簡諧震動(dòng)簡正坐標(biāo)

1、簡諧震動(dòng)簡正坐標(biāo)第1頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二物理背景和固體物理中解決問題的思路：原子的振動(dòng) 晶格振動(dòng)在晶體中形成了各種模式的波 簡諧近似下，系統(tǒng)哈密頓量是相互獨(dú)立簡諧振動(dòng)哈密 頓量之和 這些諧振子的能量量子，稱為聲子 晶格振動(dòng)的總體可看作是聲子的系綜 用一系列獨(dú)立的簡諧振子來描述這些獨(dú)立而又分立的振 動(dòng)模式 這些模式是相互獨(dú)立的，模式所取的能量值是分立的第2頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二3.1 簡諧近似和簡正坐標(biāo) 簡諧近似 將原子在平衡位置的振動(dòng)看成簡諧振動(dòng) （線性近似），并且只考慮最近鄰原子之間的相互作用研究對(duì)象 由N個(gè)質(zhì)量為m的原子

2、組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量原子的瞬時(shí)位置：第n個(gè)原子的平衡位置 （格點(diǎn)位置）3個(gè)方向上的分量原子位移宗量第3頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二N個(gè)原子的位移矢量N個(gè)原子體系的勢能函數(shù):（用標(biāo)量表示）。在平衡位置按泰勒級(jí)數(shù)展開取平衡位置 不計(jì)高階項(xiàng)系統(tǒng)的勢能函數(shù)第4頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二系統(tǒng)的哈密頓量系統(tǒng)的勢能函數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)第5頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二引入簡正坐標(biāo)（ 原子的坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)通過正交變換聯(lián)系起來假設(shè)存在線性變換（實(shí)際上是存在?。┫到y(tǒng)的哈密頓量：拉格朗日函數(shù)：正則動(dòng)量：第6頁，共11頁，2

3、022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二系統(tǒng)的哈密頓量正則方程 3N個(gè)獨(dú)立的方程簡正坐標(biāo)方程解簡正振動(dòng) 晶體中所有原子參與振動(dòng)，振動(dòng)頻率相同 振動(dòng)模 簡正坐標(biāo)代表所有原子共同參與的一個(gè)振動(dòng)正則動(dòng)量第7頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二只考察某一個(gè)振動(dòng)?？梢钥闯觯?. 固體中的原子是一個(gè)具有相互作用的多粒子復(fù)雜系統(tǒng)，通過引入簡正坐標(biāo)，而將系統(tǒng)簡化為3N個(gè)相互獨(dú)立的震動(dòng)模式。2. 之所以能有采取“簡諧近似”，或者說之所以“簡諧近似”有 效，是因?yàn)榫w中原子實(shí)際是在平衡位置附近做微小的振動(dòng)，使得能夠進(jìn)行這種線性的近似！這種“脫耦”的方法在具有相互作用的多粒子體系中十分的常用（處理低激發(fā)態(tài)時(shí)的常用方法）第8頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二正則動(dòng)量算符 系統(tǒng)薛定諤方程相關(guān)量子理論第9頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二任意一個(gè)簡正坐標(biāo) 諧振子方程能量本征值本征態(tài)函數(shù) 厄密多項(xiàng)式第10頁，共11頁，2022年，5月20日，6點(diǎn)14分，星期二系統(tǒng)能量本征值系統(tǒng)本征態(tài)函數(shù)N個(gè)原子組成的