【2021年】高考全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、 10/10【2021年】高考全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題及答案 2015年高考理科數(shù)學(xué)試卷全國(guó)卷1 1設(shè)復(fù)數(shù)z 滿足 11z z +-=i ，則|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）（B （C ）12- （D ）12 3設(shè)命題p ：2 ,2n n N n ?，則p ?為（ ） （A ）2 ,2n n N n ? （B ）2,2n n N n ? （C ）2,2n n N n ? （D ）2,=2n n N n ? 4投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，

2、且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5已知M （00,x y ）是雙曲線C ：2 212 x y -=上的一點(diǎn)，12,F F 是C 上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若120MF MF ? ，討論h （x ）零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 22（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，AB 是的直徑，AC 是的切線，BC 交 于E. （）若D 為AC 的中點(diǎn)，證明：DE 是的切線； （）若OA = ，求ACB 的大小. 23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy 中，直線1C : x =-2，

3、圓2C ：()()22 121x y -+-=,以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （）求1C ，2C 的極坐標(biāo)方程； （）若直線3C 的極坐標(biāo)方程為()4 R = ，設(shè)2C 與3C 的交點(diǎn)為M ,N ,求 2C MN ?的面積. 24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講 已知函數(shù) =|x+1|-2|x-a|，a0. （）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f （x ）1的解集； （）若f （x ）的圖像與x 軸圍成的三角形面積大于6，求a 的取值范圍. 【答案解析】 1.【答案】A 【解析】由 11z i z +=-得，11i z i -+= +=(1)(1) (1)(1)i i

4、i i -+-+-=i ，故|z|=1，故選A. 考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模等. 2.【答案】D 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故選D. 考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式. 3.【答案】C 【解析】p ?:2 ,2n n N n ?，故選C. 考點(diǎn)：本題主要考查特稱命題的否定 4.【答案】A 【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測(cè)試的概率為 22330.60.40.6C ?+=0.648，故選A. 考點(diǎn)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與互斥事件和概率公式 5.【答案】A 【解析】

5、由題知12(F F ，22 0012 x y -=，所以12MF MF ?= 0000(,),)x y x y -?- =2220 003310 x y y +-=-時(shí)，()g x 0，所以當(dāng)1 2 x =-時(shí)，max ()g x =1 2-2e -， 當(dāng)0 x =時(shí)，(0)g =-1，(1)30g e =，直線y ax a =-恒過（1,0）斜率且a ，故 (0)1a g -=-，且1(1)3g e a a -=-，解得 3 2e a 1，故選D. 考點(diǎn)：本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題 13.【答案】1 【解析】由題知ln(y x =是奇函數(shù)，所以ln(ln(x

6、x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-=，解得a =1. 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性 14.【答案】223 25()24 x y -+= 【解析】設(shè)圓心為（a ，0），則半徑為4a -，則2 2 2 (4)2a a -=+，解得3 2 a =，故圓的方程為22325()24 x y -+= . 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 15.【答案】3 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知， y x 是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A （1,3）與原點(diǎn)連線的斜率最大，故y x 的最大值為3. 考點(diǎn)：線性規(guī)劃解法 16.【答案】） 【解析】如圖所示，延長(zhǎng)BA ，C

7、D 交于E ，平移AD ，當(dāng)A 與D 重合與E 點(diǎn)時(shí)，AB 最長(zhǎng)，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得 sin sin BC BE E C = ，即 o o 2sin 30sin 75 BE =，解得BE AD ，當(dāng)D 與C 重合時(shí)，AB 最短，此時(shí)與AB 交于F ，在BCF 中，B=BFC=75，F(xiàn)CB=30，由正弦定理知， sin sin BF BC FCB BFC =，即o o 2 sin 30sin 75BF = ，解得-AB 的取值 ）. 考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 17.【答案】（）21n +（）11 646 n - + 【解析】 試題分析：（）先用數(shù)

8、列第n 項(xiàng)與前n 項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列n a 的遞推公式，可以判斷數(shù)列n a 是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式；（）根據(jù)（）數(shù)列n b 的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前n 項(xiàng)和. 試題解析：（）當(dāng)1n =時(shí)，211112434+3a a S a +=+=，因?yàn)?n a ，所以1a =3， 當(dāng) 2n 時(shí)， 2211 n n n n a a a a -+-= 14343 n n S S -+-= 4n a ，即 11 ()()2()n n n n n n a a a a a a +-=+，因?yàn)? n a ，所以1n n a a -=2， 所以數(shù)列n a 是首項(xiàng)為3，公

9、差為2的等差數(shù)列， 所以n a =21n +； （）由（）知，n b =1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-+， 所 以 數(shù) 列 n b 前n 項(xiàng)和為 12n b b b + +=1111111()()( )23557 2123 n n -+-+ +-+ =11 646n - +. 考點(diǎn)：數(shù)列前n 項(xiàng)和與第n 項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法 18.【答案】（）見解析（） 3 【解析】 試題分析：（）連接BD ，設(shè)BD AC=G ，連接EG ，F(xiàn)G ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設(shè)GB=1易證EG AC ，通過計(jì)算可證EG FG ，根據(jù)線面垂直判定定理

10、可知EG 平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC 平面AEC ；（）以G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,GB GC 的方向?yàn)閤 軸，y 軸正方向，|GB 為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz ，利用向量法可求出異面直線AE 與CF 所成角的余弦值. 試題解析：（）連接BD ，設(shè)BD AC=G ，連接EG ，F(xiàn)G ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設(shè)GB=1， 由ABC=120，可得 由BE 平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ， 又AE EC ，EG AC ， 在Rt EBG 中，可得，故DF= 2 . 在Rt FDG 中，可得FG= 2 在直角梯形BDFE 中，由BD=2，DF=

11、2 可得EF=2， 222 EG FG EF +=，EG FG ， AC FG=G ，EG 平面AFC ， EG ?面AEC ，平面AFC 平面AEC. （）如圖，以G 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,GB GC 的方向?yàn)閤 軸，y 軸正方向，|GB 為單 位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz ，由（）可得A （00），E （）， F （1,0，2），C （0，0），AE =（1），CF =（-1，2 ）.10分 故cos ,| AE CF AE CF AE CF ?= =-. 所以直線AE 與CF 考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力 19.【答案】（）y c =+

12、適合作為年銷售y 關(guān)于年宣傳費(fèi)用x 的回歸方程類型； （）100.6y =+46.24 【解析】 試題分析：（）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（）令 w =先求出建立y 關(guān)于w 的線性回歸方程，即可y 關(guān)于x 的回歸方程；（）（） 利用y 關(guān)于x 的回歸方程先求出年銷售量y 的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率z 與x 、y 的關(guān)系為z=0.2y-x 即可年利潤(rùn)z 的預(yù)報(bào)值；（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z 的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于x 的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用. 試題解析： （）由散點(diǎn)圖可以判斷，y c =+適合作為年銷售y 關(guān)于年宣傳費(fèi)用x 的回歸方

13、程類型. （）令w = ，先建立y 關(guān)于w 的線性回歸方程，由于 8 1 8 2 1 ()() () i i i i i w w y y d w w =-= -= 108.8 =6816 ， c y dw =-=563-686.8=100.6. y 關(guān)于w 的線性回歸方程為100.668y w =+， y 關(guān)于x 的回歸方程為100.6y =+ （）（）由（）知，當(dāng)x =49時(shí)，年銷售量y 的預(yù)報(bào)值 100.6y =+， 576.60.24966.32z =?-=. （）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z 的預(yù)報(bào)值 0.2(100.620.12z x x =+-=-+， = 13.6 =6.82 ，即

14、46.24x =時(shí)，z 取得最大值. 故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12分 考點(diǎn)：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)；應(yīng)用意識(shí) 20.【答案】 0y a -= 0y a +=（）存在 【解析】 試題分析：（）先求出M,N 的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將y kx a =+代入曲線C 的方程整理成關(guān)于x 的一元二次方程，設(shè)出M,N 的坐標(biāo)和P 點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM ，PN 的斜率之和用a 表示出來(lái)，利用直線PM ，PN 的斜率為0,即可求出,a b 關(guān)系，從而找出適合條件的P 點(diǎn)坐標(biāo). 試題解析：（） 由

15、題設(shè)可得)M a ，()N a -， 或(2M a - ，)N a . 1 2y x =，故24x y =在x = ，C 在,)a 處的切線方程為 y a x -=- 0y a -=. 故2 4x y =在x =-處的到數(shù)值為 C 在(,)a -處的切線方程為 y a x -=+ 0y a +=. 0y a -= 0y a +=. （）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)P （0，b ）為復(fù)合題意得點(diǎn)，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直線PM ，PN 的斜率分別為12,k k . 將y kx a =+代入C 得方程整理得2440 x kx a -=. 12124,4x x k x

16、x a +=-. 121212y b y b k k x x -+= +=1212122()()kx x a b x x x x +-+=() k a b a +. 當(dāng)b a =-時(shí)，有12k k +=0，則直線PM 的傾斜角與直線PN 的傾斜角互補(bǔ)， 故OPM=OPN ，所以(0,)P a -符合題意. 考點(diǎn)：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運(yùn)算求解能力 21.【答案】（）34 a = ；（）當(dāng)34a -或54a =，所以只需考慮()f x 在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù). （）若3a -或0a ，則2 ()3f x x a =+在（0,1）無(wú)零點(diǎn)，故()f x 在（0,1）單調(diào)，而1(0)4f = ，5 (1)4 f a =+，所以當(dāng)3a -時(shí)，()f x 在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) a 0時(shí)，()f x 在（0，1）無(wú)零點(diǎn). （）若30a - 或54a 1化為一元一次不等式組來(lái)解；（）將()f x 化為分段函數(shù)，求出()f x 與x 軸圍成三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于a 的不等式，即可解出a 的取值范圍. 試題解析：（）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f （x ）1化為