年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含及解析詳解六

1、2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及分析詳解六1（本小題滿分14分）如圖，設(shè)拋物線C:yx2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l:xy20上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).1）求APB的重心G的軌跡方程.2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(x,x02)和(x1,x12)(x1x0)，切線AP的方程為：2x0 xyx020;切線BP的方程為：2x1xyx120;解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：xPx0 x1,yPx0 x12所以APB的重心G的坐標(biāo)為xGx0 x1xPxP，3所以yp3yG4xG2，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而獲取重心G的軌跡方程為：（

2、2）方法1：因?yàn)镕A21x0 x1,x0 x11),FB21(x0,x0),FP(24(x1,x1).44因?yàn)镻點(diǎn)在拋物線外，則|FP|0.FPFAx0 x1x0(x0 x11)(x021)x0 x112444,cosAFP1|FP|FA|FP|222|FP|x0(x0)4x0 x1x1(x0 x11)(x121x0 x11FPFB)同理有cosBFP2444,1|FP|FB|FP|x1222|FP|(x1)4AFP=PFB.方法2：當(dāng)x1x00時(shí),因?yàn)閤1x0,不如設(shè)x00,則y00,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)，則P2d1;而直線BF的方程:y1x121x點(diǎn)到直線AF的距離為：4|x1|,2

3、4x1即(x121)xx1y1x10.44|(x121)x1x1|(x121)|x1|x1|所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：d2424421)2212(x12(x1)2x144所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)xx0時(shí)，直線AF的方程：1x0211104(x0),即2)xx0y0,1yx00040441x121211直線BF的方程：40,y4x10(x0),即(x14)xx1y4x1所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：21x0 x121x0 x121|(x04)(2)x0 x14x0|2)(x04)|x0 x1|，同理可獲取P點(diǎn)d11)2x0212(x02x0244到直線BF的距離d2|x1x0|2，

4、所以由d1=d2，可獲取AFP=PFB.2（本小題滿分12分）設(shè)A、B是橢圓3x2y2上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直均分線與橢圓訂交于C、D兩點(diǎn).（）確立的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷能否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明原因.（本題不要求在答題卡上繪圖）本小題主要考察直線、圓和橢圓等平面分析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)以及推理運(yùn)算能力和綜合解決問(wèn)題的能力.（）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為yk(x1)3,代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3)x(k3)20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程的兩個(gè)不一樣的根，4

5、(k23)3(k3)20,且x1x22k(k3),由N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，得k23解得k=1，代入得，12,即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為y3(x1),即xy40.解法2：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有依題意，x1x2,kAB3(x1x2).y1y2N（1，3）是AB的中點(diǎn)，x1x22,y1y26,進(jìn)而kAB1.又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，3123212,的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0.（）解法1：CD垂直均分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得4x24x40.又設(shè)C(x3,y3)

6、,D(x4,y4),CD的中點(diǎn)為C(x0,y0),則x3,x4是方程的兩根，x3x41,且x01(x3x4)1,y0 x023,即M(1,3).22222于是由弦長(zhǎng)公式可得|CD|1(1)2|x3x4|2(3).k將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得4x28x160同理可得|AB|1k2|x1x2|2(12).當(dāng)12時(shí)，2(3)2(12),|AB|CD|假定存在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.|13|x0y04|4|32點(diǎn)M到直線AB的距離為d22.222于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，|CD|為半徑的圓上.2（

7、注：上述解法中最后一步可按以下解法獲?。海〢、B、C、D共圓ACD為直角三角形，即(|AB|)2(|CD|d)(|CD|d).222由式知，式左側(cè)12,2由和知，式右側(cè)2(3)32)(22式建立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.解法2：由（）解法1及12,A為直角|AN|2=|CN|DN|，2(3)32)3912,22222CD垂直均分AB，直線CD方程為y3x1，代入橢圓方程，整理得4x24x40.將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得4x28x160.解和式可得x1,2212,x3,413.22不如設(shè)A(1112,3112),C(13,33),D(13,33)222222CA(312

8、3,3312)22計(jì)算可得CADA0，A在以CD為直徑的圓上.又B為A對(duì)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式1111log2n,此中n為大于2的整數(shù)，log2n表示不超出log2n的23n2最大整數(shù).設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)為正，且知足a1b(b0),annan1,n2,3,4,nan1（）證明an2b,n3,4,5,2blog2n（）猜想數(shù)列an能否有極限？假如有，寫出極限的值（不用證明）；（）試確立一個(gè)正整數(shù)N，使適當(dāng)nN時(shí)，對(duì)隨意b0，都有an1.5本小題主要考察數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及概括遞推的思想.（）證法1：當(dāng)n

9、nan11nan1112時(shí),0an,nan1an1,nan1ann即111,anan1n于是有111,111,111.a2a12a3a23anan1n全部不等式兩邊相加可得11111.ana123n由已知不等式知，當(dāng)n3時(shí)有，111log2n.ana12a11112blog2nan2b.b,blog2n2b.2an2blog2n111證法2：設(shè)f(n)3，第一利用數(shù)學(xué)概括法證不等式2n（i）當(dāng)n=3時(shí)，由a33a233b.3a232a1111f(3)ba232a1知不等式建立.（ii）假定當(dāng)n=k（k3）時(shí)，不等式建立，即akb,1f(k)b則ak1(k1)akk1k1(k1)ak(k1)1f

10、(k)b1(k1)1akb即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也建立.由（i）、（ii）知，anb,n3,4,5,.1f(n)b又由已知不等式得anb2b,n3,4,5,.12blog2n1log2nb2（）有極限，且liman0.n（）22b2,令21,blog2nlog2nlog2n5則有l(wèi)og2nlog210,n2101024,n故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有an1.54如圖，已知橢圓的中心在座標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21()求橢圓的方程；()若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求F1PF2最大值本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程、

11、兩條直線的夾角等基礎(chǔ)知識(shí)，考察分析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設(shè)橢圓方程為x2y21ab0，半焦距為c，則a2b2()設(shè)P4,y0,y005已知函數(shù)fx和gx的圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，且22xfxx()求函數(shù)gx的分析式；()解不等式gxfxx1；()若hxgxfx1在1,1上是增函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍本題主要考察函數(shù)圖象的對(duì)稱、二次函數(shù)的基天性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)剖析和解決問(wèn)題的能力.滿分14分.解：()設(shè)函數(shù)yfx的圖象上隨意一點(diǎn)Qx0,y0對(duì)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Px,y，則點(diǎn)Qx0,y0在函數(shù)yfx的圖象上yx22x，即yx22x,故gxx22

12、x()由gxfxx1，可得2x2x10當(dāng)x1時(shí)，2x2x10，此時(shí)不等式無(wú)解.當(dāng)x1時(shí)，2x2x10，解得1x1.2所以，原不等式的解集為1,1.2（）hx1x221x1當(dāng)1時(shí)，hx4x1在1,1上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸的方程為11x1.）當(dāng)時(shí),1解得111,1.）當(dāng)時(shí),1解得111,10.6(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.對(duì)定義域分別是D、D的函數(shù)y=f(x)、y=g(x),fgf(x)g(x)當(dāng)xDf且xDg規(guī)定:函數(shù)h(x)=f(x)當(dāng)xDf且xDgg(x)當(dāng)xDf且xDg1(1)若函數(shù)f(x)=x1,g(x)=x2,xR,寫出函

13、數(shù)h(x)的分析式;求問(wèn)題(1)中函數(shù)h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),此中是常數(shù),且0,請(qǐng),設(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x),及一個(gè)的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.x2解(1)h(x)=x(-,1)(1,+)x11x=1x2=x-1+1(2)當(dāng)x1時(shí),h(x)=+2,x1x1若x1時(shí),則h(x)4,此中等號(hào)當(dāng)x=2時(shí)建立若x1時(shí),則h(x)0,此中等號(hào)當(dāng)x=0時(shí)建立函數(shù)h(x)的值域是(-,014,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=4則g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,44于是h(x)=f(x)f(x+

14、)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,=,2g(x)=f(x+)=1+2sin2(x+)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分.在直角坐標(biāo)平面中,已知點(diǎn)P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),此中n是正整數(shù).對(duì)平面上任一點(diǎn)A0,記A1為A0對(duì)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn),A2為A1對(duì)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn),AN為AN-1對(duì)于點(diǎn)PN的對(duì)稱點(diǎn).求向量A0A2的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)A0在

15、曲線C上挪動(dòng)時(shí),點(diǎn)A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,此中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(0,3時(shí),f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4上的分析式;(3)對(duì)隨意偶數(shù)n,用n表示向量A0An的坐標(biāo).解(1)設(shè)點(diǎn)A0(x,y),A0為P1對(duì)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A0的坐標(biāo)為(2-x,4-y),A1為P2對(duì)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(2+x,4+y),A0A2=2,4.A0A2=2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位獲取.所以,曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,此中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當(dāng)x(-2,1時(shí),g(x)=lg(x+2)-4.于是,當(dāng)x(1,4時(shí),g(x)=lg