空間向量及其應(yīng)用（一）講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1、空間向量及其應(yīng)用（一）基本概念1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與直線a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y，使 空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,

2、 z, 使3（1）用空間向量處理“平行”問題 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則線線平行； 線面平行；面面平行（2）用空間向量處理“垂直”問題 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則線線垂直；線面垂直，（是兩條相交的直線）； 線面垂直； 面面垂直 （3）設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則異面直線所成角： 直線與平面所成角： 兩個平面的夾角（平面的法向量分別為）：（4）異面直線間的距離的向量求法：已知異面直線，AB為其公垂線段，C、D分別為上的任意一點(diǎn)，為與共線的向量，則.HYPERLINK /（5）設(shè)平面的一個法向量為，點(diǎn)P是平面外一點(diǎn)，且Po，則點(diǎn)P到平面的距

3、離是d.3當(dāng)解空間圖形問題幾何法難進(jìn)行時,可以嘗試運(yùn)用空間向量(或坐標(biāo))來處理(三步曲):（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(還常建立坐標(biāo)系來輔助)（化為向量問題或向量的坐標(biāo)問題）（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及它們之間距離和夾角等問題（進(jìn)行向量運(yùn)算）（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回到圖形）鞏固訓(xùn)練一、選擇題。1有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn)一定共面；已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空

4、間的一個基底。其中正確的命題是（ ） 2下列命題正確的是（ ） 若與共線，與共線，則與共線； 向量共面就是它們所在的直線共面； 零向量沒有確定的方向； 若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得；3如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，則下列向量中與相等的向量是（ ） 4已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（） A. ：|=：| B.a1b1=a2b2=a3b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k5已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.16下列各組向量共面的是（）

5、A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)7設(shè)、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（）（）= | （）（）不與垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命題的有（ ）A. B. C. D.8關(guān)于直線、與平面、，有下列四個命題：且，則；且，則；且，則；且，則.其中真命題的序號是（）A. 、 B. 、 C. 、 D. 、9設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則BCD是（ ）A鈍角三角形 B直角三

6、角形C銳角三角形 D等腰直角三角形10已知=，=，則以為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A B C4 D811設(shè)是平面外一點(diǎn)，點(diǎn)滿足條件，則直線（）A與平面平行B是平面的斜線C是平面的垂線D在平面內(nèi)12已知四邊形ABCD滿足，則該四邊形ABCD為（）A平行四邊形B空間四邊形C平面四邊形D梯形13已知非零向量及平面，若向量是平面的法向量，則是向量所在直線平行于平面或在平面內(nèi)的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件14已知四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩互相垂直，給出下列兩個命題：；=則下列關(guān)于以上兩個命題的真假性判斷正確的為（）A真、真B真、假C假、假D假、真二、

7、填空題1. 已知向量和的夾角為120，且|=2，|=5，則（2）=_.2. 空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF，設(shè)M，N分別是BD和AE的中點(diǎn)，給出如下命題：ADMN；MN面CDE；MNCE；MN，CE異面則所有的正確命題為 。三、解答題1已知：且不共面.若,求的值.2已知空間三點(diǎn)A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.3. 設(shè)空間兩個不同的單位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0。4. （1

8、）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：+4。（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M1（1，-2，1）移到點(diǎn)M2(3，1，2)，求物體合力做的功。5. 如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)證明：PA平面ABCD，PB平面EACDDEBACPxyzB1C1A1CBAMN6. 如圖，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，M、N分別xyzB1C1A1CBAMN(1) 求BM的長； (2) 求的值； (3) 求證： 7. 已知為原點(diǎn)，向量

9、HYPERLINK / ，求8. 如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.ZADGEFCZADGEFCBxy(2) 求GE與平面ABCD所成的角；(3) 求點(diǎn)C到截面AEFG的距離答案：一、1. C 2. C 3. A 4. D 5. A 6.A 7. D 8. D 9. C 10.A 11D 12B 13C 14A二、1.答案：13；解析：（2）=22=2|2|cos120=2425（）=13。 2. 三、1. 解：,且即又不共面,2.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）

10、.(1)cos=，和的夾角為。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2+k10=0。則k=或k=2。3. 解：(1)|=|=1，x+y=1，x=y=1.又與的夾角為，=|cos=.又=x1+y1，x1+y1=。另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，2x1y1=()21=.x1y1=。(2)cos=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2x+=0的解.或同理可得或，或cos=+=+=.0，=。4. 解析：（1）設(shè)=

11、(，)，=(1，1，1)，則|=4，|=.|，=+|=4.當(dāng)=時，即a=b=c=時，取“=”號。（2）解：W=Fs=(F1+F2+F3)=14。5. 先證明PA平面ABCD建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是，=（），=（0，a，0）DEPBACODEPBACOGH zyxAPAB，APADAB、AD為平面ABCD內(nèi)的兩相交直線，AP平面ABCD再證明PB平面EAC因?yàn)?，所以、共面又PB平面EAC，所以PB平面EAC6. 解：以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.(1) 依題意得B（0，1，0），M（1，0，1）.(2) 依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.(3) 證明：依題意得C1（0，0，2），N.7. 解：設(shè)，即 HYPERLINK / 解此方程組，得。，。8. 解：(1) 由圖可知：A(