最短路徑問題課件

1、八年級(jí) 上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題八年級(jí) 上冊(cè)13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？ 兩點(diǎn)之間,線段最短溫故知新 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最 要在河邊修建一個(gè)泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？ 垂線段最短張村河流泵站 要在河邊修建一個(gè)泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。 連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，就是所求ABlP為什么？已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得P

2、A+前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題” 前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線 問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)

3、的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬 問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 BAl這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線 BAl這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將A，B 兩地（1）從A 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和； 追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl（1）從A

4、 地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到B 地； 追問追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí)， AC 與CB 的和最?。ㄈ鐖D） lABCC追問2你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，（3）現(xiàn)在的如果點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí)聯(lián)想：lABC如果點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí)聯(lián)想：lABC思考：能把A、B兩點(diǎn)從直線 l 的同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)嗎？ 分析：lABClABC如何將B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長度

5、相等？ BlA思考：分析：lABClABC如何將B“移”到l 的另一側(cè)作法及思路分析1.作點(diǎn)B關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)B ，連接CB。，問題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在直線 l 的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？如上右圖，在連接AB兩點(diǎn)的線中，線段AB最短. 因此，線段AB與直線 l 的交點(diǎn)C的位置即為所求.lABCB 2.由上步可知AC+CB=AC +CB，思考：當(dāng)C在直線 l 的什么位置時(shí)AC +CB最短？作法及思路分析，問題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在直線 l 的什么位置lABCBC根據(jù)前面的分析，我們認(rèn)為的最短路徑是AC+CB=AC+C B= AB你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在

6、直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短lABCBC根據(jù)前面的分析，我們認(rèn)為的你能用所學(xué)的知識(shí)證若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 BlABCC證明AC +BC 最短時(shí)，為什么要在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)BlABC

7、C證明回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ BlABCC軸對(duì)稱1、化同側(cè)為異側(cè)2、化折為直 兩點(diǎn)之間,線段最短回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問變式練習(xí)1 如圖，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚A. 草 地小 河A問題：請(qǐng)你確定這一過程的最短路徑.變式練習(xí)1草 地小 河A問題：請(qǐng)如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A,要使AM+MN+NA最小,點(diǎn)M、N應(yīng)該在 l1、l2的什么位置 ?l1l2AMNAA轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題如圖，在l1、l2之間有一點(diǎn)A,要使AM+MN+NA最小,點(diǎn)l1l2走A-M- N 路線最短. MNAAAl1l2走A-M- N 路線最短. MNAAAABPQlMN變式練習(xí)2如圖：某一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線