2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南專版）-考點(diǎn)02 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合運(yùn)用2（解析版）

1、考點(diǎn)02 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合21.已知，則（）AaaabbbBaabbabCbbaaabDabbbaa【解答】解：由已知已知，可得ab1，不妨令a3，b2，故aa81，ab9，bb4，aaabbb，故選：A【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 2.已知a20.2，b20.4，則a，b，c的大小關(guān)系是（）AabcBbcaCacbDcab【解答】解：已知a20.2，b20.4，21.2，而函數(shù)y2x是R上的增函數(shù)，1.20.20.4，則cab，故選：D【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 3.已知函數(shù)，且a1）的圖象過定點(diǎn)（m，n），則（）ABCD【解答】解：函數(shù)，且a1）中，令x+10，得x1

2、，所以yf（1）1，所以f（x）的圖象過定點(diǎn)（1，），所以m1，n；所以故選：D【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 4.若函數(shù)yax+2+2（a0，且a1）的圖象恒過一定點(diǎn)P，則P的坐標(biāo)為（）A（0，1）B（2，1）C（2，2）D（2，3）【解答】解：yax+2+2，當(dāng)x+20時，x2，此時y1+23，即函數(shù)過定點(diǎn)（2，3）故選：D【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 5.設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）AabcBbacCacbDbca【解答】解：設(shè)a，b，c3，由于yx在（0，+）上為增函數(shù)，則ac，由于y2x為增函數(shù)，則ba，則bac，故選：B【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊

3、點(diǎn) 6.函數(shù)f（x）2x和函數(shù)的圖象關(guān)于（）對稱A原點(diǎn)ByxCy軸Dx軸【解答】解：f（x）2x（）xg（x），函數(shù)f（x）2x和函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故選：C【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 7.若函數(shù)yax+m+1（a0且a1）的圖象恒過定點(diǎn)P（1，2），則m的值是（）A1B0C1D2【解答】解：令x+m0得：xm，此時ya0+12，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（m，2），即點(diǎn)P（m，2），所以m1，即m1，故選：C【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn) 8.設(shè)函數(shù)f（x）ax+b（a0且a1）的圖象過點(diǎn)（1，8），其反函數(shù)的圖象過（16，2），則a+b（）A3B4C5D6【解答】解：f（x）a

4、x+b（a0且a1）的圖象過點(diǎn)（1，8），代入得a1+b8 ，其反函數(shù)的圖象過（16，2），f（x）ax+b（a0且a1）的圖象過點(diǎn)（2，16），代入得a2+b16，聯(lián)立，解之得a2，b2，故選：B【知識點(diǎn)】反函數(shù) 9.若函數(shù)yf（x）與函數(shù)ylog2x互為反函數(shù)，則（）A9B11C16D18【解答】解：因為函數(shù)yf（x）與函數(shù)ylog2x互為反函數(shù)，所以f（x）2x，所以，故選：D【知識點(diǎn)】反函數(shù) 10.已知函數(shù)f（x）（a21）x，若x0時總有f（x）1，則實數(shù)a的取值范圍是（）A1|a|2B|a|2C|a|1D|a|【解答】解：根據(jù)題意，x0時，（a21）x1，a211，解得故選：D【知

5、識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 11.若，則實數(shù)a的取值范圍是（）AaRBa0CaDa【解答】解：由，可得2a10，即a實數(shù)a的取值范圍是故選：D【知識點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式 12.已知ab5，則的值是（）AB0CD【解答】解：ab5，a與b異號，a+ba+ba+b0，故選：B【知識點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式 13.已知a0，函數(shù)f（x），若關(guān)于x的方程f（x）a（2x）恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍為（）A1a4B2a4C4a8D2a8【解答】解：當(dāng)x0時，可得f（x）的函數(shù)值為a，而對于直線ya（2x），當(dāng)x0，可得函數(shù)值y2a，顯然在y軸上不相交，方程f（x）a（2x）恰有2個互異的實數(shù)解

6、，當(dāng)x0時，f（x）x2+，那么f（x）2x，令2xa，可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，要使f（x）x2+與直線ya（2x）有兩個交點(diǎn)，則，解得a2，當(dāng)x0時，f（x）x2，那么f（x）2x，令2xa，可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，x0時，有兩個交點(diǎn)，當(dāng)x0時，沒有交點(diǎn)，則，解得a8，綜上，可得a的取值范圍是（2，8）故選：D【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 14.設(shè)函數(shù)yf（x）存在反函數(shù)yf1（x），且函數(shù)yxf（x）的圖象過點(diǎn)（1，3），則函數(shù)yf1（x）+3的圖象一定經(jīng)過定點(diǎn)（）A（1，1）B（3，1）C（2，4）D（2，1）【解答】解：yxf（x）的圖象過點(diǎn)（1，3），31f（1），即f（1）2，即函

7、數(shù)yf（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則函數(shù)yf（x）的反函數(shù)yf1（x）過（2，1）點(diǎn)，函數(shù)yf1（x）+3的圖象一定過點(diǎn)（2，4），故選：C【知識點(diǎn)】反函數(shù) 15.設(shè)函數(shù)f（x）eax與g（x）blnx的圖象關(guān)于直線xy0對稱，其中a，bR且a0則a，b滿足（）Aa+b2Bab1Cab1D【解答】解：設(shè)A（x，eax）是函數(shù)f（x）eax圖象上任意一點(diǎn)，則它關(guān)于直線xy0對稱的點(diǎn)在函數(shù)g（x）blnx的圖象上，所以xblneaxabx，即ab1，故選：C【知識點(diǎn)】反函數(shù) 16.己知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f1（x）log2x，則f（1）【解答】解：把y1代入反函數(shù)f1（x）log2x1，故x，故答

8、案為：【知識點(diǎn)】反函數(shù) 17.已知函數(shù)f（x）arcsin（2x+1），則f1（）【解答】解：令arcsin（2x+1）即sin2x+1解得x故答案為：【知識點(diǎn)】反函數(shù) 18.計算：2lg【解答】解：原式lg2+lg5+11+12，故答案為：2【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 19.設(shè)a0，a1，M0，N0，我們可以證明對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如下：我們將式稱為證明的“關(guān)鍵步驟“則證明（其中M0，rR）的“關(guān)鍵步驟”為【解答】解：設(shè)logaMrb，abMr，rlogaMb，logaM，aa（a）r（a）rabMr，關(guān)鍵步驟為：a（a）rMr【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 20.函數(shù)y+1與函數(shù)yk（x2）的圖象有兩個

9、不同的公共點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是【解答】解：由題意，函數(shù)y+1可變形為x2+（y1）211x20，1x1，而y1函數(shù)y+1的函數(shù)圖象為圓x2+（y1）21的上半部分又函數(shù)yk（x2）表示過定點(diǎn)（2，0）的直線，根據(jù)題意，畫圖如下：圖象有兩個不同的公共點(diǎn)，直線應(yīng)在圖中兩條之間之間，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（1，1）時，k1；當(dāng)直線與曲線相切時，聯(lián)立，整理，得（k2+1）x22k（2k+1）x+4k（k+1）0，4k2（2k+1）24（k2+1）4k（k+1）0，解得k實數(shù)k的取值范圍為：（，1故答案為：（，1【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 21.根據(jù)相關(guān)規(guī)定，機(jī)動車駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ǖ扔冢?

10、0毫克/100毫升的行為屬于飲酒駕車假設(shè)飲酒后，血液中的酒精含量為p0毫克/100毫升，經(jīng)過x個小時，酒精含量降為p毫克/100毫升，且滿足關(guān)系式（r為常數(shù)）若某人飲酒后血液中的酒精含量為89毫克/100毫升，2小時后，測得其血液中酒精含量降為61毫克/100毫升，則此人飲酒后需經(jīng)過小時方可駕車（精確到小時）【解答】解：由題意，6189e2r，er，89exr20，x8，故答案為8【知識點(diǎn)】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型 22.設(shè)f1（x）為函數(shù)f（x）log2（4x1）的反函數(shù)，則當(dāng)f（x）2f1（x）時，x的值為【解答】解：f1（x）為函數(shù)f（x）log2（4x1）的反函數(shù)，設(shè)yf（x）2f1（

11、x），函數(shù)過（x，y），反函數(shù)過（x，），所以f（x）同時過（x，y），（，x），代入，得，所以x1，故答案為：1【知識點(diǎn)】反函數(shù) 23.設(shè)函數(shù)f（x）loga（x+4）（a0且a1），若其反函數(shù)的零點(diǎn)為2，則a【解答】解：函數(shù)f（x）loga（x+4）（a0且a1），若其反函數(shù)的零點(diǎn)為2，即函數(shù)過（0，2），代入2loga（0+4），a24，a2（a0），故答案為：2【知識點(diǎn)】反函數(shù) 24.求下列各式的值：（1）；（2）【解答】解：（1）原式；（2）原式【知識點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 25.已知函數(shù)f（x）ax（a1）在區(qū)間1，2上的最大值比最小值大2，求實數(shù)a的值【解答】解：

12、當(dāng)a1時，函數(shù)f（x）ax在區(qū)間1，2上是增函數(shù)，f（x）minf（1）a，f（x）maxf（2）a2，由題意知a2a2，解得a2，a1（舍棄），故a的值為：2【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 26.已知函數(shù)f（x）x22ax+2，x1，1（1）當(dāng)a1時，求f1（1）；（2）當(dāng)時，判定此函數(shù)有沒有反函數(shù)，并說明理由；（3）當(dāng)a為何值時，此函數(shù)存在反函數(shù)？并求出此函數(shù)的反函數(shù)f1（x）【解答】解：（1）a1時f（x）x22x+2，求f1（1）即是求f（x）1在1，1的解，所以x22x+21，解得x1，所以f1（1）1；（2）a，時f（x）x2+x+2（x+）2+，x1，1，顯然函數(shù)不單調(diào)，所以此時

13、沒有反函數(shù)；（3）函數(shù)存在反函數(shù)時必須在1，1上單調(diào)，而f（x）（xa）2+2a2，x1，1，對稱軸xa，所以a1或a1；當(dāng)a1時，f1（x）a，x32a，3+2a；當(dāng)a1 時，f1（x）a+，x3+2a，32a【知識點(diǎn)】反函數(shù) 27.已知函數(shù)f（x）ax2（a+1）x+1，aR（1）當(dāng)a0時，求函數(shù)y的定義域；（2）若存在m0使關(guān)于x的方程f（|x|）m+有四個不同的實根，求實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）由題意，f（x）ax2（a+1）x+10，即（ax1）（x1）0，當(dāng)0a1時，函數(shù)y的定義域為x|x或x1，當(dāng)a1時，函數(shù)y的定義域為R，當(dāng)a1時，函數(shù)y的定義域為x|x1或x；（2）令

14、tm+2，則關(guān)于x的方程f（|x|）t有四個不同的實根可化為a|x|2（a+1）|x|+1t0有四個不同的實根，即ax2（a+1）x+1t0有兩個不同的正根，則，解得a32【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系 28.已知函數(shù)在（，+）上是增函數(shù)（1）求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)g（x）f（x）kx有三個零點(diǎn)，求實數(shù)k的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng)x0時，f（x）x2是增函數(shù)，且f（x）0f（0），故當(dāng)x0時，f（x）為增函數(shù)，即f（x）0恒成立，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）+2ax2a+2a（x1）（1x）（2a）0恒成立，當(dāng)x1時，1x0，此時相應(yīng)2a0恒成立，即2a恒成立，即2a（）max恒成立，當(dāng)x1

15、時，1x0，此時相應(yīng)2a0恒成立，即2a恒成立，即2a（）min恒成立，則2a，即a（2）若k0，則g（x）在R上是增函數(shù)，此時g（x）最多有一個零點(diǎn)，不可能有三個零點(diǎn)，則不滿足條件故k0，當(dāng)x0時，g（x）x2kx有一個零點(diǎn)k，g（0）f（0）00，故0也是故g（x）的一個零點(diǎn)，故當(dāng)x0時，g（x）有且只有一個零點(diǎn)，即g（x）0有且只有一個解，即+kx0，得+kx，（x0），則k+，在x0時有且只有一個根，即yk與函數(shù)h（x）+，在x0時有且只有一個交點(diǎn)，h（x）+，由h（x）0得+0，即得ex2e，得xln2e1+ln2，此時函數(shù)遞增，由h（x）0得+0，即得ex2e，得0 xln2e1+

16、ln2，此時函數(shù)遞減，即當(dāng)x1+ln2時，函數(shù)取得極小值，此時極小值為h（1+ln2）+，h（0）1+01，作出h（x）的圖象如圖，要使yk與函數(shù)h（x）+，在x0時有且只有一個交點(diǎn)，則k或k1，即實數(shù)k的取值范圍是1，+）【知識點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷 29.藥材人工種植技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)研究表明：人工種植藥材時，某種藥材在一定的條件下，每株藥材的年平均生長量v（單位：千克）是每平方米種植株數(shù)x的函數(shù)當(dāng)x不超過4時，v的值為2；當(dāng)4x20時，v是x的一次函數(shù)，其中當(dāng)x為10時，v的值為4；當(dāng)x為20時，v的值為0（1）當(dāng)0 x20時，求函數(shù)v關(guān)于

17、x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)每平方米種植株數(shù)x為何值時，每平方米藥材的年生長總量（單位：千克）取得最大值？并求出這個最大值（年生長總量年平均生長量種植株數(shù)）【解答】解：（1）由題意得，當(dāng)0 x4時，v2；當(dāng)4x20時，設(shè)vax+b，由已知得，解得，所以vx+8，故函數(shù)v（2）設(shè)藥材每平方米的年生長總量為f（x）千克，依題意及（1）可得，當(dāng)0 x4時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）maxf（4）428；當(dāng)4x20時，此時f（x）maxf（10）40綜上所述，可知當(dāng)每平方米種植10株時，藥材的年生長總量取得最大值40千克【知識點(diǎn)】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型 30.十九大提出對農(nóng)村要堅持精準(zhǔn)扶貧，至2021

18、-2022年底全面脫貧現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實施脫貧工作經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù)從2018年初開始，若該村抽出5x戶（xZ，1x9）從事水果包裝、銷售經(jīng)測算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為 （3x）萬元（參考數(shù)據(jù)：1.131.331，1.1531.521，1.231.728）（1）至2021-2022年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實現(xiàn)脫貧（每戶年均純收入不低于1萬6千元），至少抽出多少戶從事包裝、銷售工作？（2）至2018年底，該村每戶年均純收入能否達(dá)到1.35萬元？若能