人教版高中數(shù)學(xué)選修46第二講同余與同余方程五拉格朗日插值和孫子定理名師課件【集體備課】

1、知識(shí)回顧學(xué)過的函數(shù)： 一次函數(shù) f（x）=ax+b+c 二次函數(shù) f（x）=ax2+bx+cf（1）= a+b+cf（-1）= a-b+cf（2）= 4a+2b+c方程組：導(dǎo)入新課 今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？你能算出來嗎？ 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？ 這四句話的意思是：有若干 只雞兔同在一個(gè)籠子里，從 上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面 數(shù)，有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔 .你知道有多少只雞嗎？ 你能夠解決以上的問題，求出數(shù)值嗎？要解決以上的問題窮舉法顯然是不可能的，這就涉及到我們今天要學(xué)習(xí)的知識(shí)，拉格朗日插值法、孫子定理.第五節(jié)

2、 拉格朗日插值和孫子定理第二講 同余與同余方程教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與能力1.理解一次同余式組的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立過程及推導(dǎo)孫子定理的過程.3.掌握用孫子定理法求一次同余式組的解.過程與方法情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過算法案例的學(xué)習(xí)，了解中國古代數(shù)學(xué)家對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的偉大貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民自豪感和自信心. 2.在學(xué)習(xí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)做有愛國心，品格高尚的人，樹立遠(yuǎn)大理想和目標(biāo). 1.先閱讀案例，探究解決問題的算法. 2.研讀算法，體會(huì)算法思想，能解決具體問題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)1.理解拉格朗日插值公式的建立過程. 2.孫子定理的推導(dǎo)過程. 3.用孫子定理解一次同余方程.難點(diǎn)建立拉格朗日插值公式和推導(dǎo)孫

3、子定理. 孫子算經(jīng)翻譯：一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問這個(gè)數(shù)是幾? m=3x+2 x2（mod3）相當(dāng)于解方程組 m=5y+3 即 x3（mod5） m=7z+2 x2（mod3）同余方程組 為了能更方便的求解方程組我們將學(xué)習(xí)拉格朗日插值法. 我們知道，在二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c中只要我們知道其上的三個(gè)值如（x1，f（x1）， （x2，f（x2）， （x2，f（x2），就能得到要求的多項(xiàng)事.一種更一般的拉格朗日插值法. 1）求多項(xiàng)式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求多項(xiàng)式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求多

4、項(xiàng)式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若選取p（x）=c（x-x2）（x-x3），其中c為常數(shù).顯然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可求得c為 (x1 - x2)（ x1 x3）的倒數(shù). 求得 同理得設(shè)a，b，c兩兩不同那么滿足f(a)=e，f(b)=f ， f（c）=g的一個(gè)多項(xiàng)式可用f(x)=e p(x)+f q(x)+ g r(x) () 其中 （）上面的公式（）和（）叫做拉格朗日公式.用類似方法解決孫子算經(jīng)的物不知其數(shù)問題. 1）求整數(shù)p,使p1（mod3）, p 0（mod5）, p0（mod7）. 求整數(shù)q,使q0（mod3）, q

5、1（mod5）, q0（mod7）. 求整數(shù)r,使r0（mod3）, r 0（mod5）, r1（mod7）.2）作整數(shù)k=2p+3q+2r，這個(gè)k使同余式都成了.此時(shí)xk（mod357）現(xiàn)在的焦點(diǎn)就是如何求p、q、r. 由于p0（mod5），p 1（mod7） 故 5p，7p，于是p=57c，c為整數(shù)再由p1（mod3）即57c 1（mod3） 若c=2，則p=70.同理求得q=21，r=15. 所以k=233，x 23323（mod105）. 此求同余方程組的方法即孫子定理.孫子定理 設(shè)a，b，c為兩兩互素的正整數(shù)，e，f，g為任意整數(shù)，則同余方程組 xe（moda）， xf（modb），

6、僅有一解： xg（modc） xebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分別滿足同余式：bcc11（moda） acc2 1（modb）,abc3 1（moda）的整數(shù).課堂小結(jié)一、一次同余式組：xe（moda）xf（modb）xg（modc）二、拉格朗日插值公式： f(x)=e p(x)+f q(x)+ g r(x) 三、孫子定理：設(shè)a，b，c為兩兩互素的正整數(shù)，e，f，g為任意整數(shù)，則同余方程組 xe（moda） xf（modb），僅有一解： xg（modc） xebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分別滿足同余式：bcc1

7、1（moda） acc2 1（modb）,abc3 1（moda）的整數(shù).針對性練習(xí)1、已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx當(dāng)t1時(shí), 不等式f(2t1) 2f(t)3恒成立, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.證明:當(dāng)t1時(shí)，f(2t1)2f(t)3 恒成立. 即（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）2t2+4t+2alnt-3當(dāng)t1恒成立. 即alnt2-ln（2t-1） 2（t-1）2h(x)=lnx,由拉格朗日定理知, 使得 成立 故 所以 即實(shí)數(shù)取值范圍（-,2當(dāng)t=1時(shí)，不等式恒成立,此時(shí)aR. 當(dāng)t1時(shí)，由于t2-（2t-1）=（t-1）20， 所以 lnt2ln（2t-1） 故

8、 當(dāng)t1時(shí)恒成立.2、已知函數(shù) ， f（x）的導(dǎo)數(shù)是f（x），任意兩個(gè)不等正數(shù)x1，x2證：若a4， f（x1）- f（x2） x1- x2 ，證明：要證f（x1）- f（x2） x1- x2 只要證 由拉格朗日定理，總存在 使 故只要證明 只要證令 ，則 令 故當(dāng)a4時(shí)f（x1）- f（x2） x1- x2 3、已知函數(shù) 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. 證明： 證明： 因?yàn)?由拉格朗日中值定理知: 總存在 使得 由于 又 當(dāng) 故得證 1、求整數(shù)n，它被3，5，7除的余數(shù)分別是1，2，3,則該整數(shù)最小為（ ）.2、解同余方程組 則x為( ). 課堂練習(xí)5221531056 4、一

9、個(gè)數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個(gè)數(shù)最小是（ ）.3、有一個(gè)數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個(gè)數(shù)除以12余（ ）.A.5 B. 7 C.8 D.9AA.274 B. 40 C.34 D.36C解析：若4人一組多1人，6人一組少3人,則加3人為4和6的公約數(shù)=12K，12K-3能被5整除,根據(jù)5和2的倍數(shù)特征規(guī)律:124-3=45，所以至少有45人.5、若4人一組多1人，5人一組正好分完，6人一組少3人，最少有幾人？6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問至少有多少人 ？解：由于9,7,5互素,故同樣可用孫子定理. 解1 75c1 =35c11(mod9) 得 c1 8(mod9), 解2 95c2 =45c21(mod7) 得 c2 5(mod7), 解3 97c3 =63c31(mod5) 得 c3 2(mod5), 于是,選取c1=2， c2=3， c3=11 得x6758+2955+3972 303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.解：由于3,7,11互素,故同樣可用孫子定理. 解1 711c1 =77c11(mod3) 得 c1 2(mod2), 解2 311c2 =33c21(m