空間兩直線夾角公式

1、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)aa1a2a3bb1b2b3則aba1b1a2b2a3b3aba1b1a2b2a3b3aa1a2a3Raba1b1a2b2a3b3a/ba1b1a2b2a3b3Ra1/b1a2/b2a2/b2.aba1b1a2b2a3b30已知3-24，-25-3，則ab_ab_3a5b_ab_2aba2b_二、距離與夾角1.距離公式（1）向量的長(zhǎng)度（模）公式2aaaa12a22a322bbbb12b22b32注意：此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度。（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式終點(diǎn)坐標(biāo)減在空間直角坐標(biāo)系中，已知Ax1起點(diǎn)坐標(biāo)y1z1、Bx2y2z2，則AB

2、x2x1y2y1z2z1ABABABx2x12y2y12z2z12dABx2x1y2y1z2z12222.兩個(gè)向量夾角公式aba1b1a2b2a3b3cosababa1a2a3b1b2b3222222注意：（1）當(dāng)cosab1時(shí)，與b同向；a（2）當(dāng)cosab1時(shí)，與ab反向；（3）當(dāng)cosab0時(shí)，ab。思慮：當(dāng)0cosab1及1cosab0時(shí)，的夾角在什么范圍內(nèi)？練習(xí)一：1.求以下兩個(gè)向量的夾角的余弦：1a233b1002a111b1012.求以下兩點(diǎn)間的距離：1A110B1112C315D023.三、應(yīng)用舉例例1已知A331、B105，求：AM（1）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；B解：設(shè)Mx

3、yz是AB的中點(diǎn)，則113OOMOAOB331105232223點(diǎn)M的坐標(biāo)是23.2dAB（2）到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)Pxyz的坐標(biāo)xyz滿(mǎn)足的條件。解：點(diǎn)Pxyz到A、B的距離相等，則x32y32z12x12y02z52化簡(jiǎn)整理，得4x6y8z70即到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)xyz滿(mǎn)足的條件是4x6y8z70例2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，1E1BA1B1D1F14，求BE1與DF1所成的角的余弦值。z解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建D1F1C1立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A1E1B13B110E1114Dy1OCD000F10，1.4AB31xBE1111100144例2

4、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，1E1BA1B1D1F14，求BE1與DF1所成的角的余弦值。z11D1F1DF10，10000，1.44C1A1E1B11115BE1DF1001144161717DOCyBE1DF1.4415ABBEDF11615xcosBE1DF11.BE1DF117171744練習(xí)二：正方體A1B1C1D1ABCD，E、F分別是C1CD1A1的中點(diǎn)，求ABEF12求點(diǎn)A到直線EF的距離。用向量方法）D1C1FA1B1EDCAB練習(xí)三：如圖：直三棱柱ABCA1B1C1底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M、oN分別為A1B1、AA1的中點(diǎn)，1求BN的長(zhǎng)；C12求cosBA1CB1的值；A1B1M3求證：A1BC1M。NCAB四、課堂小結(jié)：1.基本知識(shí)：（1）向量的長(zhǎng)度公式與兩點(diǎn)間的距離公式；（2）兩個(gè)向量的夾角公式。2.思想方法：用向量計(jì)算或證明幾何問(wèn)題時(shí)，可以先建立直角坐標(biāo)