二元函數(shù)微積分偏導(dǎo)數(shù)和全微分課件

1、推廣一元函數(shù)微分學(xué) 二元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別異同二元函數(shù)微積分 推廣一元函數(shù)微分學(xué) 二元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別一、區(qū)域二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域二、二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的基本概念 區(qū)域平面上滿足某個條件的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合。平面點(diǎn)集：平面區(qū)域：由平面上一條或幾條曲線所圍成的部分平面點(diǎn)集稱為平面區(qū)域，通常記作D。01邊界閉區(qū)域開區(qū)域區(qū)域平面上滿足某個條件的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合。平面點(diǎn)集：平面區(qū)域00型區(qū)域型區(qū)域常見區(qū)域由四條曲線圍成由四條曲線圍成00型區(qū)域型區(qū)域常見區(qū)域由四條曲線圍成由四條曲線圍成鄰域:01鄰域:01二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念一元函

2、數(shù)二元函數(shù)定義域自變量個數(shù)一個：兩個：在數(shù)軸上討論（區(qū)間）在平面上討論（區(qū)域）一元函數(shù)二元函數(shù)定義域自變量個數(shù)一個：兩個：在數(shù)軸上討論在平一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二 、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二 、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)定義：在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:定義：在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù) ,記為或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù) z = f ( x

3、 , y例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對 x 的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) .偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) 例1 . 求解：在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù). 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，要求二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)，只需將另一個自變量看做常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可。例1 . 求解：在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù). 由例2. 設(shè)證:例3. 求的偏導(dǎo)數(shù) . 解:求證例2. 設(shè)證:例3. 求的偏導(dǎo)數(shù) . 解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證

4、:證:說明:(R 為常數(shù)) , 不能看作分子與分母的商 !此例表明,整體記號,偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說練 習(xí)練 習(xí)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù):二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z = f (x , y)解： 解： 例6. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性 , 有方程例6. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性 , 有方程內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先