1991年考研數(shù)學(xué)一試題及完全解析(Word版)

1、 一、填空題( 分 3 分.) 1 ,2xtd y2 設(shè)則y cost,dx2xyz x y z 2z z(x,y)(1,0,1)在點(diǎn) 處的全微分 由方程222所確定的函數(shù)dz x1 y2 z3x2 y1 zL :1L :L ；, 10121121L2的平面方程是1x0 ) 1 cos 1,a x ,2與35 2 02 1 000AAA 設(shè)4 ,則 1 0 0 120 0 11二、選擇題( 分 3 分.)1ex2y ()1ex2 t f(x)f(x)2xf2( )f x 則()2 0e 2xe ln2 2xe ln2xe ln2 2x( a 2a 52n1an n1,()nn1n1n1 3 7

2、 8 9D 是D D是 設(shè)平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1),1(xycosxsin y)dxdy則()D2 cosxsin ydxdy2 xydxdyDD114 (xycosxsin y)dxdy 0D1nA B CABC EE n, 是 階單位陣, 設(shè) 、 、 ()ACB ECBA EBAC EBCA E三、( 分 5 分.)lim(cos x)x0 求.xn2x 3y z 6P(1,1,1) 處的指向外側(cè)的法向量, 設(shè) 2226x 8y22u Pn .z y2 2z, y z)dVz 4繞z (x22, 0 x.四、( 6 分)O(0,0) ,0)和y ax(a LO A中

3、, , 到 y )dx(2x y)dy (13.L五、( 8 分.)f(x)2|x|(1x1) 2 為周期的傅立葉級(jí)數(shù),1.n2n1六、( 7 分.)f(x)3 f(x) f1c在0,1 ,且, ,使23 f (c) 0.七、( 8 分.)(1,0,2,3)(1,1,3,5), 1,a2,1)4,a8),及,1234b.、 、 、a b、 , 1234、 、 、a b、 , 有的唯一的線性表示式并寫出該表示式.1234八、( 6 分)A nE nAE 設(shè) 為 , 是 階單位陣,九、( 8 分)P(x,y),Qxx( 軸的交點(diǎn)),且曲線在點(diǎn)(1,1) .十、填空題( 6 分 3 分.) 2,2的

4、正態(tài)分布,且,則XP2 X 4 P X 00 y 2x a2 ( 為正常數(shù)內(nèi)擲一點(diǎn),x, 的概率為4十一、( 6 分)(X,Y)2e(x2y),0, 0 xyf(x,y),0,其他Z X Y. 一、填空題( 分 3 分.)sinttcostt3【解析】這是個(gè)函數(shù)的參數(shù)方程,滿足參數(shù)方程所確定函數(shù)的微分法,即x t)t), 則.t)y t)dydydtsint,dxdxtdtx ,d y d d t 12 ( ) (dx2 t)ttcost2sint 1 sinttcost t.tt32dx 2dy【解析】這是求隱函數(shù)在某點(diǎn)的全微分,(1,0,zz1.將方程兩邊求全微分,d(x y z )222

5、d(xyz)0,2 x y z222xdx ydyzdzx y z(xy)dz(ydxxdy)z ,222x1,y z 1 dz dx 2dy.令,得,即2x3yz20L1L1 , ；r LL2L L和l (1,0,1)過 , ,即 1112rl (2,1,1),且兩向量不共線, 量2x1 y2 z312011 0,1x3yz20即.3211x0 x: x,(1x) 1: x,nnx0 ax20時(shí) ,當(dāng)1111 ) 1: x1 x: x ,22223322131ax2ax ) 1223limlim a.1cosx13x0 x0 x2223321x0 ) 1cosx 1a 1 a,2與是等價(jià)無窮

6、小,故.3 1 2 0 02 50 01 23 3 0 0.1 1 0 0 3 3,可用伴隨,也可用分塊求逆.,若知道分塊求逆法,則可以簡單解答.A 01 0 A1.A100 B10 B,0 B B 0A011a bAA 2 , c da b d bA .*c d c a A 0,a b1 d b d b11c aA . c a c dA 01A100 B,0 B1 1 2 0 02 50 01 23 3A 1.0 01 1 0 03 3二、選擇題( 5 個(gè)小題 3 分 分.)【答案】x 0 x 0,1ex21ex2e 1x2y 0為鉛直漸近線,x,e 1x2x0 x0 x01ex21ex2e

7、 1x2 y 1, 1為水平漸近線.ye 1x2xxxy f(x)x xlim f(x) x x,則00 x0lim f(x)a,(為常數(shù)） y a為函數(shù)的水平漸近線.,則x【答案】tu ,則tu,2,2 t 2fu) 2,f(x)2xf 2 x200df(x f (x) 2f(x)2 x ,得, ,即.f(x)f (x) Ce2x,C 是常數(shù).f 2fu) 2 20f (x) Ce f (0) Ce ln2,得,得2x00C ln2e ln2.f (x),即2x【答案】( a a a a a L aa L2nn1n12342n1n1(a a )(a a )L (a a )L12342n12n

8、 (a a ) a a收斂級(jí)數(shù)的結(jié)合律與線性性質(zhì)),2n12n2n12nn1n1n1 a a ( a 523而n 1.2n2n1nn1n1n1a (a a )(a a )L (aa )L2nn12342n1n1 (a a ) a a 5 3 8,2n12n2n12nn1n1n1【答案】DD ,D ,D ,D., 1234x,24I令D, cosxsin ydxdy2D xy對(duì) ,xydxdy0,xydxdy0.D DD D1234xsin y xy而對(duì) ,對(duì) 是奇函數(shù),cosxsin ydxdy 0,cosxsin ydxdy 2 cosxsin ydxdy,D DD DD34121(xyco

9、sxsin y)dxdy I I 2 cosxsin ydxdy,12DD1【答案】【解析】矩陣的乘法公式?jīng)]有交換律,只有一些特殊情況可以交換.A BABC E 、 、 ,且 ,對(duì)等式兩邊取行列式,CnA 0 B 0 C 0 A| A|B|C1,B C ABC E,知 、 、 ,那么, ,先、1 A 有 E A E,1ABC EC E C E C ,有 .,11三、( 分 5 分.)1 型未定式求極限. x 1 x) x x1xxx0 x0cos x 1t x0 t 0時(shí)令,則 ,11 x x1 lim(1t) e,tx0t0 x x 1 x x x1 ee0.xxxx0 x0 x0 sinx

10、 : x,2xx2 sin2(cos x1)22lim lim lim,xxx2x0 x0 x0 x x) ex0e故.xx2x0ru u u, ,x y zn 的方向余弦,u uuyuz .n x2x 3y z 6P(1,1,1)222 2 2,3,1, 4x,6y,2z 4x,6y,2zP(1,1,1)P(1,1,1),rn1 1 . 2 3 122u6 xz 6x 8yz 6x 8y142222PPPP u8又,y8y2z 6x 8y14z 6x2222uz6x 8y6x 8y222 14z2z2PPu uuu n xyz62831 7. y2 2z, y 2z.x2繞z 20 x12(

11、x y )z 4 .z, 2222,令 x, ,I (x y z)22 4dz2d2z (r z)rdr2000r 2zr r z244420r03.z 240四、( 6 分) asin x, (x0, ) dy acosxdx, y,則I y )x y)3L (asinx) (2xasinx)acosxdx30a21a sin x2axcosx sin2x dx3320a 2 a 2a x2332000a 2 a xdx2a x22x3240001 a2 acos xcosx 2a xsinxcosx cos2x33340004 a 4a.334 a 4aI 0,得a I aa0 ,33 I

12、 4a2 4 0. I 0,0 a 1 a1,且.0,1 a I43a1 的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn).Ia 4a,(a 3故y sin x, (x0, ).五、( 8 分.)【解析】按傅式級(jí)數(shù)公式, f(x) 與 .因 為偶函數(shù),abnf(x)n1lf(xf(xL 0 (n )bn,lll1l2ll laf(xllnl021x n 41n 2 n x10n00n 2 1(n1,2,3,L ),n n20a 2 (2x)dx501.0(x) 2| x|(1x1)上滿足狄利克雷收斂定理的條件, fla02f (x) 2| x a cosnxb sinxl nn12(cosn 1)5cosn x n2

13、22n15 4 1cos(2n1) x (1 x1).2(2n22n1125 41n11x0 f (0) 20 cos0令,有,.2(2n282 (2n2n1 11111又,(2n1) (2n) (2n1) 4 nn22222n1n1n1n14 n231122,即.8n26n1n1六、( 7 分.)【解析】由定積分中值定理可知,2( 3 1 f(x)dx2 ,32 1f (x)dx f( )(1 )f( )1 3 3,233 f(x)dx f( ) f(0)1 即.23c 1)f(c)0.,(0,1)c(0七、( 8 分),23 x x ,x x112344x x x x 11234x x 2

14、x 12334.2x 3x (a2)x 4x b312343x 5x x (a8)x 51234對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換: 2312、 、,有MMMMMM1 111241 1 1 11221 0 1 12 3 a21b350 1 11 A 0 1 ab13 51a8M0 2 2 a 5 M2MM1 1 11210 1 11,M 0 0 a1 0b0 0 0 a1 0Ma 1,b0 r()1 r()x ,x ,x ,x,當(dāng)時(shí),.123423 、 、 、, x x x x1123441234 b ab1 bTa1 r(A) r(A) 4.,0當(dāng), ,1 a1 a1 aab1bb 0.故 ,且

15、a1a1a11234A mn是Axb設(shè), A br(A) r(A) , ,L ,bA,(, , ,L , ,b是等價(jià)向量組).12n , ,L ,與12n12nA mn設(shè) 是Axb,則, r(A) r(A) . r(A) r(A) . r(A)1 r(A). b A, ,L ,.12n八、( 6 分)A nQ ：因?yàn)?為 , ,使12Q AQQ AQ T1,ON0(i 1,2,L n)A, 是 .iiQ (AE)Q Q AQQ Q ETTT| AE|Q | AE|Q|Q (AEQ|E ( TT,i|AE1. nA n ：設(shè) 的 , ,L , .A n 為 , 12 A A由 為 的特征值可知,

16、 使, , AE 11 AE是AE . 得. 1, ( 11 | A E|, L , 1.A,知.2niiA nn 是 , A X A, 的特征值, 的特征向量.XAX X九、( 8 分) y(x)P(x,y) y1Y y (X x)y 0當(dāng)),y yy,0)x Q(x,1|PQ (yy) y y(1 y )222.2當(dāng) y 0,有Q(x,0),| PQ| y,.,y1,3212 y ) y(1 y )22 yy 1 yx 1 y1,y0.即.這是可降階的高階微分方程,2 y P1 P2 令 y P(y),則,即1P2.yy C 1P2 C即, .x1 y P yC 1 y1 P2 1 y,1

17、,0,即2dyy y2 1dx.y21ysect令, dy secttantdtln secttant Cy21tantln sect sec t1 C ln y y 1 C.22 y 1 Cx2 .yy210 ln y因曲線在上半平面,即y y 1故當(dāng) .x2x1 y 1,e y y 1exC當(dāng) 前取, , ,x 112y y 1112y y 1x；2ex1(y y y y y y 1222 C e y y 1ex當(dāng) , ,x 12112y y 1ex1；2x(y y y y y y 12221y (ee) .(x (x 2十、填空題( 6 分 3 分.),若計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率, 數(shù) 和 ,再計(jì)算有關(guān)事件的概率,2, ,2222( )0.8(x)P(x( ) ( ), ,與22( )( ),.X 2:N(0,1),X: N(2, )2 ,由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)概率的計(jì)算公式,有4222P(2 x4)()(),2( ) P(2 x4)(0)0.8.0222P(x0)()( )1( )0.2. A x ,4這是一個(gè)幾何型概率的計(jì)算問題.y12SP()S a2 ,而D