國開《復(fù)變函數(shù)》形考任務(wù)(1-8)試題及答案形成性考核00421

1、國開形成性考核復(fù)變函數(shù)形考任務(wù)(1-8)試題及答案 ID：00421，整套相同，如遇順序不同，Ctrl+F 形考任務(wù) 1一、單項選擇題題目：1、若z =（a，b），z =（c，d），則 z z =。121 2【A】：（ac+bd，a）【B】：（ac-bd，b）【C】：（ac-bd，bd+ad）【D】：（ac+bd，bd-ad）題目：2、若R0，則N（，R）=z：（D）【A】：丨 Z丨R【B】：0丨 Z 【C】：RR題目：3、若z=x+iy，則 y=（D）?！続】：【B】：【C】：【D】：題目：4、若【A】：3【B】：0【C】：1【D】：2，則丨A丨=（C）。二、填空題（如果通過附件上傳答案，請

2、在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣）題目：5、若z=x+iy，w=z =u+iv，則 v=（2xy）.2題目：6、復(fù)平面上滿足 Rez=4 的點集為（z=x+iy|x=4）題目：7、（設(shè)E 為點集，若它是開集，且是連通的，則E）稱為區(qū)域。題目：8、設(shè) z0 為極限的充分必要條件是= ）且=（y ）。00中，輸入“見附件”字樣）題目：9、求復(fù)數(shù) -1-i 的實部、虛部、模與主輻角.解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1( ( 21i在第三象限1 5ary(i) arctan|1 4題目：10、寫出復(fù)數(shù) -i 的三角式.解：題目：11、寫出復(fù)數(shù)的代數(shù)式.解：題目：12、求根式的值.解：

3、四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、證明：若，則 a +b =1.22解：而題目：14、證明：解：形考任務(wù) 2一、單項選擇題題目：1、若 -y +2xyi，則=（D）。22【A】：2x【B】：2y【C】：2x+2yi【D】：2x-2y-2yi題目：2、若 f（z）=u（x，y）+iv（x，y），則柯西黎曼條件為（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：題目：3、若f（z）=z+1，則 f（z）在復(fù)平面上（D）?！続】：僅在點 z=0 解析【B】：在z=0 不解析且在z0 解析【C】：無處解析【D】：處處解析題目： 在復(fù)平面上（C）

4、。【A】：解析【B】：不連續(xù)【C】：連續(xù)【D】：可導(dǎo)二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：5、若f（z）在點a（不解析），則稱a為f（z）的奇點.題目：6、若f（z）在點z=1的（領(lǐng)域可導(dǎo)），則f（z）在點z=1題目：7、若f（z）=z2+2z+1，則f(z)=（2z+2）.題目：8、若，則f(1)=（不存在）.三、計算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框 。解：=題目：10、設(shè)f（z）=excos y + iexsin f(z)。解：f(z)=ecosy+iesiny=e,z=x+iyxxzu=ecosy v=esinyxxf(z

5、)=u+ivf(z)在復(fù)平面解析，且f(z)=ecosy+iesinyxx題目：11、設(shè) f（z）=u+iv 在區(qū)域 G 內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足 u=x3-3xy2，f（i）=0，試求 解：解：依C-R條件有Vy=ux=3x-3y22則V（x1y）=3x2y-y3+c(c為常數(shù))故f(z)=x -3xy+i(3x y-y+c)=x -3xy+i(cx y-y)+ic32233223=z+ic，為使f(i)=0, 當(dāng)x=0,y=1時，3f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0c=1f(z)=Z+i3題目：12、設(shè) 在區(qū)域G 內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足f（2）=-i，試求 f（z）。解：依C-R條件有V

6、y=ux=2yV=2ydy=y2+(x)Vx=(x)=-uy=-2x+z(x)=(-2x+2)dx=-x+2x+c2V=y-x +2x+c(c為常數(shù))22f(z)=2(x-1)y+i(y-x +2x+c)22為使f(z)=-i,當(dāng)x=2 y=0時,f(2)=ci=-ic=-1f(z)=2(x-1)y+i(y-x +2x-1)22=-(z-1) i2四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、試在復(fù)平面討論解：令f(z)=u+iv z=x+iy則iz=i(x+iy)=-y+ixu=-y的解析性。v=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0

7、ux、uy、vx在復(fù)平面內(nèi)處處連接又Ux=VyUy=-Vx。f(z)=iz在復(fù)平面解析。題目： G f(z)=0，zG，則 f（z）在G 內(nèi)為常數(shù)。解：證：設(shè)f(z)=u+iv,z=x+iy,zGf(z)在G內(nèi)解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又 （z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U為實常數(shù)C1，V也為實常數(shù)C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G內(nèi)為常數(shù)。形考任務(wù)3一、單項選擇題題目：1、z=是根式函數(shù)【A】：i的支點。【B】：1【C】：0【D】：題目：2、z=（A）是函數(shù)【A】：0的支點【B】：i【C】：2i【D】：-1題目：3、e=。i【A

8、】：sin1【B】：cos1+ i sin1【C】：e +e【D】：cos1題目：4、sin1=（D）。【A】：【B】：【C】：【D】：二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：5、cosi=（）。題目：6、 =（e(cos1+isin1)）。題目：7、lni=（ ）。題目：8、Ln(1+i)=（k為整數(shù)）。三、計算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：9、設(shè)z=x+iy，計算解：題目：10、設(shè)z=x+iy，計算解：題目：11、求方程2 Inz = i的解。解： lnz =i/2 由對數(shù)函數(shù)的定義有: 所給方

9、程的解為z = i題目：12、求方程的解。解：=根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義有:z=n2+i 或z=n(1+ )四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、試證：sin 2z = 2 sin zcos 解：證明：根據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有：Sin2z=2sinzcosz= sin2z=2sinzcosz題目：14、證明：解：證明: 令 A= 1+cosx+cos2x+cosnxB=sinx+sin2x+sinnx=形考任務(wù) 4一、單項選擇題題目：1、【A】：1【B】：2i【C】：0=（D），c為起點在0，終點在1+i 的直線段?！綝】：2（1+

10、i）題目：2、【A】：10 i【B】：0=（A）。【C】：10i【D】：i題目：3、=（A）?！続】：0【B】：【C】：-1【D】：i題目：4、=（B）?！続】：2i【B】：【C】：4i【D】：-2i二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目： c（ f(z)dz+0 g(z)dz）。0題目：6、=（7）。題目： L為曲線c c c上滿足丨丨M，則（ML）。題目：8、=（）。三、計算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：9、將函數(shù)在點 z=0 展成冪級數(shù)解：題目：10、將函數(shù)在點z=1 展成冪級數(shù)解：題目：11

11、、將函數(shù)在點z=0 展成冪級數(shù)在點z=1展成冪級數(shù)解：題目：12、將函數(shù)解：四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、證明：解：令，則一級極點。在上半平面的奇點只有一個z=ai，且ai為 等式左邊=等式得證。=0=等式右邊題目：14、證明：解：形考任務(wù) 5一、單項選擇題題目：1、冪級數(shù)【A】：3的收斂半徑等于?！綛】：0【C】：1【D】：2題目：2、點z=-1是f（z）= 5z2 +10z +5（B）級零點?！続】：5【B】：2【C】：3【D】：1題目：3、級數(shù)的收斂圓為（B）?！続】：丨z丨1 錯【B】：丨z-1丨1【C】：丨z丨3

12、【D】：丨 z-1丨3題目：4、設(shè) f（z）在點 a 解析，點 b 是 f(z)的奇點中離點 a 最近的奇點，于是，使成立的收斂圓的半徑等于（B）?！続】：b-a+1【B】：丨a-b 丨【C】：丨a+b丨【D】：a+b+1二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：5、級數(shù)的收斂圓為（R=+,即整個復(fù)平面）。題目：6、若 為常數(shù)），則f（z）的（1）級零點。題目：7、冪級數(shù)的收斂半徑等于。題目：8、z=0是 f（z）=ez-1（1）級零點。三、計算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：9、將函數(shù)在點 z=0展成

13、冪級數(shù)解：f(z)=題目：10、將函數(shù)在點z=0 展成冪級數(shù)解：=題目：11、將函數(shù)在點z=1 展成冪級數(shù)解：f(z)=(z+2) =題目：12、將函數(shù)解：在點z=1展成冪級數(shù)f(z)=e f =ezz=四、證明題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、證明：解：證：e =cosz+isinzize =cos-isinz-ize -e =2isinziz-iz-2isinz=-( e -e ) = e -eiz-iziz-iz-2isinz e =( e - e ) eiz-iziziz=e- e =1- e0題目：14、試用解析函數(shù)的唯一性

14、定理證明等式：cos2z = cos2z - sin2z解：證f(z)=cos2z,則f1(z)復(fù)平面G解析1設(shè)f(z)coszsin ，則f(z)也在整個復(fù)平面G解析222取E=K為實數(shù)軸,則E在G內(nèi)有聚點.當(dāng)E為實數(shù)時,知cos2z=cosz-sin z,即f(z)= f(z)2212由解析函數(shù)唯一性定理,由以上三條知f(z)= f(z) ZG成立ZG12即cos2z= cosz-sinz22形考任務(wù)6一、單項選擇題1、函數(shù)在點 z=2 內(nèi)可展成羅朗級數(shù)?！続】：0丨z-2丨1【B】：0丨z-1【C】：0丨z丨3【D】：1丨z-1丨3題目： a為的（B）。點a為【A】：解析點【B】：可去奇

15、點【C】：極點【D】：本性奇點3、若點a為函數(shù)f（z）的孤立奇點，則點a 為 f（z）的極點的充分必要條件是（D）?！続】：【B】：【C】：【D】：4、若點a為函數(shù)f（z）的孤立奇點，則點a 為 f（z）的本性奇點的充分必要條件是（C）?！続】：【B】：【C】：【D】：二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：為函數(shù) a（）為該級數(shù)的主要部分。題目： 6、設(shè)點 a 為函數(shù) f（z）的奇點，若 f（z）在點 a 的某個（某個去心鄰域內(nèi)解析） a 為f（z）的孤立奇點題目：7、若題目：8、若，則點z=0 為 （0）級極點。，則點z=0 為 （非孤立）奇點。三、計

16、算題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：9、將函數(shù)f（z）=（z-2）-1在點z=0的去心鄰域展成羅朗級數(shù)。解：f(z)=題目：10、將函數(shù)在點z=1的去心鄰域展成羅朗級數(shù)。解：f(z)=題目：11、試求函數(shù)f（z）=z z 的有限奇點，并判定奇點的類別。3解：解析,無奇點,f(z)的有限奇點為z=0.并且為3階極點.題目：12、試求函數(shù) f（z）=z(1-z2)-1 的有限奇點，并判定奇點的類別。解：f(z)的 m 階奇點即的階零點,而零點為z=0，z=1，z=-1，且均為1階零點。的有限奇點為z=0，z=1,z=-1且均為1階極點.四、證明

17、題(要求寫出解題過程，如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目：13、設(shè)，試證z=0為f（z）的本性奇點。解：題目：14、設(shè)，試證 z=0 為 f（z）的6 級極點。解：證:要證 z=0 為 f(z)的 6 級極點,只需證 z=0 為即可.的 6 階零點而=8z3=8z6令1（ ）則0 0z 0 為 f(z)的 6 階零點z=0 為 f(z)的 6 級極點.形考任務(wù) 7一、單選題題目：1、若【A】：0 x【B】：3，則Res（f，1）=?！綜】：2【D】：1題目：2、若【A】：-1x【B】：i，則=（C）【C】：0【D】：4題目：3、若【A】：ix【B】：-i【C】：0，則=（C）?！綝】：1/4題目：4、若點a為f（z）的可去奇點，則Res（f，a）=（D）?！続】：-1/2x【B】：i【C】：1/2【D】：0二、填空題(如果通過附件上傳答案，請在答題輸入框中，輸入“見附件”字樣)題目： a為 （。題目：6、若點a為f（z）的可去奇點，則Res（f，a）=（0）。題目：7、若f（z）=5z + 6z + 16z + 2，則f（z）在