2021屆全國卓越名校聯(lián)盟新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷十五數(shù)學(xué)

1、2021屆全國卓越名校聯(lián)盟新高考原創(chuàng)預(yù)測試卷（十五）數(shù)學(xué)祝考試順利注意事項：1、考試范圍：高考范圍。2、試題卷啟封下發(fā)后，如果試題卷有缺頁、漏印、重印、損壞或者個別字句印刷模糊不 清等情況，應(yīng)當(dāng)立馬報告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。3、答題卡啟封下發(fā)后，如果發(fā)現(xiàn)答題卡上出現(xiàn)字跡模糊、行列歪斜或缺印等現(xiàn)象，應(yīng)當(dāng) 馬上報告監(jiān)考老師，否則一切后果自負(fù)。4、答題前，請先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫在試題卷和答題卡 上的相應(yīng)位置，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷 類型A后的方框涂黑。5、選擇題的作答：每個小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的

2、答案標(biāo)號涂 黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選擇題答題區(qū)域的答案一律無效。6、填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、 草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域的答案一律無效。如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫 上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。7、選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑。答案用 0.5毫米黑色簽字筆寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非選 修題答題區(qū)域的答案一律無效。8、保持答題卡卡面清潔，不折疊，不破損，不得使用涂改液、膠帶紙、修正帶等。9、考試結(jié)束后，請將本試題卷、答題卡

3、、草稿紙一并依序排列上交。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的.已知集合 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A = 2, 3, 4, 5, B =2, 3, 6, 7,則A門（UB）=（）A. 1, 4B. 1, 4, 5C.4, 5D.6, 7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集與交集的定義，計算即可.【詳解】集合 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, B =2, 3, 6, 7,所以UB =1, 4, 5,又A = 2, 3, 4, 5),所以 An( U)=4, 5.故選：C.【點睛】本題考查了集

4、合的補集和交集運算，基礎(chǔ)題.，一 a + i.若復(fù)數(shù)Z二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限內(nèi)，則實數(shù)a的值可以是（）-1A. 1B. 0C. - 1D. - 2【答案】B【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部小于0且虛部大于0求解a的范圍即可.a + i (a + i)(1 + i) a -1 a +1.=V =1 - i(1-i )(1 + i)2又因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限內(nèi)，B0得-1得-1 a 0 2實數(shù)a的值可以是0.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.甲、乙、丙三人中，一人是律師，一人是醫(yī)生，一人是記

5、者.已知丙的年齡比醫(yī)生大；甲 的年齡和記者不同；記者的年齡比乙小，根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是（）A.甲是律師，乙是醫(yī)生，丙是記者B.甲是醫(yī)生，乙是記者，丙是律師C.甲是醫(yī)生，乙是律師，丙是記者D.甲是記者，乙是醫(yī)生，丙是律師【答案】C【解析】【分析】由題意易得丙是記者，由丙的年齡比醫(yī)生大，得到乙不是醫(yī)生，從而乙是律師，甲是醫(yī)生【詳解】由甲的年齡和記者不同，記者的年齡比乙小，得到丙是記者，從而排除B和D ；由丙的年齡比醫(yī)生大，得到乙不是醫(yī)生(若乙是醫(yī)生的話與記者的年齡比乙小相矛盾)，從 而乙是律師，甲是醫(yī)生.故選：C.【點睛】本題考查簡單的合情推理，考查推理論證能力、總結(jié)歸納能力，考查化歸與

6、轉(zhuǎn)化思 想，是基礎(chǔ)題.以拋物線E: x2= 4y的焦點為圓心，且與E的準(zhǔn)線相切的圓的方程為()A. G -11 + y2 = 4B, x 2+(y +11=4C. (x +1)+ y2 = 4D, x2+(y-1 = 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點和準(zhǔn)線得到圓心和半徑，進一步到圓的方程.【詳解】拋物線E: x2 = 4y的焦點為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y = -1,圓與E的準(zhǔn)線相切，則r 2，故圓方程為：x2+(y-1 = 4.故選：D.【點睛】本題考查了拋物線的焦點和準(zhǔn)線，圓方程，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力5.設(shè)函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f (x) = ex -

7、cosx,則不等式f (2x - 1) +f (x - 2)0的解集為()D. (1, +s)A. (- 1)B.D. (1, +s)【答案】D 【解析】【分析】由函數(shù)的解析式求出其導(dǎo)數(shù)，分析可得f(x)在0, +8)上為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分 析可得f( x )在R上為增函數(shù)，據(jù)此可得原不等式等價于2x-12-x，解出x的取值范圍， 即可得答案.【詳解】由題知，當(dāng)0時，f (x) = ex - cos%,此時有f f(x) = ex+sinx0,則f (x)在0,+()上為增函數(shù)，又由f(x)為奇函數(shù)，則f (x)在區(qū)間(-s, 0上也為增函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù).由f (2x -

8、1) +f (x -2)0,可得 f (2x - 1)- f (x -2),而函數(shù)f (x )為奇函數(shù)，可得到f (2x - 1)f (2-x),又f( x )在R上為增函數(shù)，有2x - 12-x，解得x 1, 即不等式的解集為(1, +s).故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，屬 于中檔題.6.周髀算經(jīng)是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之?dāng)?shù)，日月之法， 十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，.生數(shù)皆終， 萬物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”，某老年公寓住有20位老人，他們的年齡(都為正整數(shù))之和 恰好

9、為一遂，其中年長者已是奔百之齡(年齡介于90至100),其余19人的年齡依次相差一 歲，則年長者的年齡為()A. 94B. 95C. 96D. 98【答案】B【解析】【分析】設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n，年紀(jì)最大者為m, m90, 100,由題可得n + (n +1) + (n+2) + + (n +18) + m = 19n +171+ m =1520,解出n的取值范圍，根據(jù)年齡為整數(shù)可得n的取值范圍，再代入可得m的值.【詳解】根據(jù)題意可知，這20個老人年齡之和為1520,設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n，年紀(jì)最大者 為 m, m 90,100,貝|有 n + (n +1) + (n+2) + + (n +18

10、) + m = 19n +171+ m = 1520,則有 19n+m =1349,則 m = 1349 - 19n,所以 901349 - 19n0, b0)右焦點為凡過點F且與xa 2 b 2軸垂直的直線與雙曲線C的一條漸近線交于點A (點A在第一象限)，點B在雙曲線C的漸近線上，且BF/。4,若AB - OB = 0，則雙曲線C的離心率為(A.竽23A.竽23D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 設(shè)雙曲線的半焦距為c，利用題設(shè)條件分別求出A、B的坐標(biāo)，再利用AB - OB=0得到a與c的關(guān)系式，即可求出離心率.b【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為：b【詳解】如圖所示，

11、設(shè)雙曲線的半焦距為c，漸近線方程為：) = X-, abca),設(shè)點 b(x 0bx0 IBF/OA, a,鼠=,鼠=k,F，即bbc五一bx0 cca ，解得：x0 = 5，所以B(-,OB一 - 一 c2 3b2 c2又 AB - OB = 0, += 0,即 a2=3b2.44 a 2Vc2=a2+b2,a2 = 3 （c2 - a2）,即 3c2=4a2,所以離心率e = c =史. a 3故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程，考查了求雙曲線的離心率，考查了平面向量的數(shù) 量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.二、多項選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四 個選

12、項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有 選錯的得0分.我國是世界第一產(chǎn)糧大國，我國糧食產(chǎn)量很高，整體很安全按照14億人口計算，中國人均 糧食產(chǎn)量約為950斤-比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中 2010 - 2019年，我國糧食產(chǎn)量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條形圖，根據(jù)如圖可知 在 2010 - 2019 年中（ ）超仕產(chǎn)址（萬噸）孫曄即乜隼涮2年加白年加侔物飾20】碑201? 超仕產(chǎn)址（萬噸）孫曄即乜隼涮2年加白年加侔物飾20】碑201? 201-四國年6Q卡6RD4庭.161 7P66.3S曲崎 m押加2fmL丹加海年加I怖涮涮

13、座即陣加胖年A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大2015年- 2019年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定D 2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】仔細觀察2010 - 2019年，我國糧食產(chǎn)量（千萬噸）與年末總?cè)丝冢ㄇf人）的條形圖，利用條形圖中的數(shù)據(jù)直接求解.【詳解】由中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站中2010 - 2019年，我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝?千萬人)的條形圖，知： 對于A,我國糧食年產(chǎn)量在2010年至2015年逐年遞增，在2015年至2019年基本穩(wěn)定在66千萬噸左右，2016年，2018年略低；而我國年末總?cè)丝诰鹉赀f

14、增，故A錯誤； 對于B,由糧食產(chǎn)量條形圖得2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大，約為5%,故B正確;對于C,在2015年至2019年基本穩(wěn)定在66千萬噸以上，故C正確； 對于D, 2015年我國人均糧食年產(chǎn)量達到了最高峰，約為0.48噸/人，故D正確.故選：BCD 【點睛】本題主要考查條形圖，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和運算求解能力，是基礎(chǔ)題.10.若a b 0則下列不等式中一定成立的是()A.a-1b-A.a-1b-1B.baC. In (b - a) 0D.(3cla 7【答案】BD【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 一 1對于a：構(gòu)造函數(shù)y = %-,由函數(shù)在(-8,-1)上的單調(diào)性

15、進行比較； x1,-、對于b:構(gòu)造函數(shù)y = x + ,由函數(shù)在(-8,-1)上 單調(diào)性進行比較； x對于C由于a 0,但不確定b - a與1的大小關(guān)系，無法判斷大??； HYPERLINK l bookmark73 o Current Document a 1 n b 1的對于D :易知 1，0 - 1，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.ba1 z1,1【詳解】由函數(shù)y = x - 在(-8,-1)上為增函數(shù)可知，當(dāng)a b -1時，a- b-7，故 xa b選項a錯誤； HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 111 HYPERLINK l bookm

16、ark83 o Current Document 由函數(shù)y = x +上在(-8,-1)上為增函數(shù)可知，當(dāng)a b -1時，a +1 b +1 ,即 xaba - b -，故選項B正確；ba由于a 0，但不確定b - a與1大小關(guān)系，故1n(b - a)與0的大小關(guān)系不確定，故選項C錯誤;a由 a由 a b 1,bb八（a A c0 - 0，則-aI b ）一 （b Ac 一 1 0,故選項D正確.Ia ）故選：BD.【點睛】本題考查實數(shù)的大小比較，考查函數(shù)思想的運用，屬于基礎(chǔ)題.11.在單位圓0： %2+y2=1上任取一點P （x, y），圓O與x軸正向的交點是A,設(shè)將OA繞原 點0旋轉(zhuǎn)至u

17、0P所成的角為/記X, y關(guān)于e的表達式分別為 =f（e）, y=g（e），則下列說法正確的是（）a. % =f（e）是偶函數(shù)，y=g（e）是奇函數(shù)b.% =f（ eb.% =f（ e）在一、兀兀為增函數(shù)，y = g（e）在，為減函數(shù)c.f（ e）+ g（ e）對于e e。，恒成立d.函數(shù)t =2f（e）+ g（2e）的最大值為遼d.2【答案】AC【解析】【分析】a，由題可知，x = f（e）= cose，y = g（e）= sine，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性，可判 斷選項a ；B，根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，可判斷選項B ；。，先利用輔助角公式可得f（e）+ g （e）=、;2si

18、n（e+：），再結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得解； 4D，t = 2cos e+ sin2 e，e e 0，2兀，先對函數(shù)t求導(dǎo)，從而可知函數(shù)t的單調(diào)性，進而可得 當(dāng)sine= ;，cose二三 時，函數(shù)t取得最大值，結(jié)合正弦的二倍角公式，代入進行運算即 可得解.【詳解】解：由題可知，% = f（e）= cose，y = g（e）= sine，即a正確；cc冗 c、冗rK K% = f（e ） = cose在一 y,0）上為增函數(shù)，在0,y上為減函數(shù)；y = g（e ） = sin e在一不，W上 為增函數(shù)，即B錯誤；f (0) + g(0) = cos。+ sin0 = 2 sin(0 + ),9

19、 g 0, , /. 0 + g ,4244 4八 兀 0,則-1 sin 0 1；令 t 0，則1 sin 0 1, 22八兀 5函數(shù)t在0八兀 5函數(shù)t在0，6和y,2上單調(diào)遞增，在 二不 上單調(diào)遞減16 6 ）cos0 =時，函數(shù)t取得極大值，為t = 2x 4 + 2xx二 =主業(yè), 222 22又當(dāng)0= 2即sin 0 = 0，coso = 1時，t = 2 x 1 + 2 x 0 x 1 = 2，所以函數(shù)t的最大值為至， 2即D錯誤.故選：AC .【點睛】本題考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，三角恒等變換，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)性與最值等，考查學(xué)生靈活運用知識的能力、推理論證

20、能力和運算能力，屬于中檔題.12.如圖，平面aQ平面B=l, A, C是a內(nèi)不同的兩點，B, D是萬內(nèi)不同的兩點，且A, B,C, D直線l, M, N分別是線段AB, CD的中點.下列判斷正確的是（）A.若 AB / CD，則 MN/1B.若M, N重合，則AC/1C.若AB與CD相交，且AC/1，則BD可以與l相交D.若AB與CD是異面直線，則MN不可能與平行【答案】BD【解析】【分析】由若兩兩相交的平面有三條交線，交線要么相交于一點，要么互相平行判定A、 b、 C；用 反證法證明D.【詳解】解：若AB/CD，則A、b、C、D四點共面丫，當(dāng)AB CD時，平面a、P、丫兩兩相交有三條交線，分

21、別為AC、BD、l，則三條交線交于一點O，則l與平面丫交于點O，MN與l不平行，故A錯誤；若M，N兩點重合，則AC/BD，A、b、C、D四點共面丫，平面a、P、丫兩兩相交有三條交線，分別為AC、BD、l，由 AC / / BD，得 AC / / BD/l，故 B 正確；若AB與CD相交，確定平面Y，平面a、P、丫兩兩相交有三條交線，分別為AC、BD、l，由 AC / /1，得 AC / / BD/l，故 C 錯誤；當(dāng)AB，CD是異面直線時，如圖，連接BC，取BC中點G，連接MG，NG .則 MG / / AC , AC ua , MG ”，則 MG /a，假設(shè) MN / /1 ,l ua ,

22、MN Ua , MN /a , 又MN MG = M，.二平面MNG/a ,同理可得，平面MNG/P ,則a/p ,與平面a 平 面p =fll矛盾.二假設(shè)錯誤，MN不可能與l平行，故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思 維能力，屬于中檔題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài)已知兩條繩上的拉力分別是F,F，且F,F與水平夾角均為45。，|F = F = 10。水，則物體的重力大小為N.12121 12【答案】20【解析】【分析】根據(jù)力的平衡有IGI=IF+F

23、 I,兩邊平方后可求出IGI. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 12?！驹斀狻坑深}意知IGI=IF+FI.F,F的夾角為彳. HYPERLINK l bookmark168 o Current Document 12122兀 一所以IGI2 =I F + F I2 =I F I2 +2I FIIF Icos-+I F I2.1211 222所以 IG I2= 200+0+200=400 .一所以 IG I= 20.故答案為:20.【點睛】向量的數(shù)量積的兩個應(yīng)用：(1)計算長度或模長，通常用I a I= .后 ；(

24、2)計算夾角，cos = 4b .特別地，兩非零向量a,b垂直的充要條件時a b=0 . I a I - I b I( 兀、 sin ( 兀、 sin a- -14.已知aw 0,二一一 I 2【答案】3【解析】【分析】冗冗冗兀由題可知a-e(-,-)，所以cos(a-) 0，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得其值， 44 44 - 再采用拼湊角的方法，sina= sin(a-) + -，并結(jié)合正弦的兩角和公式求出其值，再一次 44利用平方關(guān)系，求出cos a的值，最后利用商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】解：Sin（a一標(biāo)卷，且ae（0,!，。一？（-4cos(a ?) = ,1 sin 2(a -4

25、) = 2y5sin a = sin(a上)+ 工=gsin(a馬 + cos(a)=立 x := 442442510a g (0, ) , /. cos a = v sin2a = , 210.tan a = sin。= 3. cos a故答案為：3.【點睛】本題考查三角恒等變換的混合運算，觀察角之間的聯(lián)系，使用拼、湊角是解題的關(guān) 鍵，考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.植樹造林，綠化祖國.某班級義務(wù)勞動志愿者小組參加植樹活動，準(zhǔn)備在一拋物線形地塊 上的ABCDGFE七點處各種植一棵樹苗，且關(guān)于拋物線的如圖所示，其中A、B、C分別與E、 F、G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，現(xiàn)有三種樹苗，要求每種

26、樹苗至少種植一棵，且關(guān)于拋物 線的對稱軸對稱的兩點處必須種植同一種樹苗，則共有不同的種植方法數(shù)是 （用數(shù)字作答）.【答案】36 【解析】【分析】先選四個位置上的重復(fù)樹苗有C1種方法，再利用相同元素的排列問題（除序法）即可解決問 3題.【詳解】解：由題意對稱相當(dāng)于3種樹苗種A , B , C , D四個位置，有且僅有一種樹苗重A 4復(fù)，有C1種選法；在四個位置上種植有下=12種方法，3A 22則由乘法原理得C1 X12 = 36種方法.3故答案為：36.【點睛】本題考查排列組合，計數(shù)原理的應(yīng)用，本題運用除序法，可以避免討論，簡化計算.屬 于中檔題.I lnx, x 116.已知函數(shù)/x 3 -

27、3 x 2+1, x(1則x曰一1,，時,f(x)的最小值為一；設(shè)g(x)=f (x) 2-f (x) + a若函數(shù)g (x)有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.1【答案】(1). -4(2). (0, 4 )【解析】【分析】根據(jù)各段函數(shù)的單調(diào)性分別求出各段的最小值或者下確界，即可求出x e -1, e時，f (x)的最小值； 令t = f (x)，根據(jù)題意再結(jié)合函數(shù)f (x)的圖象，以及y = 12 -1的圖象即可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)xe1, e時，f (x) = Inx，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故此時函數(shù)最小值為 f (1) = ln1 = 0 ,當(dāng) x e -1, 1)時

28、，f (x) = 2x3 - 3x2 +1,則 f(x) = 6x2 -6x = 0 時，x = 1 (舍)或 0,且有f (x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，因f (-1)=-2 - 3 +1 = -4 f (1),故函數(shù)f (x)在-1 , e上的最小值為-4 ；令 t = f (x) , g (x) = 0 即 12 -1 = - a ,作出函數(shù)y = f (x)的圖象，如圖所示：直線y = t與函數(shù)y = f(x)的圖象最多只有三個交點，所以0 t 1,即說明方程12 -1 = - a有兩個(0,1)內(nèi)的不等根，亦即函數(shù)y = t2 -1在(0,1)內(nèi)的圖象與直線y

29、 = -a有兩個交點， TOC o 1-5 h z ,1、11 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 因為y = 12 T = (t - -)2-，根據(jù)y = 12-1的圖象可知，一五 a 0 , 乙IIc1即實數(shù)a的取值范圍為0 a 4.1故答案為：4 ； (0,4).3廿【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值求法，以及根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍，考查學(xué) 生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于較難題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步 驟.17.在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b,和已知a =

30、23, A =,兀(1)若 B =，求 b ；4(2)求 ABC面積的最大值.【答案(1) 2 ,/ ； (2) 3 3【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用正弦定理可求b的值；(2)由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，進而可求ABC面積的最大值.?！驹斀狻拷猓?1) B = ?！驹斀狻拷猓?1) B = 4a = 243, A =一, 3可得b =a sin Bsin A(2)a = 2二AABC 面積的最大值為 Lbc sin A = x 12 x = 3V3 .222【點睛】本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式與三角形面積的計算 問題，屬于基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列“為正項

31、等比數(shù)列，ai =1 ；數(shù)列bj滿足b = 3,a b + a b + a b + a b = 3 +（2n - 3）2n.（1）求a ；n（2）求-的前n項和T .I bb Inn n n+1 J一一 n【答案】（1） a2n 1 ；（2）T =-nn 2 n +1【解析】【分析】=（1）首先令n = 1和n = 2求出a = 2，從而得到公比夕=區(qū)=2，再求通項公式即可. 2a1（2）首先根據(jù)已知求出b = 2 n -1，再利用裂項求和即可得到答案. n【詳解】（1）令n = 1,得a1b = 3 +（2-3）2 = 1，所以b= 1,令 n = 2，得 a1 b1 + a2b2 = 3

32、+ (4 - 3) x 22 = 7 , 所以 a 2 b2= 6,又 b2 = 3，所以 a 2 = 2 ,設(shè)數(shù)列a 的公比為q , n則 q = a2 = 2，所以 a 2n 1 ； an1(2(2)當(dāng) n 2 時，a1 % +_a2b2 + a b = 3 + 2(n -1) - 32n-1 n-1 n-1又 ab + a b + a b + a b = 3 + (2 n - 3)2 n， ab = 3 + (2 n - 3)2 n-1_3 + (2 n - 5)2 n-1 J = (2 n -1)2n-1,因為an 2n1，所以bn = 2n-1, n = 1時也成立，所以bn = 2

33、n-1. TOC o 1-5 h z -11z 11 、=(-)bb(2n - 1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1，n n+1所以 T = _(1-) + ( ) + + (-)n 233 52n -1 2 n +1_1/i 11 、/ 11=2(1+ 3 + + 冏)- (3 + 5 + + 市!力=1(1-，) = 42 n +1)2 n +1. 【點睛】本題第一問考查等比數(shù)列的通項公式，第二問考查由前n項和求通項，同時考查了裂 項求和，屬于中檔題.19.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.兀兀AB BC,FC與平面ABCD所成的角為:，/ABC =-.63

34、如圖，在四棱錐P - ABCD中，底面ABCD是菱形，PA，平面ABCD，且PA = AB=2, PD 的中點為F.(1)在線段AB上是否存在一點G,使得AF/平面PCG?若存在，指出G在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；(2)若，求二面角F - AC - D的余弦值.【答案(1)存在，G是線段AB的中點，證明見解析；(2)詳見解析【解析】【分析】(1)設(shè)PC的中點為H，連結(jié)FH，由題意得AGHF為平行四邊形，則AF/GH，由此能證明 在線段AB上存在中點G,使得AF平面PCG.(2)選擇ABBC推導(dǎo)出AB, AD, AP彼此兩兩垂直，以AB, AD, AP分別為l, z 軸，建立

35、空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F - AC - D的余弦值.選擇FC與平五 一面ABCD所成的角為-，取BC中點E,連結(jié)AE,取AD的中點M,連結(jié)FM, CM,則FMPA,6-且FM =1, FM，平面ABCD, FC與平面ABCD所成角為/FCM, /FCM =,推導(dǎo)出AE, 6AD, AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為1, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向 量法能求出二面角F - AC - D的余弦值.選擇NABC =-3 ,推導(dǎo)出PABC,取BC中點E, 連結(jié)AE,推導(dǎo)出AE, AD, AP彼此兩兩垂直，以AE、AD、AP分別為1, y, z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系

36、，利用向量法能求出二面角F - AC-D的余弦值.【詳解】(1)在線段AB上存在中點G,使得AF平面PCG. 證明如下：如圖所示：甘*-設(shè)PC的中點為H，連結(jié)FH,11因為 FH / /CD , FH =1 CD , AG/CD , AG = - CD , 22所以 FH/AG, FH = AG所以四邊形AGHF為平行四邊形，則 AF GH,又GH 平面PGC, AF平面PGC,AF 平面PGC.(2)選擇AB BC ：PA，平面 ABCD ,A PA BC,由題意知AB, AD, AP彼此兩兩垂直，以AB, AD, AP分別為1, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， PA = AB=2,則 A

37、 (0,0, 0), B (2, 0, 0), C (2,2,0),D (0, 2, 0), F (0,1, 1), P (0, 0,2), AF =(0, 1, 1), CF = (-2,-1,1),設(shè)平面FAC的一個法向量為n= (x, y, z),一同 AF = y + z = 0N - CF = -2 x - y + z =憶取 y = 1，得 N = (-1, 1,-1),平面tACDi的一個法向量為V = (0, 0, 1),設(shè)二面角F -AC - D的平面角為仇 則 cos6.c二面角F- AC - D的余弦值為一.3兀選擇FC與平面ABCD所成的角為-：6, PA，平面ABCD

38、，取BC中點E，連結(jié)AE，取AD的中點M,連結(jié)FM, CM, 則 FM / PA，且 FM =1,FM，平面ABCD,兀FC與平面ABCD所成角為NFCM,(FCM -,6在 Rt FCM 中，CM = 3 , 又 CM=AE，.二AE.2+BE2= AB2,BCAE,AE, AD, AP彼此兩兩垂直，以AE, AD、AP分別為x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A ( 0, 0, 0), B ( v3 , PA = AB=2, -1, 0), C ( 則1,m CF-出x + z - 0 一取x 3得m ( y3 ,-3, 3),平面NCD的一個法向量為：n - (0, 0, 1),設(shè)二面

39、角F - AC - D的平面角為仇m n e.X 2【答案(1)詳見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】(1)對f (x)求導(dǎo)后，再對a分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性.一 elnxelnx(2) a =1 時，將所證不等式轉(zhuǎn)化為 ex - ex +1 ,令 F (x) = ex - ex +1, G (x)=,xx分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出F(x)的最小值和G(x)的最大值即可證明不等式成立.【詳解】(1) f (x) = + alnx, (x(0, +). x,/、1 a ax - 1f1 (x) =- - + =.x2 xx2當(dāng)a0時，f,(x) 0 時，由 f1 (x) e. x21 exee e

40、lnx即要證：一十 lnx - e0 ex - ex +1 . x(0, +).x xx 2x令 F (x) = ex - ex +1, F (x) = ex - e,當(dāng)x(0,1)時，F(xiàn),(x)0,此時函數(shù)F (x)單調(diào)遞增.可得x =1時，函數(shù)F (x)取得最小值，F(xiàn) (1)=1.elnxe (1-lnx)令 G (x) =, G (x)=,xx 2當(dāng)0 x 0，此時G(x)為增函數(shù)，當(dāng)x e時。G-(x) G (x)，即 ex - ex +1 . x(0, +).故原不等式成立.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、分類討論方法、等價轉(zhuǎn)化方法，考 查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于

41、中檔題.21.區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后，下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為 構(gòu)造信任的機器，將可能徹底改變整個人類社會價值傳遞的方式，2015年至2019年五年期 間，中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長，居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān) 數(shù)據(jù)，如表注：參考數(shù)據(jù)2L y = 74.691注：參考數(shù)據(jù)2L y = 74.691，2L xyi=1i =1=312.761，Z z= 10.980，Z xz. = 40.457i =1i =1（其中z=年份2015201620172c編號1234企業(yè)總數(shù)量y （單位：千個）2.1563.7278.30524Iny).附：樣本（x

42、i, y.） （i =1, 2,，n）的最小二乘法估計公式為八a = y - bx八 Zn (x - x )(y - y ) b=八a = y - bxi=11（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，y=a+bx與y=cx （其中e=2.71828，為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位）；（3）為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負(fù)；每場比賽獲勝的公司與未參加此

43、場比賽的公司進行下一場的比賽；在比賽中，若有一個 公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司就獲得此次信息化比賽的優(yōu)勝公司”，已知在 131 每場比賽中，甲勝乙的概率為金，甲勝丙的概率為三，乙勝丙的概率為不，請通過計算說明， JJ乙哪兩個公司進行首場比賽時，甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大？【答案】（1）選y=cedx； （2） y = e0.752 x-0.060 ；（3）甲與丙兩公司進行首場比賽時,甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率大【解析】【分析】(1)直接由表中數(shù)據(jù)可得選擇回歸方程y=cedx，適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量;(2)對y = cedx兩邊取自然對數(shù)，得lny = lnc+

44、dx，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程求解；(3)對于首場比賽的選擇有以下三種情況：A、甲與乙先賽；B、甲與丙先賽；C、丙與乙先 賽，由已知結(jié)合互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式分別求得甲公司獲得，優(yōu)勝公司”的 概率得結(jié)論.【詳解】(1)選擇回歸方程y = cedx，適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量；(2)對y = cedx兩邊取自然對數(shù)，得lny = lnc+dx,令 z=lny, a = lnc, b=d，得 z=a+bx.由于 x =15 , x = 1 x= 3 , z z =2.196 , j5 j5 ii =1i=1i=1x 0.752,40.457 - 5 x 3 x x 0.752,5

45、5 - 5 x 32i=1 ia = z-bx = 2.196-0.752x3 = -0.060 .z關(guān)于x的回歸方程為z = 0.752x - 0.060，則y關(guān)于x的回歸方程為y= e0.752x-0.060 ；(3)對于首場比賽的選擇有以下三種情況：A、甲與乙先賽；B、甲與丙先賽；C、丙與乙先賽.一 t 一 1 一一一 3 一一 1由于在每場比賽中，甲勝乙的概率為1,甲勝丙的概率為彳，乙勝丙的概率為歹,JJ乙則甲公司獲勝的概率分別是：31- + -x5 3(3 1 11 - x-x- +I 5 J 2 331x -=5 31345 ；3x1+3x(1 1 -5J113x x x 2 3 53 11131X - X1X - X 5 3 2 3 55 .9、13、1 由于 一 25 45 5甲與丙兩公司進行首場比賽時，甲公司獲得，優(yōu)勝公司”的概率大.【點睛】本題主要考查線性回歸方程的求法，互斥事件與相互獨立事件概率的求法，還考查 了分析問題運算求解的能力，屬于中檔題.22.已知橢圓C: 0- + y 1（ b 0 ）過點P（2）,勺,F2分別為橢圓C的左、右焦點且PF】 PF2 1.y.（1）求橢圓C的方程；（2）過P點的直線11與橢圓C有且只有一個公共點，直線l2平行于OP （O為原點），且與橢 圓C交于