二次函數(shù)與圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)和圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于軸（

2、或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線. （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱軸是直線. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完

3、全一樣. （2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置. 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸. 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，

4、通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線與拋物線的交點(diǎn) （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)

5、交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn). （6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故1.垂徑定理及推論: 如圖：有五個(gè)元素，“知二可推三”；需記憶其中四個(gè)定理，即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”. 幾何表達(dá)式舉例： CD過圓心CDAB2.平行線夾弧定理：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.幾何表達(dá)式舉例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）“等角對(duì)

6、等弦”； “等弦對(duì)等角”； “等角對(duì)等弧”； “等弧對(duì)等角”；“等弧對(duì)等弦”；“等弦對(duì)等(優(yōu)，劣)弧”；“等弦對(duì)等弦心距”；“等弦心距對(duì)等弦”.幾何表達(dá)式舉例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD4圓周角定理及推論:（1）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半；（2）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；(如圖)（3）“等弧對(duì)等角”“等角對(duì)等弧”；（4）“直徑對(duì)直角”“直角對(duì)直徑”；(如圖)（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)（1） （2）（3） （4）幾何表達(dá)式舉例：（1） ACB=AOB （2） AB是

7、直徑 ACB=90（3） ACB=90 AB是直徑（4） CD=AD=BD ABC是Rt 5圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.幾何表達(dá)式舉例： ABCD是圓內(nèi)接四邊形 CDE =ABCC+A =1806切線的判定與性質(zhì)定理:如圖：有三個(gè)元素，“知二可推一”；需記憶其中四個(gè)定理.（1）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；（2）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；（3）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；（4）經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.幾何表達(dá)式舉例：（1） OC是半徑OCABAB是切線（2） OC是半徑AB是切線OCAB（3）

8、7切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.幾何表達(dá)式舉例： PA、PB是切線 PA=PBPO過圓心APO =BPO8弦切角定理及其推論:（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；（2）如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.（如圖） 幾何表達(dá)式舉例：（1）BD是切線，BC是弦CBD =CAB（2） ED，BC是切線 CBA =DEF9相交弦定理及其推論:（1）圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等；（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項(xiàng).

9、 幾何表達(dá)式舉例：（1） PAPB=PCPD（2） AB是直徑PCABPC2=PAPB10切割線定理及其推論:（1）從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；（2）從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等. 幾何表達(dá)式舉例：（1） PC是切線，PB是割線PC2=PAPB（2） PB、PD是割線PAPB=PCPD11關(guān)于兩圓的性質(zhì)定理:（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；（2）如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上. （1） （2）幾何表達(dá)式舉例：（1） O1，O2是圓心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、

10、O2三點(diǎn)一線12正多邊形的有關(guān)計(jì)算:（1）中心角n ，半徑RN ， 邊心距rn ， 邊長an ，內(nèi)角n ， 邊數(shù)n；（2）有關(guān)計(jì)算在RtAOC中進(jìn)行.公式舉例：(1) n =；(2) 幾何B級(jí)概念：（要求理解、會(huì)講、會(huì)用，主要用于填空和選擇題）一 基本概念：圓的幾何定義和集合定義、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)切圓、 三角形的內(nèi)心、 圓心角、圓周角、 弦切角、 圓的切線、 圓的割線、 兩圓的內(nèi)公切線、 兩圓的外公切線、 兩圓的內(nèi)（外）公切線長、 正多邊形、 正多邊形的中心、 正多邊形的半徑、 正多邊形的邊心距、 正多邊形的中心角.二 定理：

11、1不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.2任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個(gè)全等的直角三角形.三 公式：1.有關(guān)的計(jì)算：（1）圓的周長C=2R；（2）弧長L=；（3）圓的面積S=R2.（4）扇形面積S扇形 =；（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOBAOB的面積.（如圖）2.圓柱與圓錐的側(cè)面展開圖：（1）圓柱的側(cè)面積：S圓柱側(cè) =2rh； (r:底面半徑；h:圓柱高)（2）圓錐的側(cè)面積：S圓錐側(cè) =. （L=2r，R是圓錐母線長；r是底面半徑）四 常識(shí)：1 圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形.2 圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).3 三角形的外

12、心 兩邊中垂線的交點(diǎn) 三角形的外接圓的圓心；三角形的內(nèi)心 兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 三角形的內(nèi)切圓的圓心.4 直線與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）直線與圓相交 dr ； 直線與圓相切 d=r ； 直線與圓相離 dr.5 圓與圓的位置關(guān)系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個(gè)圓的半徑且Rr）兩圓外離 dR+r； 兩圓外切 d=R+r； 兩圓相交 R-rdR+r；兩圓內(nèi)切 d=R-r； 兩圓內(nèi)含 dR-r.6證直線與圓相切，常利用：“已知交點(diǎn)連半徑證垂直”和“不知交點(diǎn)作垂直證半徑” 的方法加輔助線.7關(guān)于圓的常見輔助線：已知弦構(gòu)造弦心距.已知弦構(gòu)造Rt.已知直徑構(gòu)造直角.已知切線連半徑，出垂直.圓外角轉(zhuǎn)化為圓周角.圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化為圓周角.構(gòu)造垂徑定理.構(gòu)造相似形.兩圓內(nèi)切，構(gòu)造外公切線與垂直.兩圓內(nèi)切，構(gòu)造外公切線與平行.兩圓外切，構(gòu)造內(nèi)公切線與垂直.兩圓外切，構(gòu)造內(nèi)公切線與平行.兩圓同心，作弦心距，可證得AC=DB. 兩圓相交構(gòu)造公共弦，連結(jié)圓心構(gòu)造中垂線.PA、PB是切線，構(gòu)造雙垂圖形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且構(gòu)造弦切角.兩割