超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別

1、創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日之巴公共開創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日在蘇教版數(shù)學(xué)選修 2-3 的課本中，第二章概率的2.2節(jié)和2.4節(jié)分別介紹了兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布，超幾何分布(hyper-geometric distribution) 與二 項(xiàng)分布 (binomial distribution ).通過實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識模型所刻畫的隨機(jī)變量的 共同特點(diǎn)，從而建立新的模型，并能運(yùn)用兩模型解決一些實(shí)際問 題.然而在教學(xué)過程中，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確地分辨所要解決的 問題是屬于超幾何分布還是二項(xiàng)分布，學(xué)生對這兩模型的界說不 能很好的理解，一遇到含“取”或“摸”的題型 ，就認(rèn)為是超 幾何分布

2、，不加分析，隨便濫用公式.事實(shí)上，超幾何分布和二 項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別. 課本對超幾 何分布的界說是這樣的：一般的 ，若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列為弓 其中卜 W23J，皿M|,則稱X服 從超幾何分布，記為四的M劃.其概率分布表為：卜2 口府*C；-M- AT-Af rB 卡Z* J zr M -I1對二項(xiàng)分布的界說是這樣的：若隨機(jī)變量X的分布列為p(星=附01二止I,其中叱-1，尸丈且則稱 X服從參數(shù)為 n, p的二項(xiàng)分布，記為1嵐力其概率分布表創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日Ci = min（況Af）Xp1 口2p了c卜嵋*1 超幾何分布與二項(xiàng)

3、分布都是取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，概況上看，兩種分布的概率求取有截然分歧的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會(huì)發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)，如：隨機(jī)變量X的取值都從0連續(xù)變動(dòng)到I |，3 而叫膽）對應(yīng)概率和 N, n, l三個(gè)值密切相關(guān)可見兩種分布之間有著密切的聯(lián)系.課本中對超幾何分布的模型建 立是這樣的：若有 N件產(chǎn)物，其中M件是廢品，無返回地任意抽 取n件，則其中恰有的廢品件數(shù) X是服從超幾何分布的.而對二項(xiàng) 分布則使用比力容易理解的射擊問題來建立模型.若將但超幾何分布的概率模型改成：若有 N件產(chǎn)物，其中M件是廢品，有返回的 任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù) X是服從二項(xiàng)分布的.在這 里，兩種分布的分歧

4、就在于“有”與“無”的分歧 ，只要將概率 模型中的“無”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o”，就可以實(shí) 現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化.“返回”和“不返回”就是兩種分布轉(zhuǎn)換 的關(guān)鍵.如在2.2節(jié)有這樣一個(gè)例題：高三（1）班的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球、20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)紅球1個(gè)白球 就是一等獎(jiǎng)，求獲一等獎(jiǎng)的概率.本題采納的解法是摸出球中的紅 球個(gè)數(shù)X服從超幾何分布，可是如果將“一次從中摸出 5個(gè)球”改 創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日為“摸出一球記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù)5次”，則摸出球中的紅球個(gè)數(shù) X將不

5、再服從超幾何分布，而是服從二項(xiàng)分布我們分別來計(jì)算兩種分布所對應(yīng)的概率：1-2戶3-4卡5-,起幾何分布P-0. 10879533998X0.339985*Q. 1599940. 029472*-。,如儂二項(xiàng)分布P*30.131687632921即0.32921K0.1646。9r0. 0411520.004115 從概率分布表中可以發(fā)現(xiàn)兩種不同的分布其對應(yīng)的彳 曾。個(gè)紅球，2g個(gè)白球，其他條件不變再求相應(yīng)概率概率相差并不大,若將題中數(shù)據(jù)擴(kuò)大為 。戶I*32V3爐4平5-”越幾何分布0.129483 平0. 3303140. 33199”0.1643190. 040048P0.003845/4二

6、項(xiàng)分布加0.131687*8 329218,0. 329218*0.164605+-0. 041152,0,用4115；這時(shí)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩種分歧的分布其對應(yīng)的概率之間的差距進(jìn)步縮小了，我們做出這樣的猜想：樣本個(gè)數(shù)越年夜超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率相差就越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為無窮年夜時(shí),超幾何分布和二項(xiàng)分布的對應(yīng)概率就相等，換而言之超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布！也就是說im極限就是二項(xiàng)分布！也就是說im選冬= p產(chǎn)9所c田3對以上猜想作出證明：產(chǎn)物個(gè)數(shù)N無限年夜，設(shè)廢品率為p,創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日M程!（押 用）1C：1fH (M 劃(N)!0Z此一龍十EHNn

7、!M拉一1)一 W七41)- N-M-儂一的 +1上!也一劃NN-N他HP7為。/_。二（配以十1）因?yàn)閚, k確定，所以limM(Af-1)*- (M -長+ 1)limNt .-M-1?/-M -+1limWNN陽M 1)(M邦 + 1)j故融等=獷得證。上的證明與我們的直觀思想相吻合：在廢品為確定命M的足夠多的產(chǎn)物中，任意抽取n個(gè)（由于產(chǎn)物個(gè)數(shù) N無限多，無返回與有 返回?zé)o區(qū)別，故可看作n次自力試驗(yàn)）中含有 k個(gè)廢品的概率固 然服從二項(xiàng)分布.在這里，超幾何分布轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布的條件是（1）產(chǎn)物個(gè)數(shù)應(yīng)無限多，否則無返回地抽取 n件產(chǎn)物是不能看作n次自力試驗(yàn)的.（2 ）在產(chǎn)物個(gè)數(shù) N無限增加的

8、過程中，廢品數(shù)應(yīng) 按相應(yīng)的“比例”增年夜，否則上述事實(shí)也是不成立的. 對超m 幾何分布的數(shù)學(xué)期望r A 二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 笆受出, 當(dāng)我們將“不返回”改為“返回”時(shí),隹二|兩種分布的數(shù)學(xué)期望相等，方差之間沒有相等關(guān)系.超幾何分布和二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué) 期望和方差是否也具有我們以上猜想并證明的極限關(guān)系呢？事實(shí)上超幾何分布的數(shù)學(xué)期望 I , 方差創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日當(dāng)這兩個(gè)極當(dāng)這兩個(gè)極r Mr M ，-虞) 、31m. =p lim 盟-二沖、 hm 二四一切限值分別是二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差.需要指明的是這一性質(zhì)其實(shí)不是只為超幾何分布與二項(xiàng)分布之間所具有，一般地，如果隨機(jī)變量依分布收斂于隨

9、機(jī)變量 ，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差分 別是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的極限.這樣超幾何分布與二項(xiàng)分布到達(dá)了統(tǒng)一.一般說來，有返回抽樣與無返回抽樣計(jì)算的概率是分歧的，特別在抽取對象數(shù)目不年夜時(shí)更是如此 .但當(dāng)被抽取 的對象數(shù)目較年夜時(shí),有返回抽樣與無返回抽樣所計(jì)算的概率相 差不年夜，人們在實(shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量較 年夜時(shí)的無返回抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈；產(chǎn)物的壽命試 驗(yàn)等），看成有返回來處置. 那么，除在有無“返回”上做文 章，有沒有什么法子快速實(shí)現(xiàn)超幾何分布向二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化呢？ 設(shè)想N件產(chǎn)物裝在一個(gè)年夜袋中，其中M件為廢品，無返回地從 中抽取n件，那么其中廢品件數(shù) X服從超幾何分布.現(xiàn)若在年夜 袋中再放進(jìn)兩個(gè)小袋，一袋裝正品，一袋裝廢品，然后從年夜袋 中任摸一個(gè)小袋，無返回地從中任取一件產(chǎn)物，則這樣任取n件, 其中廢品件數(shù) X就不再服從超幾何分布，而應(yīng)服從的二項(xiàng)分布了 . 事實(shí)上，我們把摸到正品袋中的產(chǎn)物看作“勝利”，摸到廢品袋 中的產(chǎn)物看作“失敗”，則“勝利”與“失敗”的概率相等 ，皆 為且每次試驗(yàn)是相互自力的 ，正是典范的伯努力試驗(yàn)概型 ，因此創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時(shí)間：二零二一年六月三十日可用二項(xiàng)分布去刻劃其概率分布 列.叵3C梏*尸=%廣供三.從這一點(diǎn) 上講，兩種分布僅“一袋之隔”.將正品和廢品隔離，則超幾何分 布將成為二項(xiàng)分布.超幾何