2022年廣東高考數(shù)學理科卷第19題研究

1、2021年廣東高考數(shù)學理科卷第19題研究2021年廣東高考數(shù)學理科卷第19題研究題目:(總分值14分)曲線:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點a(xa,ya)和b(xb,yb),且xaxb.記曲線在點a和點b之間那一段l與線段ab所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為d.設(shè)點p(s,t)是l上的任一點,且點p與點a和點b均不重合.br=(1)假設(shè)點q是線段ab的中點,試求線段pq的中點的軌跡方程;(2)假設(shè)曲線g:x2-2ax+y2-4y+a2+=0與d有公共點,試求a的最小值.一、總體分析數(shù)學探究性問題是新課程施行后較受重視的一類問題,其問題新穎,題材豐富,綜合性強,解法靈敏多樣,是高考命題的熱

2、點.2021年廣東高考數(shù)學理科卷第19題是一道整合了圓、拋物線、直線等內(nèi)容的綜合性問題,包含了數(shù)形結(jié)合、化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法,旨在考察考生理解直觀與嚴謹?shù)年P(guān)系,檢測考生的詳細形象思維、想象思維與邏輯思維程度;考察考生的推理論證才能、運算求解才能和問題探究才能;考察考生的創(chuàng)新意識和問題解決才能,表達了數(shù)學新課程的理念與要求.第(1)問求線段pq的中點的軌跡方程,是一道常規(guī)題,考生只需初步具備與未知互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,就能順利作答.點p是的,點q是可求的,點是未知的,且3個點互相關(guān)聯(lián),用未知點來表示點p,再通過點p的軌跡方程,即可得點的軌跡方程.第(2)問通過數(shù)形結(jié)合思想,讓圓動起來并求

3、a的最小值,立意新穎靈敏,考察學生對軌跡方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的理解,對線性規(guī)劃圖解法的分辨才能,對數(shù)學問題的探究與質(zhì)疑、反思才能.從評卷結(jié)果來看,許多考生受線性規(guī)劃圖解法思維定勢的影響,直觀地認為當圓g過點a時,a取最小值.命題者深諳此理,將動圓的半徑定為和直線的斜率設(shè)為1,這是此題的亮點:數(shù)學發(fā)現(xiàn)離不開直觀與合情推理,但未經(jīng)嚴密論證的形象思維成果有時會是一種美麗的假象,容易使我們陷入泥潭.二、得分情況統(tǒng)計作為倒數(shù)第三大題,這樣的平均分顯然不能令人滿意,但又在情理之中.樣卷統(tǒng)計結(jié)果顯示:02分數(shù)段約占47.64%,該題平均分如此之低就缺乏為奇了.三、典型錯誤統(tǒng)計隨機抽取4786份樣卷進

4、展分析,存在以下7種典型錯誤情形.四、第(2)問解法分析當曲線g(即圓g)與d僅有一個公共點時,圓g與d的上邊界限段ab正好相切,a取最小值.解法1利用等腰直角三角形的性質(zhì).如圖1,曲線g的方程可化為(x-a)2+(y-2)2=,這是一個圓心為g(a,2),半徑為的圓.設(shè)圓g與直線l:x-y+2=0相切于點t(xt,yt),線段ab與y軸相交為r,那么有=,即a=.因為直線l的傾斜角為45,那么gtr為等腰直角三角形,且t(xt,yt)為直角頂點.故xt=a=.又(-1,2),且-1和2是區(qū)域d中點的最小和最大橫坐標,所以切點td.故滿足條件的a的最小值為-.解法2利用解代數(shù)方程組.當圓g在y

5、軸左邊與線段ab相切,即只有一個交點時,a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0,得2x2-2ax+a2-=0.依題意有=0且a0,即4a2-8(a2-),得a=-.條件切點td的判斷方法與解法1同,此處略.解法3利用td先定a的取值范圍.過點g(a,2)與直線l垂直的直線l的方程是y-2=-1(x-a),即x+y-2-a=0.由x-y+2=0 x+y-2-a=0,解得交點t的坐標xt=,yt=+2.假設(shè)點t(xt,yt)d,那么ytxt2,即+2,解得a(-2,4).參考解法1或解法2,可求得a=.因為(-2,4),故滿足條件的a的最小值為-.解法4利用正弦定理.如

6、圖2,曲線g的方程可化為(x-a)2+(y-2)2=,易知點r的坐標為(0,2).依題意,只需考慮a0的情況.當a0且圓g與d有公共點時,圓g與ab必有交點,設(shè)此交點為n,那么gn=.(1)假設(shè)點n與點r不重合,那么在gnr中,設(shè)gnr=,由正弦定理得=(或=)故a=sin.假設(shè)sin能取到最大值1,那么a有最小值-.由于ra=rn=,故在線段ab上可取點n,使rn=gn,再取gr=a=,那么gnr=90,從而sin能取到最大值1,此時a的最小值為-.(2)假設(shè)點n與點r重合,那么點g的坐標是(-,2).綜合(1)與(2)知,滿足條件的a的最小值為-.解法5利用導數(shù)求函數(shù)極值.曲線g的方程可化

7、為(x-a)2+(y-2)2=.設(shè)線段ab上的動點n(u,u+2),u-1,2,那么gn2=(a-u)2+(2-u-2)2=,即a=u.如圖2,要使a獲得最小值,圓g應(yīng)在y軸左邊且應(yīng)與線段ab相交,此時au0,所以a=u-.br=令a=f(u)=u-,u-1,2,那么此題轉(zhuǎn)化為求f(u)在-1,2上的最小值.因為f(u)=1+,令f(u)=0,得u0=-1,2.當u-1,-時,f(u)0,f(u)單調(diào)遞減;當u-,2時,f(u)0,f(u)單調(diào)遞增.于是a=f(u)在u0-1,2處獲得極小值,而f(u0)=u0-=-,所以滿足條件的a的最小值為-.五、問題拓展好的數(shù)學高考題如同一瓶好酒,越品越香醇.從開展學生思維的靈敏性和進步學生的數(shù)學探究才能而言,此題具有很好的研究和教學價值.現(xiàn)提出以下兩個問題供