倒立擺極點(diǎn)配置法

1、直線(xiàn)一級(jí)倒立擺狀態(tài)反饋一、控制對(duì)象建模題目：直線(xiàn)型倒立擺系統(tǒng)，是由沿直線(xiàn)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車(chē)以及一端固定于小車(chē)上的勻質(zhì)長(zhǎng) 桿組成的系統(tǒng)。小車(chē)可以通過(guò)傳動(dòng)裝置由交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)。小車(chē)導(dǎo)軌一般有固定的行程, 因而小車(chē)的運(yùn)動(dòng)范圍是受到限制的。直線(xiàn)型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的實(shí)際控制要求可歸結(jié)為3點(diǎn)：倒立擺小車(chē)控制過(guò)程的最大位移量不能超過(guò)小車(chē)軌道的長(zhǎng)度；為保證倒立擺能順利起立，要求初始偏角小于20 ;為保證倒立擺保持倒立的平衡態(tài)，要求控制系統(tǒng)響應(yīng)速度足夠快.為此，設(shè)調(diào)整時(shí)間小于 2 s,峰值時(shí)間小于0. 5 s.倒立擺的特性：非線(xiàn)性倒立擺是一個(gè)典型的非線(xiàn)性復(fù)雜系統(tǒng)，實(shí)際中可以通過(guò)線(xiàn)性化得到系統(tǒng)的近似模型，線(xiàn) 性化處理

2、后再進(jìn)行控制。也可以利用非線(xiàn)性控制理論對(duì)其進(jìn)行控制。倒立擺的非線(xiàn)性控制正 成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。不確定性主要是模型誤差以及機(jī)械傳動(dòng)間隙，各種阻力等，實(shí)際控制中一般通過(guò)減少各種誤差來(lái) 降低不確定性，如通過(guò)施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動(dòng)誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力 等不確定因素。耦合性倒立擺的各級(jí)擺桿之間，以及和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中 一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個(gè)，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為 絕對(duì)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。約束限制由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動(dòng)模塊行程限制，電機(jī)力矩

3、限制等。為了制造方便和降低成本， 倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小，行程限制對(duì)倒立擺的擺起影響尤為突出，容 易出現(xiàn)小車(chē)的撞邊現(xiàn)象。為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析，在實(shí)際的模型 建立過(guò)程中，要忽略空氣流動(dòng)阻力，以 及各種次要的摩擦阻力。這樣，可將倒 立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)剛性桿組成 的系統(tǒng)，如右圖所示。本系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M 小車(chē)質(zhì)量 m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度心的長(zhǎng)度I 擺桿慣量F 加在小車(chē)上的力x 小車(chē)位置0擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)N 和 N 和 P 為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。-Ki

4、-Ki分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx -F -bx- N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：W亦+加曲-皿滬切倍把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：(M + m)x + bx + ml& cos Q - ml61 sin 0 - F (1-1)對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：1 -1 廠w=i點(diǎn)直沁e mo CCSo力矩平衡方程如下：-Pl sin-AVcos = IQ式中：0 = tt + cos = -cossin) = -sin6* 合并這兩個(gè)方程，約去p和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（/+ Zg/suu9 - 一用cos（ 2）

5、用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線(xiàn)性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式:(I + mV 莎-mgl0 = mix對(duì)方程組（2-3）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到傳遞函數(shù)模型：整理后得到以輸入力對(duì)方程組（2-3）進(jìn)行拉普拉斯變換，得到傳遞函數(shù)模型：整理后得到以輸入力u為輸入量，以擺桿擺角0為輸出量的傳遞函數(shù):(M + 血)壬 + bx- = hU丄 b(I +； (Af :bntgl& HSS q式中：0 = K +田）（八加）_伽門(mén)狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型由現(xiàn)代控制理論原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫(xiě)成如下形式:X -AX + Bhv = CX + DuX = .X 7曲用沁廠方程組（1-3）X = .

6、X 7曲用沁廠“1M 十 mj+Mnil1 “ I(M + m) + Mmi2 爐 + 兒忖 + 權(quán))+伽尸0 二0點(diǎn)_. wgl（M點(diǎn)_. wgl（M 4- m）両莎+議產(chǎn)而+前+贏F整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:(11001- 0 nJ/ + WJV時(shí)+麗十倆陰+冊(cè) +輸FV.tX/(3f + m)+Mutl$00010(1-jfi/bjrig/(M + iw)0皿LT.IHI(M+m + r/(Af + fflJ + Afiw/1.r .J(/ + 川_1 0 0 o-J70 10 0r0=+D ;0 1 O00 0 L0_以上就是一階倒立擺小車(chē)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。二、系統(tǒng)特性分析現(xiàn)規(guī)定

7、，系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：M 小車(chē)質(zhì)量 0.5 Kg ；m 擺桿質(zhì)量 0.2 Kg ；b 小車(chē)摩擦系數(shù) 0.1 N/m/sec ；l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.3 mI 擺桿慣量 0.006 kg*m*m ；所以傳遞函數(shù)為：UKS) = s4 + 0.1818$驚羸2 -4.545s以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：xx申0100 一x0 0-0.18182 . 67270 x1.81820001+00- 0 . 454531 .181804.5455u1000 一x0 0100 x0y =0010+000010u在MATLAB里輸入狀態(tài)方程A=0 在MATLAB里輸入狀態(tài)方程A=0 1

8、 0 0;0 -0.1818 2.67270;01;0-0.4545 31.1818 0B=0;1.8182;0;4.5455C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1D=0;0;0;0A =0 1.0000 00 -0.18182.67270001.00000-0.454531.18180B =01.818204.5455C =1000010000100001D =0000利用傳遞函數(shù)得到如下響應(yīng)曲線(xiàn) nunij den=s2tf (Aj Bj Cj D)num0. 00001. 8182-0. 0000-44.54601. 8182-0. 0000-44.54600

9、. 00004.5455-0. 00004.5455-0. 00000. 00000. 00001. 8182-0. 0000-44.54601. 8182-0. 0000-44.54600. 00004.5455-0. 00004.5455-0. 00000. 0000den =den =1. 00000. 1818-31.1818-4.45411. 00000. 1818-31.1818-4.4541Step(num,den)Step(num,den)Step Response0/1 50.35Tlrre tsecj0.05Step Response0/1 50.35Tlrre tsecj

10、0.05系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)是發(fā)散的z,p,k=residue(num,den)p =-5. 60415.5651-0. 1428系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)在右半平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。利用matlab命令uc=ctrb(A,B)； r=rank(uc)來(lái)判斷系統(tǒng)能控性 結(jié)果如下：r =4該系統(tǒng)可控。三、搭建 Simulink 仿真平臺(tái)t / 1= ack er (AjBjP-10. D000-24.2335 -15000P =/ 1= ack er (AjBjP-10. D000-24.2335 -1：.69L3E4.152?9. 6965-1O.OCO0+ 2.9273i -1.5000-2. 92?0i在

11、MATLAB的Simulink環(huán)境下，可以搭建出如下圖所示的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)仿真試驗(yàn)研究 平臺(tái)。0.030.020.01026810性能指標(biāo)2超調(diào)量b % = 20%0.030.020.01026810性能指標(biāo)2超調(diào)量b % = 20%，調(diào)整時(shí)間ts S （穩(wěn)態(tài)誤差土 5%）系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示：-0.01 hse” i-E2 = 20%所以，E 二 0.456t = 1.5 ss E n所以 = 4 .386n九 =-E + J1 E 2 j = 2 3.903j另令九另令九3 = 12 -12. OOOC-15. 0000-2. 0000 -12. OOOC-15. 0000-2. 0000 + 3. E03Ji -2. 3000 - 3. 9O3Oi Knacker (A, B,F)-77 Knacker (A, B,F)-77.71?7 -27.9207105. 537?1T. 9482在 MATLAB 的 在 MATLAB 的 Simulink 環(huán)境下，可以搭建出如下圖所示的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)仿真試驗(yàn) 研究平臺(tái)。系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示：s 0 0 001 0000 s