時(shí)間序列中常用預(yù)測(cè)方法

1、時(shí)間序列中常用預(yù)測(cè)技術(shù)一個(gè)時(shí)間序列是一組對(duì)于某一變量連續(xù)時(shí)間點(diǎn)或連續(xù)時(shí)段上的觀測(cè)值。本專題中，我們將介紹時(shí)間序列中常用的預(yù)測(cè)技術(shù)。預(yù)測(cè)方法一般可以分為定量和定性兩類，我們僅僅討論定量法。移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法是一種簡(jiǎn)單平滑預(yù)測(cè)技術(shù)，它的基本思想是：根據(jù)時(shí)間序列資料、逐項(xiàng)推移，依次計(jì)算包含一定項(xiàng)數(shù)的序時(shí)平均值，以反映長(zhǎng)期趨勢(shì)的方法。因此,當(dāng)時(shí)間序列的數(shù)值由丁受周期變動(dòng)和隨機(jī)波動(dòng)的影響，起伏較大，不易顯示出事件的發(fā)展趨勢(shì)時(shí)，使用移動(dòng)平均法可以消除這些因素的影響，顯示出事件的發(fā)展方向與趨勢(shì)（即趨勢(shì)線），然后依趨勢(shì)線分析預(yù)測(cè)序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)。1丄簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法設(shè)有一時(shí)間序列兒兒；則按數(shù)據(jù)點(diǎn)的順序逐點(diǎn)推移求

2、出N個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即可得到一次移動(dòng)平均數(shù):tN式中MJ為第f周期的一次移動(dòng)平均數(shù)；兀為第/周期的觀測(cè)值；N為移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)，即求每一移動(dòng)平均數(shù)使用的觀察值的個(gè)數(shù)。這個(gè)公式表明當(dāng)/向前移動(dòng)一個(gè)時(shí)期，就增加一個(gè)新近數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)，得到一個(gè)新的平均數(shù)。由丁它不斷地“吐故納新，逐期向前移動(dòng)，所以稱為移動(dòng)平均法。由丁移動(dòng)平均可以平滑數(shù)據(jù)，消除周期變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)的影響，使得長(zhǎng)期趨勢(shì)顯示出來(lái)，因而可以用于預(yù)測(cè)。其預(yù)測(cè)公式為：刃亠二/虬即以第t周期的一次移動(dòng)平均數(shù)作為第t+1周期的預(yù)測(cè)值。1.2趨勢(shì)移動(dòng)平均法當(dāng)時(shí)間序列沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，使用一次移動(dòng)平均就能夠準(zhǔn)確地反映實(shí)際情況，H接用第f周期的一

3、次移動(dòng)平均數(shù)就可預(yù)測(cè)第/+1周期之值。但當(dāng)時(shí)間序列出現(xiàn)線性變動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，用一次移動(dòng)平均數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)滯后偏差。因此，需要進(jìn)行修正，修正的方法是在一次移動(dòng)平均的基礎(chǔ)上再做二次移動(dòng)平均，利用移動(dòng)平均滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢(shì)，然后才建立H線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。故稱為趨勢(shì)移動(dòng)平均法。設(shè)一次移動(dòng)平均數(shù)為,則二次移動(dòng)平均數(shù)的計(jì)算公式為：M=+=冊(cè)空，NN再設(shè)時(shí)間序列)1，兒兀從某時(shí)期開(kāi)始具有直線趨勢(shì)，且認(rèn)為未來(lái)時(shí)期亦按此也線趨勢(shì)變化，則可設(shè)此氏線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為：yl+T=ci，+b，T式中/為當(dāng)前時(shí)期數(shù)；t為由當(dāng)前時(shí)期數(shù)f到預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)，即/以后模型外推的時(shí)間；為第f+T期的預(yù)測(cè)值；q為截

4、距；切為斜率。q，$乂稱為平滑系數(shù)。根據(jù)移動(dòng)平均值可得截距q和斜率Q的計(jì)算公式為：7qbt=(Mr-Mr)1111N-l在實(shí)際應(yīng)用移動(dòng)平均法時(shí)，移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)N的選擇十分關(guān)鍵，它取決丁預(yù)測(cè)目標(biāo)和實(shí)際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。1.3應(yīng)用舉例已知某商場(chǎng)19781998年的年銷售額如下表所示，試預(yù)測(cè)1999年該商場(chǎng)的年銷售額。年份銷售額年份銷售額1978321989761979411990731980481991791981531992841982511993861983581994871984571995921985641996951986319971011987卜719981071988|69F面使用移動(dòng)平

5、均工具進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體操作步驟如下:選擇工具菜單中的數(shù)據(jù)分析命令，此時(shí)彈出數(shù)據(jù)分析對(duì)話框。在分析工具列表框中，選擇移動(dòng)平均匸具。這時(shí)將彈出移動(dòng)平均對(duì)話框，如圖81所示。在輸入框中指定輸入?yún)?shù)。在輸入?yún)^(qū)域框中指定統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所在區(qū)域B1:B22；因指定的輸入?yún)^(qū)域包含標(biāo)志行，所以選中標(biāo)志位于第一行復(fù)選框；在間隔框內(nèi)鍵入移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)5（根據(jù)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，本例選取移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)N=5）。在輸出選項(xiàng)框內(nèi)指定輸出選項(xiàng)。可以選擇輸出到當(dāng)前工作表的某個(gè)單元格區(qū)域、新工作表或是新工作簿。本例選定輸出區(qū)域，并鍵入輸出區(qū)域左上角單元格地址C2；選中圖表輸出復(fù)選框。若需要輸出實(shí)際值與一次移動(dòng)平均值之差，還可以選中標(biāo)準(zhǔn)誤差

6、復(fù)選框。單擊確定按鈕。這時(shí),Excel給出一次移動(dòng)平均的計(jì)算結(jié)果及實(shí)際值與一次移動(dòng)平均值的曲線圖，如圖8-2所示。圖141012131415161718年份W自售額一次移動(dòng)平均41012131415161718年份W自售額一次移動(dòng)平均32di46198L53198251145.050.253.456.659.863.065.269.070.67Z&76.279.581&345078888899999111118&889911L23d.999999g911115B5764696769767379848687次移動(dòng)平均預(yù)測(cè)值圖2從圖8-2可以看出，該商場(chǎng)的年銷售額具有明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。因此耍進(jìn)行

7、預(yù)測(cè)，還必須先作二次移動(dòng)平均，再建立氏線趨勢(shì)的預(yù)測(cè)模型。而利用Excel2000提供的移動(dòng)平均工具只能作一次移動(dòng)平均，所以在一次移動(dòng)平均的基礎(chǔ)上再進(jìn)行移動(dòng)平均即可。二次移動(dòng)平均的方法同上，求出的二次移動(dòng)平均值及實(shí)際值與二次移動(dòng)平均值的擬合曲線，如圖8-3所示。再利用前面所講的截距龜和斜率切計(jì)算公式可得：5=2M；-Mf=1x96.4-88.96=103.842?b2i=(M；)=-(96.4-88.96)=3.72515ABCD站NEFABCD站NEFGHI心十二al年份俏吿額一次移動(dòng)平均二次移動(dòng)平均2血7&3197941419805198L6198245.07198350.28198453.

8、49198556.610198659,853.00ll198763.056.6012198865.259.6013198969.062.7214199070.865.5615199L72.868.L616199276.270.80171S93?9.673.6818199481&76.24120806040200凰屋MM席尉聃圖3于是可得f=21時(shí)的直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為：y2I+r=103.84+3.727預(yù)測(cè)1999年該商場(chǎng)的年銷售額為：刃999=)?2i+i=103.84+3.72=107.56指數(shù)平滑法移動(dòng)平均法的預(yù)測(cè)值實(shí)質(zhì)上是以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同時(shí)期的數(shù)據(jù)給予相同的加權(quán)。這往往不符

9、合實(shí)際情況。指數(shù)平滑法則對(duì)移動(dòng)平均法進(jìn)行了改進(jìn)和發(fā)展，其應(yīng)用較為廣泛。根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為：一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等。但它們的基本思想都是：預(yù)測(cè)值是以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)，新數(shù)據(jù)給較大的權(quán)，舊數(shù)據(jù)給較小的權(quán)。2.1一次指數(shù)平滑法設(shè)時(shí)間序列為兀2X，則一次指數(shù)平滑公式為：S=ay,+(l-a)S式中S；“為第/周期的一次指數(shù)平滑值；a為加權(quán)系數(shù)，0V&V1。為了弄清指數(shù)平滑的實(shí)質(zhì)，將上述公式依次展開(kāi)，可得：(1-%_+(1-觀)由于0VGV1,當(dāng)(TOO時(shí)，(1-ay-O,于是上述公式變?yōu)镾,”(1-砂兒=0由此可見(jiàn)SJ實(shí)際上是十)1廠

10、的加權(quán)平均。加權(quán)系數(shù)分別為久曲-，刃1-莎,是按兒何級(jí)數(shù)衰減的，愈近的數(shù)據(jù)，權(quán)數(shù)愈大，愈遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，權(quán)數(shù)愈小，且權(quán)數(shù)之和等丁7,即a(l-a)y=lo因?yàn)榧訖?quán)系數(shù)符合指；=0數(shù)規(guī)律，且乂具有平滑數(shù)據(jù)的功能，所以稱為指數(shù)平滑。用上述平滑值進(jìn)行預(yù)測(cè)，就是一次指數(shù)平滑法。其預(yù)測(cè)模型為幾=SJ=qx+(1_q)E即以第f周期的一次指數(shù)平滑值作為第/+1期的預(yù)測(cè)值。2.2二次指數(shù)平滑法當(dāng)時(shí)間序列沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變動(dòng)時(shí)，使用第t周期一次指數(shù)平滑就能H接預(yù)測(cè)第t十1期之值。但當(dāng)時(shí)間序列的變動(dòng)出現(xiàn)直線趨勢(shì)時(shí)，用一次指數(shù)平滑法來(lái)預(yù)測(cè)仍存在著明顯的滯后偏差。因此，也需要進(jìn)行修正。修正的方法也是在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再

11、作二次指數(shù)平滑，利用滯后偏差的規(guī)律找出曲線的發(fā)展方向和發(fā)展趨勢(shì)，然后建立H線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型。故稱為二次指數(shù)平滑法。設(shè)一次指數(shù)平滑為SJ，則二次指數(shù)平滑sy的計(jì)算公式為：=aSj+(l-o)S；7若時(shí)間序列X,兒開(kāi)從某時(shí)期開(kāi)始具有直線趨勢(shì)，且認(rèn)為未來(lái)時(shí)期亦按此肖線趨勢(shì)變化，則與趨勢(shì)移動(dòng)平均類似，可用如下的H線趨勢(shì)模型來(lái)預(yù)測(cè)。鶴=4+坍T=l,2,-式中f為當(dāng)前時(shí)期數(shù)；T為由當(dāng)前時(shí)期數(shù)/到預(yù)測(cè)期的時(shí)期數(shù)；幾初為第f+T期的預(yù)測(cè)值；q為截距，切為斜率，其計(jì)算公式為：a,=2S-S,b嚴(yán)化(SW)-a2.3三次指數(shù)平滑法若時(shí)間序列的變動(dòng)呈現(xiàn)出二次曲線趨勢(shì)，則需要用三次指數(shù)平滑法。三次指數(shù)平滑是在二次指數(shù)

12、平滑的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次平滑，其計(jì)算公式為:sr=aSf+(i_a)s：三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為：$”=q+bT+ciT2T=l,2,-其中：a,=3SJ_3S：2)+S；3),a22(1a22(1疔(6-5a)Sj2(5-4a)S；即+(43a)S；3)C；=一Sj-2S：“+S；3)f2(1-cr)2z72.4加權(quán)系數(shù)的選擇在指數(shù)平滑法中，預(yù)測(cè)成功的關(guān)鍵是Q的選擇。Q的大小規(guī)定了在新預(yù)測(cè)值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測(cè)值所占的比例。Q值愈大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預(yù)測(cè)值所占比重就愈小，反之亦然。若把一次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)公式改寫(xiě)為：則從上式可以看出，新預(yù)測(cè)值是根據(jù)預(yù)測(cè)誤差對(duì)原預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正得到的。心的

13、大小表明了修正的幅度。Q值愈大，修正的幅度愈大，Q值愈小，修正的幅度愈小。因此，Q值既代表了預(yù)測(cè)模型對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)速度，乂體現(xiàn)了預(yù)測(cè)模型修勻誤差的能力。在實(shí)際應(yīng)用中，Q值是根據(jù)時(shí)間序列的變化特性來(lái)選取的。若時(shí)間序列的波動(dòng)不大，比較平穩(wěn)，則Q應(yīng)取小一些，如0.1-0.3；若時(shí)間序列具有迅速且明顯的變動(dòng)傾向，則Q應(yīng)取大一些，女no.6-0.9o實(shí)質(zhì)上，a是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)多個(gè)Q值進(jìn)行試算比較而定，哪個(gè)Q值引起的預(yù)測(cè)誤差小，就采用哪個(gè)。2.5應(yīng)用舉例己知某廠19781998年的鋼產(chǎn)量如下表所示，試預(yù)測(cè)1999年該廠的鋼產(chǎn)量。年份鋼產(chǎn)量年份鋼產(chǎn)量1978676198920311979825

14、199022341980774199125661981716199228201982940199330061983115919943093198413841995327719851524199635141986166819973770198716881998410719881958F而利用指數(shù)平滑工具進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體步驟如下：選擇工具菜單中的數(shù)據(jù)分析命令，此時(shí)彈出數(shù)據(jù)分析對(duì)話框。在分析工具列表框中，選擇指數(shù)平滑工具。這時(shí)將出現(xiàn)指數(shù)平滑對(duì)話框，如圖8-4所示。圖4在輸入框中指定輸入?yún)?shù)。在輸入?yún)^(qū)域指定數(shù)據(jù)所在的單元格區(qū)域B1:B22；因指定的輸入?yún)^(qū)域包含標(biāo)志行，所以選中標(biāo)志復(fù)選框；在阻尼系數(shù)指定加

15、權(quán)系數(shù)0.3o在輸出選項(xiàng)框中指定輸岀選項(xiàng)。本例選擇輸出區(qū)域，并指定輸出到當(dāng)前工作表以C2為左上角的單元格區(qū)域；選中圖表輸出復(fù)選框。單擊確定按鈕。這時(shí)，Excel給出一次指數(shù)平滑值，如圖8-5所示。從圖85可以看出,鋼產(chǎn)量具有明顯的線性增長(zhǎng)趨勢(shì)。因此需使用二次指平滑法，即在一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上再進(jìn)行指數(shù)平滑。所得結(jié)果如圖86所示。12345?8g1011121516IT18年份鋼產(chǎn)莖衣指魏平滑二次扌旨數(shù)平滑12345?8g1011121516IT18年份鋼產(chǎn)莖衣指魏平滑二次扌旨數(shù)平滑197767619788256761979774780.3676.001980716775.89749-01198

16、1940733-967767.8313821159878.1901744.12138313841074.75703837.9715415241291.2271091003.72198516681454.1681331204.96198616881603.850441379.41138719581662.7551321536.5219S820311369.426541624.3319&922341982,5279621796.061990199L1妙1國(guó)32566282030063093215800,00時(shí)，曲線呈現(xiàn)正增長(zhǎng)趨勢(shì)；當(dāng)。O,bvO,c（Hht,曲線呈現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)趨勢(shì)；當(dāng)。O,bO,cvO

17、時(shí)，曲線呈現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)趨勢(shì)；當(dāng)GO,bvO,cvO時(shí),曲線呈負(fù)增長(zhǎng)趨勢(shì)。二次曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)模型中的不定參數(shù)ac也是用最小二乘法求最佳擬合線求得。利用最小二乘法可以導(dǎo)出計(jì)算仏kc三參數(shù)的聯(lián)立方程為：工丫=“a+b工f+c工尸工工f+b工尸+c工廣工刊=述y+b刃3+C刃4若采用給時(shí)間變量分配號(hào)滿足Et=O的方法，便可將公式簡(jiǎn)化為:工丫=胸+工円=工J+c工廣例：根據(jù)下表中某企業(yè)歷年銷售額，預(yù)測(cè)1996和1997年的銷售額.觀察期Y（萬(wàn)元）、ttat4tYAYt=ci+bt+ct21989350-3981-10503150334.521990300-2416-6001200303.57199125

18、0-111-250250300.00199235000000320.8119934011140040375.00199445024169001800453.571995550398116504950559.52n=7工Y=265O工尸=28Lt1二196EtY二1050Lt2Y=11750繪制7年觀察值分布圖，判斷其變動(dòng)形態(tài)，觀察值的變動(dòng)趨勢(shì)系二次曲線形態(tài)，即由高到低再升高，所以，應(yīng)運(yùn)用二次曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。其方程式為：Y=a+bt+ct2計(jì)算求解參數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)。（計(jì)算結(jié)果見(jiàn)上表）解聯(lián)立方程，得：a=323.81b=37.5c=13.69求得趨勢(shì)曲線：X=323.8l+37.5r+13.69r2將

19、1996年和1994年的時(shí)間序列變量值t和F代入求出：Y19g6=692.85*期=863.56回歸預(yù)測(cè)法5.1一元線性回歸預(yù)測(cè)法是指成對(duì)的兩個(gè)變量數(shù)據(jù)分布大體上呈虛線趨勢(shì)時(shí)，運(yùn)用合適的參數(shù)估計(jì)方法，求出一元線性回歸模型，然后根據(jù)H變量與因變量之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)因變量的趨勢(shì)。由丁很多社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間都存在相關(guān)關(guān)系，因此，一元線性回歸預(yù)測(cè)具有很廣泛的應(yīng)用。進(jìn)行一元線性回歸預(yù)測(cè)時(shí)，必須選用合適的統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)模型參數(shù)，并對(duì)模型及其參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。1、建立模型一元線性回歸模型：=b0+也兀+仏其中，勺是未知參數(shù)，兒為剩余殘差項(xiàng)或稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。2、用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)時(shí)，耍求代滿足一定的假設(shè)條件：

20、仏是一個(gè)隨機(jī)變量；仏的均值為零，即E（“J=O；在每一個(gè)時(shí)期中，的方差為常量，即D（A,）=ta,則回歸系數(shù)顯著?；貧w模型的顯著性檢驗(yàn)i檢驗(yàn)假設(shè)：H。:回歸方程不顯著,0:回歸方程顯著。ii檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：FV*52）。iii檢驗(yàn)規(guī)則：給定顯著性水平a,若|鬥代（1川-2）,則回歸方程顯著。得賓一沃森統(tǒng)計(jì)量（DW）：檢驗(yàn)兒之間是否存在H相關(guān)關(guān)系。D_W=,其中仏=開(kāi)一氏。1=15、進(jìn)行預(yù)測(cè)小樣本情況下，近似的置信區(qū)間的常用公式為：置信區(qū)間=ytSEo5.2多元線性回歸預(yù)測(cè)法社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變化往往受到多個(gè)因素的影響，因此，一般耍進(jìn)行多元回歸分析，我們把包括兩個(gè)或兩個(gè)以上H變量的回歸成為多元回歸。多元

21、回歸與醫(yī)院回歸類似，可以用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)。也需對(duì)模型及模型參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。選擇合適的H變量是正確進(jìn)行多元回歸預(yù)測(cè)的前提之一，多元回歸模型h變量的選擇可以利用變量之間的相關(guān)矩陣來(lái)解決。1、建立模型一以二元線性回歸模型為例二元線性回歸模型：y（=b（）+b內(nèi)+空2+他。類似使用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。2、擬合優(yōu)度指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)誤差：對(duì)y值與模型估計(jì)值之間的離差的一種度量。其計(jì)算公式為:5=EE(n),式中x(/)=嚴(yán)伙)t=l,2,n.k=l構(gòu)造累加矩陣B與常數(shù)項(xiàng)向量打即一0.5仕+x(2)_B=-0.5(x(2)+x,)(3),-O.5(X(，)(/7-l)+X(，)(/?)匕=(*。,x(

22、o)(3),-,x(o)(n)r.用最小二乘法求解灰參數(shù)&，則將灰參數(shù)Q代入時(shí)間函數(shù)，則x(,)(/+l)=(x(0)(l)-fl/+-ClCl對(duì)無(wú)求導(dǎo)還原得到(0)(/+1)=_耐)(1)一嚴(yán)a或x(/+l)=x1)(r+l)-J?,)(r).計(jì)算x與H)之差及相對(duì)誤差。嚴(yán)“。)一嚴(yán)，利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)嚴(yán)=護(hù)用。)，丿(。“)(。0+1),用。+加)，/J丿_原數(shù)列的模擬未來(lái)數(shù)列的預(yù)測(cè)_6.2灰色優(yōu)化灰色優(yōu)化是指在優(yōu)化設(shè)計(jì)中含有信息不完全的因素(即灰數(shù))，灰色優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型與普通優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型一樣，也是從設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件給出的?；疑珒?yōu)化一般是將約束條件或約束式中的系數(shù)作為灰數(shù)。灰色優(yōu)化的特點(diǎn)是：能夠反映約束條件隨時(shí)間變化的情況，不像線性