高等數(shù)學(xué)(函數(shù)極限連續(xù)1)課件

1、第一講函數(shù)、極限與連續(xù)1第一講函數(shù)、極限與連續(xù)1一、 集合及其運(yùn)算（自己復(fù)習(xí)）二、實(shí)數(shù)的完備性和確界存在定理 （去掉，可以不看）實(shí)數(shù)集 R 和實(shí)數(shù)軸上的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)一、 集合及其運(yùn)算（自己復(fù)習(xí)）二、實(shí)數(shù)的完備性和確界存在定設(shè) X , Y 是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱 f 為從 X 到 Y 的映射,記作 y 稱為 x 在映射 f 下的像, 記作 x 稱為 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 稱為映射 f 的定義域 ; Y 的子集稱為 f 的 值域 . 注: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 1、定義4.三、 映射和函數(shù)設(shè)

2、 X , Y 是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則 f ,對(duì)映射若, 則稱 f 為滿射; 若有 則稱 f 為單射;若 f 既是滿射又是單射,則稱 f 為雙射 或一一映射. 對(duì)映射若, 則稱 f 為滿射; 若有 則稱 f 為單射;若 定義域定義5. 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為稱為值域 .自變量因變量定義域定義5. 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的函數(shù) ,記為 定義域使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.對(duì)實(shí)際問(wèn)題, 書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域； 基本初等函數(shù)：常數(shù), 冪函數(shù), 指數(shù)函數(shù), 對(duì)數(shù)函數(shù), 三角函數(shù)，反三角函數(shù).非基本初等函數(shù)：分段函數(shù)等.1、狄利克雷函數(shù)例如：x 為有理數(shù)x

3、 為無(wú)理數(shù) 定義域使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.對(duì)實(shí)際問(wèn)題, 3、符號(hào)函數(shù)2、取整函數(shù)當(dāng)3、符號(hào)函數(shù)2、取整函數(shù)當(dāng)2. 函數(shù)的幾種特性(1) 有界性 (2) 單調(diào)性 (3) 奇偶性(4) 周期性注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .例如, 常量函數(shù)2. 函數(shù)的幾種特性(1) 有界性 (2) 單調(diào)性 (3則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , u 稱為中間變量. 注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. 例如, 函數(shù)鏈 :可定義復(fù)合函數(shù)3. 復(fù)合函數(shù)約定: 為簡(jiǎn)單計(jì), 書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域, 默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,

4、u 稱為中若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 f 的反函數(shù) .其反函數(shù)(減),(減) . 1) （反函數(shù)存在定理） yf (x) 嚴(yán)格單調(diào)遞增且也嚴(yán)格單調(diào)遞增 性質(zhì): 使其中4. 反函數(shù)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為 2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱 .2) 函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱 .常數(shù)及基本初等函數(shù)的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成稱為初等函數(shù). 5. 初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)1. 集合及其運(yùn)算3. 函數(shù)及其特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性, 周期性, 反函數(shù), 復(fù)合函數(shù).

5、4. 初等函數(shù).2. 實(shí)數(shù)的完備性和確界存在定理第二節(jié) 內(nèi)容小結(jié)1. 集合及其運(yùn)算3. 函數(shù)及其特性有界性, 單調(diào)性,奇偶性如果按照某一法則,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)則得到一個(gè)序列這一序列稱為數(shù)列,記為叫做數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列舉例:注：數(shù)列 可以看作自變量為正整數(shù) 的函數(shù):四、數(shù)列的極限 如果按照某一法則,對(duì)每一對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)則得到一個(gè)序列這數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察

6、數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)的觀察:當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于數(shù)列的極限觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)。通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)的觀察:當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于數(shù)列的極限觀察數(shù)例如數(shù)列極限的通俗定義問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫它？當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列的一般項(xiàng)無(wú)限接近于常數(shù)則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱

7、記為趨勢(shì)不定收斂于數(shù)列“當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于”例如數(shù)列極限的通俗定義問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫它？當(dāng)無(wú)限增大數(shù)列極限的精確定義如果存在常數(shù)對(duì)于任意給定總存在正整數(shù)使得當(dāng) 時(shí)總有成立則稱常數(shù)是數(shù)列的極限或者稱數(shù)列收斂于記為極限定義的簡(jiǎn)記形式設(shè)為一數(shù)列或當(dāng) 時(shí)的正數(shù)數(shù)列極限的精確定義如果存在常數(shù)對(duì)于任意給定總存在正整數(shù)使得當(dāng)aa-ea+e()當(dāng) 時(shí)aa-ea+e()當(dāng) 時(shí) 例1 證明：證明：要使只需要于是，當(dāng)時(shí)，即取當(dāng) 時(shí) 例1 證明：證明：要使只需要于是，當(dāng)時(shí)，即取當(dāng) 收斂數(shù)列的性質(zhì)定理 2.1 收斂數(shù)列的極限唯一.定理 2.2 收斂數(shù)列一定有界. 注：1.有界的數(shù)列是否一定收斂? 2 數(shù)列

8、的有界性與收斂如何？收斂數(shù)列的性質(zhì)定理 2.1 收斂數(shù)列的極限唯一.定理 2.則定理 2.3 設(shè)例.求解：由于根據(jù)有理運(yùn)算法則得則定理 2.3 設(shè)例.求解：由于根據(jù)有理運(yùn)算法則得32例.求解： 因?yàn)楦鶕?jù)有理運(yùn)算法則得32例.求解： 因?yàn)楦鶕?jù)有理運(yùn)算法則得定理 2.4 收斂數(shù)列具有保號(hào)性.若且有推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起推論 (保序性)設(shè)若使得恒有則定理 2.4 收斂數(shù)列具有保號(hào)性.若且有推論:若數(shù)列從某定理2.5 (夾逼性)設(shè)若使得恒有則定理2.5 (夾逼性)設(shè)若使得恒有則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則 單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂于其上確界；單調(diào)遞減有下界的數(shù)列收斂于其下確界。注：?jiǎn)握{(diào)增

9、加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則 單調(diào)遞增有上 1 如果數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列存在極限,但其極限不同, 那么原數(shù)列的極限是否存在? 注： 2 現(xiàn)在又如何判斷數(shù)列 發(fā)散？定理2.7（歸并原理 ） 的充要條件是的每個(gè)子列都有 1 如果數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列存在極限,但其極限不同,注 數(shù)列的任一收斂子列的極限稱為該數(shù)列的極限點(diǎn)，極限點(diǎn)又稱聚點(diǎn)。定理2.8（Weierstrass定理-聚點(diǎn)定理）有界數(shù)列必有收斂子列。定理2.9（Cauchy收斂原理）數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù) N ,使當(dāng)時(shí),有這種數(shù)列稱為Cauchy列或基本數(shù)列。該條件稱為Cauchy條件。 數(shù)列的任一收斂子列的極限稱為該數(shù)列的極

10、限點(diǎn)，內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2. 收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性 ; 有界性 ; 保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則 ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則 ; 柯西準(zhǔn)則內(nèi)容小結(jié)1. 數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應(yīng)用2.39P39 10偶數(shù)題, 11(1)(2)作 業(yè)39P39 10偶數(shù)題, 作 業(yè)五、函數(shù)的極限是當(dāng)它與函數(shù)滿足下列關(guān)系： 自變量無(wú)限趨大時(shí)的函數(shù)極限如果存在常數(shù)設(shè)是任一函數(shù)那么稱恒有使得定義3.1（時(shí)的函數(shù)的極限）極限存在或有極限.時(shí)的極限, 記作或時(shí)此時(shí)又稱當(dāng)五、函數(shù)的極限是當(dāng)它與函數(shù)滿足下列關(guān)系： 自變時(shí), 函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限可類似的定義. 與當(dāng)時(shí), 函數(shù)

11、的極限當(dāng)當(dāng)當(dāng)時(shí), 有時(shí), 有時(shí), 有時(shí), 函數(shù)當(dāng)?shù)臉O限可類似的定義. 與當(dāng)時(shí), 函數(shù)的極限當(dāng)不難證明幾何解釋:不難證明幾何解釋:例 證明證:故取當(dāng)時(shí) , 就有因此例 證明證:故取當(dāng)時(shí) , 就有因此定義3.2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)時(shí), 有則稱常數(shù) A 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或若記作幾何解釋: 自變量趨于有限時(shí)函數(shù)的極限 定義3.2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)時(shí), 有例 證明證:欲使取則當(dāng)時(shí), 就有因此只要例 證明證:欲使取則當(dāng)時(shí), 就有因此只要定義 設(shè)函數(shù)是常數(shù)），若時(shí)為當(dāng)或它與滿足下列關(guān)系：使得則稱的左極限，記作：存在常數(shù)恒有單側(cè)極限 類似地定義：的右極限.時(shí)函數(shù)顯然，定

12、義 設(shè)函數(shù)是常數(shù)），若時(shí)為當(dāng)或它與滿足下列關(guān)系：使得則稱使得當(dāng)恒有稱之為時(shí)的極限為無(wú)窮大，記作如果類似的可以定義及時(shí)的無(wú)窮大。使得當(dāng)恒有稱之為時(shí)的極限為無(wú)窮大，記作如果類似的可以定義及時(shí)函數(shù)極限的歸并原理定理3.1 Heine定理設(shè)為一函數(shù)，則注: 此定理只能用來(lái)證明極限不存在。 對(duì)于中的任何數(shù)列為有限或無(wú)窮).斂于當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列都收中的任何數(shù)列注: 此定理只能用來(lái)證明極限不存在。 當(dāng)證明極限存在時(shí)，此定理絕對(duì)不能用。因?yàn)?有無(wú)窮多個(gè)，我們無(wú)法驗(yàn)證所有的數(shù)列都滿足此定理。 函數(shù)極限的歸并原理定理3.1 Heine定理設(shè)為一函數(shù)，則例 證明： 不存在。例 證明： 函數(shù)極限的性質(zhì)定理3.2

13、 設(shè)則(1) 唯一性. 時(shí)，當(dāng)處是局部有界的，即在的極限是唯一的.(2) 局部有界性.使得恒有 函數(shù)極限的性質(zhì)定理3.2 設(shè)則(1) 唯一性. 時(shí)定理3.3 若(2) 局部保序性.若 使得(3) 夾逼性.(1) 局部保號(hào)性.則使得若都與a 同號(hào). 若則恒有使得都有且a b, 則定理3.3 若(2) 局部保序性.若 使得(3) 夾逼性定理 3.4 (有理運(yùn)算法則)其中設(shè)定理 3.5 (復(fù)合運(yùn)算法則)設(shè)則(3)(1)(2)是由復(fù)合而成，與復(fù)合函數(shù)中，若定義在都有并且則使得定理 3.4 (有理運(yùn)算法則)其中設(shè)定理 3.5 (復(fù)合運(yùn)算例 求解:例 求解:例 求解:例 求解:例 求解:例 六、兩個(gè)重要極

14、限 注 2.六、兩個(gè)重要極限 注 2.例 求解: 例 求解: 原式=例 求解: 例 求解: 原式=例 求解: 例 求解：令 則當(dāng)故時(shí)，例 求解: 例 求解：令注. 兩個(gè)重要極限或注: 代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)注. 兩個(gè)重要極限或注: 代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)例 求解: 原式 =例 求解: 原式 = 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則確界定義設(shè)有函數(shù)若其值域上的上(下)確界，記作有上是的上(下)界(下)界，則稱 f在A上有上(下)界，并稱在A上的上(下)界，稱的上(下)確界是 f 在 A如果 f 在A上既有上界又有下界，則稱 f 在A 上有界. 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則確界定義設(shè)有函數(shù)定理3.6 單調(diào)有界準(zhǔn)則(1) 設(shè)有函數(shù) f 在區(qū)間