定義：稱 注：為統(tǒng)一記號，規(guī)定： 稱為零階差商類比：導(dǎo)數(shù)：差商（均差）：一般地，稱n-1階差商的差商為n階差商，有：注：為統(tǒng)一記號，規(guī)定： 稱為零階差商類比：導(dǎo)數(shù)：差商（ 實(shí)際計(jì)算過程為（建立差商表）f x0, x1f x1, x2 f xn1, xnf x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xnf x0, , xn xn+1 f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1f (x0

10、)f (x1)f (x2)f (xn1)f (xn)x0 x1x2xn1xn零階差商 一階差商 二階差商 n階差商2、差商的計(jì)算 實(shí)際計(jì)算過程為（建立差商表）f x0, x1f x-3-1/21/205/61/4-1/6-7/60-1/121/180例1： 解：可見，求各階均差是方便的，且 位于差商表的對角線上。-3-1/21/205/61/4-1/6-7/60-1/123、差商性質(zhì) /* Property of divided difference */n階差商可以表示為 的線性組合性質(zhì)1證明：數(shù)學(xué)歸納法n=13、差商性質(zhì) /* Property of divided 數(shù)值分析與計(jì)算方法-第

11、一章-插值法課件得證。得證。性質(zhì)2差商具有對稱性，即 的值與節(jié)點(diǎn) 的順序無關(guān)。由性質(zhì)1易知：調(diào)換兩個節(jié)點(diǎn)的位置，相當(dāng)于右端改變求和次序。性質(zhì)4n階差商和n階導(dǎo)數(shù)之間存在如下關(guān)系：性質(zhì)3n 次多項(xiàng)式的 k 階差商 當(dāng) 時是 n-k 次多項(xiàng)式，而當(dāng) kn 時其值恒等于零。用fx,x0,xl=xm驗(yàn)證即可性質(zhì)2差商具有對稱性，即 證明：證明：三、Newton插值多項(xiàng)式/* Newtons Interpolation */1、定義：12 n11+ (x x0) 2+ + (x x0)(x xn1) n1Nn(x)Rn(x)ai = f x0, , xi 三、Newton插值多項(xiàng)式/* Newtons

12、Inter例2： 解： 先求差商表（上例已求出），4次牛頓插值多項(xiàng)式為：例2： 解： 先求差商表（上例已求出），4次牛頓插值多項(xiàng)式為2、余項(xiàng)： 帶余項(xiàng)的Newton插值公式 證明：2、余項(xiàng)： 帶余項(xiàng)的Newton插值公式 證明：比較可知， 與 的確只是形式上的不同，Newton插值多項(xiàng)式便于計(jì)算，而Lagrange插值多項(xiàng)式多用于理論推導(dǎo)。 注： 性質(zhì)2比較可知， 與 的確只是形式上的不例：習(xí)題4-8設(shè) 互不相同，證明并寫出 的n次Newton插值多項(xiàng)式。例：習(xí)題4-8設(shè) 證明(歸納法) 設(shè) 時成立，即證明(歸納法) 設(shè) 時成立，即得證。得證。的n次Newton插值多項(xiàng)式的n次Newton插值

13、多項(xiàng)式 本節(jié)內(nèi)容提要基本概念 有限差(向前差分、向后差分、中心差分)差分的計(jì)算 差分的性質(zhì)等距節(jié)點(diǎn)插值公式 1.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式 /* Interpolation Formulae with Equal Spacing */ 本節(jié)內(nèi)容提要1.4 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式 上節(jié)談?wù)摿斯?jié)點(diǎn)任意分布的Newton插值公式，實(shí)際應(yīng)用時常碰到等距節(jié)點(diǎn)的情形，即： 步長 此時公式可進(jìn)一步簡化，同時可以避開除法運(yùn)算，引入差分的概念。 前 言 上節(jié)談?wù)摿斯?jié)點(diǎn)任意分布的Newton插值公式，實(shí)際應(yīng)稱為 在 處以h為步長的二階向前差分，簡稱二階差分設(shè)等距節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值為 稱 處以h為步長的一階向前差分，

14、簡稱一階差分，記作： 一、差分1、定義：稱設(shè)等距節(jié)點(diǎn) 注： 類似可以定義：一般地，稱 為 處以h為步長的m階向前差分，簡稱m階差分。一階后差：二階后差：m階后差：注： 類似可以定義：一般地，稱 前差、后差、中心差 統(tǒng)稱為有限差； 有限差算子 一階中心差：二階中心差：m階中心差： 為統(tǒng)一記，規(guī)定零階有限差為：前差、后差、中心差 統(tǒng)稱為有限差；一階中心差： 為統(tǒng) 2、差分的計(jì)算（以前差為例）列差分表 2、差分的計(jì)算（以前差為例）列差分表例： 解：3579222000例： 解：32003、性質(zhì) 歸納法證明 利用函數(shù)值表示高階有限差： 利用各階差分表示函數(shù)值： 差商與差分之間的關(guān)系： 3、性質(zhì) 歸納法

15、證明 利用函數(shù)值表示高階有限差： 證明：證明： 將Newton插值公式中各階差商用相應(yīng)差分代替，可得各種形式的等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式，以下介紹常用Newton前插與后插公式。記節(jié)點(diǎn)則二、等距節(jié)點(diǎn)插值公式由Newton插值公式： 將Newton插值公式中各階差商用相應(yīng)差分代替，可記Newton前插公式上述公式中用差分代替差商N(yùn)ewton前插公式上述公式中用差分代替差商例： 解：求二次牛頓前插公式取差分表第一行數(shù)據(jù)，得Newton前插公式：例： 解：求二次牛頓前插公式取差分表第一行數(shù)據(jù)，得Newto例： 例： 解：3579222000取差分表第一行數(shù)據(jù)，得Newton前插公式：解：3200取差分表第一

16、行數(shù)據(jù)，得Newton前插公式： 牛頓向后插值公式 /* Newtons backward-difference formula */當(dāng)插值點(diǎn) 位于插值區(qū)間右端點(diǎn) 附近時 令將節(jié)點(diǎn)順序倒置：上述公式中用差分代替差商稱之為牛頓向后插值公式 牛頓向后插值公式 /* Newtons backwar注：一般當(dāng) x 靠近 x0 時用前插公式，靠近 xn 時用后插公式，故兩種公式亦稱為表初公式和表末公式。插值余項(xiàng)注：若插值點(diǎn)位于節(jié)點(diǎn)中部，則可利用中心差分構(gòu)造 Stirling插值、Bessel插值等； 用于高精度要求的函數(shù)插值，現(xiàn)已少用！ 注：一般當(dāng) x 靠近 x0 時用前插公式，靠近 xn 時用后例 給

17、定f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: xi 0.4 0.6 0.8 1.0 f(xi) 1.5 1.8 2.2 2.8分別用Newton向前和向后差分公式求f(0.5)及f(0.9)的近似值 解 先構(gòu)造向前差分表如下: xi fi fi 2fi 3fi 0.4 1.5 0.6 1.8 0.3 0.8 2.2 0.4 0.1 1.0 2.8 0.6 0.2 0.1 x0=0.4, h=0.2, x3=1.0. 分別用差分表中對角線上的值和最后一行的值,得Newton向前和向后插值公式如下:例 給定f(x)在等距節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表如下: 解 先構(gòu)(1) (2)當(dāng) x=0.5時,用公式(1),這時t

18、=(x-x0)/h=0.5. 將t=0.5代入(1),得 f (0.5)N3(0.5)=1.64375.當(dāng)x=0.9時, 用公式(2), 這時t=(x3-x)/h=0.5. 將t=0.5代入(2), 得 f (0.9)N3(0.9)=2.46875. go 分段(1) (2)當(dāng) x=0.5時,用公式(1),這時t=(x- 本節(jié)內(nèi)容提要Hermite插值 方法概述、幾何意義、誤差估計(jì)1.5 埃爾米特插值/* Hermite Interpolation */ 本節(jié)內(nèi)容提要1.5 埃爾米特插值不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。即：要求插值函數(shù) (x) 滿足 (xi) = f (xi),

19、(xi) = f (xi), (mi) (xi) = f (mi) (xi).注： N 個條件可以確定 階多項(xiàng)式。N 1要求在1個節(jié)點(diǎn) x0 處直到m0 階導(dǎo)數(shù)都重合的插值多項(xiàng)式即為Taylor多項(xiàng)式其余項(xiàng)為一般只考慮 f 與f 的值。不僅要求函數(shù)值重合，而且要求若干階導(dǎo)數(shù)也重合。注： N 個例：設(shè) x0 x1 x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f (x1), 求多項(xiàng)式 P(x) 滿足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P(x1) = f (x1), 并估計(jì)誤差。模仿 Lagrange 多項(xiàng)式的思想，設(shè)解：首先，P 的階數(shù) =3+=213)()(

20、)()()(=0iiixhx1f xhxfxPh0(x)有根x1, x2，且 h0(x1) = 0 x1 是重根。)()()(22100 xxxxCxh-=又: h0(x0) = 1 C0 h2(x)h1(x)有根 x0, x2 )()()(201xxxxBAxxh-+=由余下條件 h1(x1) = 1 和 h1(x1) = 0 可解。與h0(x) 完全類似。 (x)h1有根 x0, x1, x2 h1)()()(2101xxxxxxCx-=h1又: (x1) = 1 C1 可解。其中 hi(xj) = ij , hi(x1) = 0, (xi) = 0, (x1) = 1h1h1與 Lagr

21、ange 分析完全類似例：設(shè) x0 x1 x2, 已知 f(x0)、 f(一般地，已知 x0 , , xn 處有 y0 , , yn 和 y0 , , yn ，求 H2n+1(x) 滿足 H2n+1(xi) = yi ， H2n+1(xi) = yi。解：設(shè)+=ni)()()(=0iixhxhyixH2n+1n=0iyi其中 hi(xj) = ij , hi(xj) = 0, (xj) = 0, (xj) = ij hihihi(x)有根 x0 , , xi , , xn且都是2重根 )()()(2xlBxAxhiiii+=由余下條件 hi(xi) = 1 和 hi(xi) = 0 可解Ai

22、和 Bi (x)hi有根 x0 , , xn, 除了xi 外都是2重根 hi)()(iili2(x)xxCx-=hi又: (xi) = 1 Ci = 1hi)(x)(ili2(x)xx-=設(shè)則一般地，已知 x0 , , xn 處有 y0 , , yx0 x1x2x3x4xH9(x) f(x) 全導(dǎo)數(shù)的Hermite插值多項(xiàng)式的幾何意義如n=1時Hermite插值多項(xiàng)式 為x0 x1x2x3x4xH9(x) f(x) 全導(dǎo)數(shù)的He 求Hermite多項(xiàng)式的基本步驟： 寫出相應(yīng)于條件的hi(x)、 hi(x) 的組合形式； 對每一個hi(x)、 hi(x) 找出盡可能多的條件給出的根； 根據(jù)多項(xiàng)式

23、的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達(dá)式； 根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)； 最后完整寫出H(x)。 余項(xiàng)： 帶余項(xiàng)的Hermite插值公式 例已知 且在 處有求一個次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式 求Hermite多項(xiàng)式的基本步驟： 寫出相應(yīng)于條件的h解至少3次多項(xiàng)式， 三個零點(diǎn)，那么解至少3次多項(xiàng)式， 由導(dǎo)數(shù)插值條件由導(dǎo)數(shù)插值條件余項(xiàng)，記 的單根，的二重根，在插值區(qū)間內(nèi)有5個零點(diǎn)由RolleTH ， 在區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)則有余項(xiàng)，記 的單根，在插值區(qū)間內(nèi)有5個零點(diǎn)由Rolle 本節(jié)內(nèi)容提要分段線性插值 方法概述、幾何意義、誤差估計(jì)分段二次插值 幾何直觀、方法概述、誤差估計(jì)三次樣條插值簡介 1.3 分

24、段低次插值/* piecewise Interpolation */ 本節(jié)內(nèi)容提要1.3 分段低次插值1、從插值余項(xiàng)角度分析隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)增加到某個值，誤差反而會增加。一、高次插值評述 為了提高插值精度，一般來說應(yīng)該增加插值節(jié)點(diǎn)的個數(shù)，這從插值余項(xiàng)的表達(dá)式也可以看出，但不能簡單地這樣認(rèn)為，原因是前提條件是 有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(即函數(shù)足夠光滑)，但隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)的增加，這個條件一般很難成立。1、從插值余項(xiàng)角度分析隨著節(jié)點(diǎn)個數(shù)增加到某個值，誤差反而會增注意下面圖中曲線的變化情況！例： 在5, 5上考察 的Ln(x)。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.

25、5 2 2.5 n 越大，端點(diǎn)附近變化越大，稱為Runge 現(xiàn)象Ln(x) f (x)注意下面圖中例： 在5, 5上考察 Runge現(xiàn)象：注：高次插值可能出現(xiàn)：在插值區(qū)間中部誤差較小， 而在端點(diǎn)附近誤差較大的情形。Runge現(xiàn)象Runge現(xiàn)象說明并非節(jié)點(diǎn)越多（插值多項(xiàng)式次數(shù)越高），誤差越?。?高次插值的缺點(diǎn)Runge現(xiàn)象的存在；克服方法分段低次插值；Runge現(xiàn)象：注：高次插值可能出現(xiàn)：在插值區(qū)間中部誤差較小分段插值的構(gòu)造方法將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間（通常取等距劃分）采用低次插值在區(qū)間 上得到分段函數(shù)分段插值的構(gòu)造方法將插值區(qū)間劃分為若干個小區(qū)間（通常取等距劃一、分段線性插值/* piec

26、ewise linear interpolation */ 1、方法概述：在每個區(qū)間 上，用1次多項(xiàng)式 (直線) 逼近 f (x):分段線性插值函數(shù)一、分段線性插值/* piecewise linear in2、幾何意義： 分段線性插值從整體上看，逼近效果是較好的，但失去了原函數(shù)的光滑性。2、幾何意義： 分段線性插值從整體上看，逼近效果是較好的，但3、誤差估計(jì)：3、誤差估計(jì)： 只依賴于二階導(dǎo)函數(shù)的界 只依賴于二階導(dǎo)函數(shù)的界1、幾何直觀： 二、分段二次插值/* Piecewise Square Interpolation */ 分段拋物線弧段近似 1、幾何直觀： 二、分段二次插值/* Piece

27、wise S在每個區(qū)間 上，用2次多項(xiàng)式 (拋物線) 逼近 f (x)。2、方法概述：在每個區(qū)間 分段二次插值函數(shù)分段二次插值函數(shù)3、誤差估計(jì)：3、誤差估計(jì)： 收斂性好，計(jì)算簡單；亦可根據(jù)其具體情況 在不同區(qū)間上采用不同次數(shù)的插值公式； 分段函數(shù)雖然在節(jié)點(diǎn)處連續(xù)但未必可導(dǎo)，因而 光滑度較差?？朔椒?三次樣條插值優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn) 收斂性好，計(jì)算簡單；亦可根據(jù)其具體情況優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn) 分段插值存在著一個缺點(diǎn),就是會導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)(銜接處)不光滑,即導(dǎo)數(shù)不連續(xù),對于一些實(shí)際問題,不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。為了滿足這些要求,人們引入了樣條插值的概念。 1.5 樣條插值函數(shù) 分段插值存

28、在著一個缺點(diǎn),就是會導(dǎo)致插值函數(shù)在所謂“樣條”(SPLINE)是工程繪圖中的一種工具,它是有彈性的細(xì)長木條,繪圖時,用細(xì)木條連接相近的幾個結(jié)點(diǎn),然后再進(jìn)行拼接,連接全部結(jié)點(diǎn),使之成為一條光滑曲線,且在結(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率。樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。它除了要求給出各個結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值外,只需提供兩個邊界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)信息,便可滿足對光滑性的不同要求。所謂“樣條”(SPLINE)是工程繪圖中的一種工具,它是有彈一、樣條函數(shù)的定義 設(shè)f(x)是區(qū)間 a, b 上的一個連續(xù)可微函數(shù),在區(qū)間 a,b上給定一組基點(diǎn): a=x0 x1x2xn=b設(shè)函數(shù) s(x) 滿足條件 (1) s(x)在每個子

29、區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式; (2) s(x)在區(qū)間a , b上有m-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù); 則稱s(x)是定義在a ,b上的m次樣條函數(shù)。x0，x1，x2, 稱為樣條結(jié)點(diǎn),其中x1,xn-1稱為內(nèi)結(jié)點(diǎn), x0 , xn 稱為邊界結(jié)點(diǎn)。當(dāng)m=3時,便成為最常用的三次樣條函數(shù)。一、樣條函數(shù)的定義 二、三次樣條插值函數(shù) 設(shè)y = f(x)在點(diǎn) x0，x1，x2, xn的值為 y0，y1，y2, yn，若函數(shù)S(x)滿足下列條件： (1) S(x)在每個子區(qū)間上是不超過3次的多項(xiàng)式； (2) S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,n (1.1) (

30、3) S(x) C2a,b.則稱 S(x) 為函數(shù) f(x) 的三次樣條插值函數(shù),簡稱三次樣條。 二、三次樣條插值函數(shù) 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多，這里介紹一個常用的方法：三彎矩插值法記Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi ,考慮它在任一區(qū)間xi,xi+1上的形式.根據(jù)三次樣條的定義可知 ,S(x)的二階導(dǎo)數(shù) S(x) 在每一個子區(qū)間xi,xi+1 ( i=0,1,2,n-1)上都是線性函數(shù).于是在xi,xi+1 上 S(x)=Si(x) 的二階導(dǎo)數(shù)表示成 其中 hi= xi+1xi .對 S(x) 連續(xù)積分兩次,并利用插值條件 S(xi)= yi,得到 三、三次樣條函數(shù)的

31、構(gòu)造 構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多，這里介紹一個常用的 因此，只要能求出所有的 M i，就能求出樣條插值函數(shù) S(x).下面考慮 Mi 的求法 因此，只要能求出所有的 M i，就能求出樣條插值函數(shù) 則由連續(xù)性 S(xi-)= S(xi+) ,(i=1,2,n-1) 得 iMi-1+2Mi+iMi+1= di其中 上面的方程組有n-1個方程，但有n+1個變量 Mi，故需兩個方程才能求唯一解，為此引入下列邊界條件則由連續(xù)性上面的方程組有n-1個方程，但有n+1個變量 Mi下面介紹幾種常用的邊界條件 第一型邊界條件： 已知 f(x) 在兩端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) f(a)和 f(b) ，要求 S(a) = f

32、(a) , S(b) = f(b)第二型邊界條件：已知f(x)在兩端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù) f“(a)和 f(b) ，要求 S(a)=M0 = f(a) , S(b)=Mn= f(b) 特別當(dāng) S(a)= S(b) =0時，S(x)稱為自然三次樣條 第三型邊界條件： 已知 f(x)是以 b -a為周期的周期函數(shù) ，要求 S(x) 滿 足周期條件 S (a) = S(b) , S(a+)= S(b-) , S(a+)= S(b-)下面介紹幾種常用的邊界條件 三次樣條插值問題加上第 i 型邊界條件稱為第 i 型插值問題（i=1,2,3）可以證明第i型插值問題的解是存在且唯一的。它們對應(yīng)如下的三對角方程組：

33、2 0 M0 d0 1 2 1 M1 d1 . . . . . . . . . = . (*) . . . . . n-1 2 n-1 Mn-1 dn-1 n 2 Mn dn 三次樣條插值問題加上第 i 型邊界條件稱為第 i 型插值問對于第一型插值問題，取 0=1，n=1,對于第二型插值問題，取 0=0，n=0 對于第一型插值問題，取 0=1，n=1, 對于第三型插值問題，利用周期性，可導(dǎo)出其中 以上各組條件與方程組(*)聯(lián)立，可以解出未知參數(shù)M0，M1 ,Mn，然后代入S(x) 表達(dá)式，即可求得樣條函數(shù) 。上面構(gòu)造方法中Mi相應(yīng)于力學(xué)中細(xì)梁在xi處截面的彎矩，每一個方程中又至多出現(xiàn)相鄰的三個Mi，通常稱為三彎矩法。總結(jié)以上論述，可得求三次樣條的步驟為： （1）確定邊界條件，判定是第幾型插值問題； （2）根據(jù)所確定的條件計(jì)算各值，形成方程組(*)； （3）解三對角方程組(*)，求得M0， M1 ， M2, Mn ； （4）將求得的Mi值代回S(x)的表達(dá)式中，從而可求得函數(shù)y=f(x)在任一點(diǎn)的近似值S(x)。以上各組條件與方程組(*)聯(lián)立，可以解出未知參數(shù)M0，M1 四、例題