電路的暫態(tài)分析

1、第四章 電路的暫態(tài)分析第一節(jié)暫態(tài)過(guò)程及換路定則本節(jié)重點(diǎn):換路定則本節(jié)難點(diǎn):暫態(tài)過(guò)程及換路定則復(fù)習(xí)導(dǎo)入:三相負(fù)載聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)講授新課:一、電路的暫態(tài)過(guò)程.暫態(tài)過(guò)程電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種穩(wěn)定狀態(tài)往往不是瞬間完成的，而是需要 一個(gè)過(guò)渡的過(guò)程，電路的這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程，亦稱(chēng)暫態(tài)過(guò)程。.產(chǎn)生暫態(tài)過(guò)程的條件(1)電路有換路存在。電路的接通、斷開(kāi)、短路、電源或電路參數(shù)的改變等所有電路狀態(tài)的改變，統(tǒng) 稱(chēng)為換路。(2)電路中存在儲(chǔ)能元件(電感L或電容C)。產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的電路一定滿(mǎn)足上述條件。 但并不是上述條件存在，就一定會(huì)產(chǎn) 生過(guò)渡過(guò)程。若換路前后的兩穩(wěn)定狀態(tài)相同，就不會(huì)有過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生。二、換路定則電容

2、上的電壓和電感中的電流在任何時(shí)候都不能突變，是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。 在換路前后的瞬間，電容上的電壓和電感中的電流應(yīng)分別相等，不產(chǎn)生突變。這就是換路定則。設(shè)t 0時(shí)換路，t 0表示換路前的瞬間，t 0表示換路后的瞬間，換路定則可表示為Uc(0 ) Uc(0 )iL (0 ) iL(0 )利用換路定則可確定換路后的瞬間，電路中電壓電流的數(shù)值。三、初始電壓、電流的確定t 0時(shí)，電路中的各電壓、電流值稱(chēng)為暫態(tài)過(guò)程的初始值。確定初始值是暫態(tài)分析中首先要解決的問(wèn)題。步驟如下：求出換路前的瞬間電路(C視為開(kāi)路，L視為短路)中電容上的電壓和電感上的電流的數(shù)值，即Uc(0 )和h(。)；根據(jù)換路定則，確定電容上初始

3、電壓和電感上初始電流；Uc(0 ) Uc(0 )iL (0 ) iL(0 )畫(huà)出t =0 +時(shí)刻的等效電路。即將電容元件作為恒壓源處理，數(shù)值和方向由Uc(0 )確定；將電感元件作為恒流源處理，其數(shù)值和方向由iL(0)確定。利用該等效電路求 出其它各量的初始值。四、RC電路的暫態(tài)過(guò)程分析電路的暫態(tài)過(guò)程就是根據(jù)激勵(lì)(電壓源電壓或電流源電流)，求電路的響應(yīng)(電壓和電流值)。暫態(tài)過(guò)程最基本的分析方法是經(jīng)典法。即根據(jù)電路的基本定 律列出以時(shí)間為自變量的微分方程，然后，利用已知的初始條件求解。如果電路 的過(guò)渡過(guò)程可以用一階微分方程來(lái)描述的，稱(chēng)為一階電路；需用二階微分方程來(lái) 描述的，稱(chēng)為二階電路。所謂零輸入

4、響應(yīng)是指換路后的電路中無(wú)激勵(lì)，即輸入信號(hào)為零時(shí)，僅由儲(chǔ)能元件所儲(chǔ)存的能量產(chǎn)生的響應(yīng)，換路前，開(kāi)關(guān)S合在2上，電容元件已充電。電路處于穩(wěn)態(tài)。t 0時(shí)將開(kāi)關(guān)由 2合到1,產(chǎn)生換路。于是，電容元件開(kāi)始放電。零輸入響應(yīng)是電容放電過(guò)程中電 路的響應(yīng)。首先求得電容上電壓的初始值Uc (0 ) Uc(0 ) U歹U KVL方程iR Uc 0因?yàn)閕 ici icC dt代入上式并整理，得Uc0duUc0RC dt這是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程，從數(shù)學(xué)分析可知，該方程的通解為一 .PtUc (t) AeRCP 1 0其根為P RCt于是Uc (t) Ae RC代入初始條件，即uC(0 ) U 得 A U該微

5、分方程的解為tUc (t) Ue 部上式說(shuō)明，電容上的電壓隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化。 即電容上的電壓Uc由初始值U按指數(shù)規(guī)律變化到新的穩(wěn)態(tài)值00變化的速度取決于RC式中RC將 定義為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)電阻的單位用Q,電容的單位用F時(shí)， 的單位是秒(S)。的大小決定了過(guò)渡過(guò)程的快慢，即暫態(tài)過(guò)程的長(zhǎng)短。越大，變化的速度越慢，暫態(tài)過(guò)程越長(zhǎng)；越小，變化的速度越快，暫態(tài)過(guò)程越短。當(dāng)電壓一定時(shí)，C越大，儲(chǔ)存的電荷越多，R越大，放電電流越小，這都促使放電變慢。所以，改變 R或C的數(shù)值，都可以改變時(shí)間常數(shù)的大小，即改變電容放電的速度。當(dāng)經(jīng)過(guò)了一個(gè) 時(shí)，uc下降了變化總量的63.2%，即t 時(shí)，Uc( ) Ue 1 0.

6、368U。 可見(jiàn)，時(shí)間常數(shù) 等于電容上的電壓衰減到初始值的 36.8%寸所需的時(shí)間。理論上，當(dāng)t趨近于oo時(shí)，電路才達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，而實(shí) 際上，經(jīng)過(guò)5 (e 5 0.007)后，就可以認(rèn)為過(guò)渡過(guò)程結(jié)束，電路已達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)了。電路中電阻上電壓和電容上電流的變化規(guī)律0Ur UcUr UcicUrtUe RCtU Rc一e R五、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)即初始電壓為零，t 即初始電壓為零，t 0時(shí)，開(kāi)關(guān)閉合由電源激換路前開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)，電容元件未充電。電路處于穩(wěn)態(tài)。t 0時(shí)將開(kāi)關(guān)閉合，發(fā) 生換路。于是，電容元件開(kāi)始充電。RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)是電容由初始無(wú)儲(chǔ)能開(kāi) 始的充電過(guò)程中電路的響應(yīng)。因換路前電容未

7、儲(chǔ)能，所以電容上電壓的初始值Uc Uc (0 )Uc(0 ) 0歹U KVL方程iR uc因?yàn)閕 ic Ci ic Cducdt代入上式整理，得duc RCduc RCCdtuc U這是一個(gè)一階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程，它的通解是由特解Uc和補(bǔ)函數(shù)Uc兩部分構(gòu)成的。即Uc Uc Uc特解與輸入U(xiǎn)有相同的形式，即Uc UUc也就是t的穩(wěn)態(tài)值。補(bǔ)函數(shù)是對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解。tUc Ae 前通解為tuc U Ae 其中，A是積分常數(shù)。代入初始條件Uc(0 ) 0得A U將A代入，可得該微分方程的解為ttUc(t) U Ue 芯 U(1 e 前)由此可得，電容上的電壓仍隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化。變化的

8、起點(diǎn)是初始值0,變化的終點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)值U,變化的速度仍取決于時(shí)間常數(shù) RC暫態(tài)過(guò)程中電容元件的電壓包含兩個(gè)分量：一是U,即到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)的電壓，稱(chēng)t為穩(wěn)態(tài)分量；二是僅存于暫態(tài)過(guò)程中的Ue部，稱(chēng)為暫態(tài)分量。其存在時(shí)間的長(zhǎng)短取決于時(shí)間常數(shù) 。經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間常數(shù)(=RQ后，電容上的電壓充到了 63.2%U, 變化了待變化總量的63.2%根據(jù)電容元件上電壓、電流的關(guān)系和電路的基本定律，可求得電路中電容元件 的電流和電阻元件兩端的電壓為t rc ur U uc Uet.ur U rc i e R R由RC電路的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的分析可見(jiàn)，當(dāng)電路發(fā)生過(guò)渡過(guò)程時(shí)，不僅 電容上的電壓有過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生，電容中的電流及電阻

9、上的電壓等也都存在過(guò)渡過(guò) 程。并且具有相同的時(shí)間常數(shù)和變化規(guī)律。這說(shuō)明，電路中各電量的過(guò)渡過(guò)程同 時(shí)發(fā)生，也同時(shí)結(jié)束。六、RC電路的全響應(yīng)所謂全響應(yīng)是指電源激勵(lì)和電容元件的初始電壓均不為零時(shí)的響應(yīng)。對(duì)應(yīng)著電容從一種儲(chǔ)能狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一種儲(chǔ)能狀態(tài)的過(guò)程。電容上電壓的初始值為Uc(0 ) Uc(0 ) U0換路后的微分方程同零狀態(tài)響應(yīng)，即ducRC Uc U dt代入初始條件，得tttUc U (U0 U)e RC Uoe RC U (1 e 前) 穩(wěn)態(tài)暫態(tài)零輸入零狀態(tài)分量分量響應(yīng)響應(yīng)結(jié)果為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。電容上的電壓仍隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化，變化的起點(diǎn)是初始值U。，變化的終點(diǎn)是穩(wěn)態(tài)值U,變

10、化速度仍取決于時(shí)間常數(shù)RC以上所分析的電路都是只含一個(gè)電源、一個(gè)電容的簡(jiǎn)單電路。分析復(fù)雜的rc電路的暫態(tài)過(guò)程時(shí)，可應(yīng)用戴維南定理將除電容c外的部分電路等效為一個(gè)電壓源，再用經(jīng)典法進(jìn)行分析。第二節(jié)一階線(xiàn)性電路暫態(tài)分析的三要素本節(jié)重點(diǎn):三要素法本節(jié)難點(diǎn):一階線(xiàn)性電路暫態(tài)分析的三要素法復(fù)習(xí)導(dǎo)入:電機(jī)、電磁鐵、電磁繼電器等電磁元器件都可等效為 RL的串聯(lián)電路。 因L是儲(chǔ)能元件，所以，上述電磁元件在換路時(shí)也可能會(huì)產(chǎn)生暫態(tài)過(guò)程。講授新課:一、RL電路的零輸入響應(yīng)在圖所示的RL電路中，換路前開(kāi)關(guān)合在1端，電路 已處于穩(wěn)態(tài)。t 0時(shí)將開(kāi)關(guān)由1合到2,產(chǎn)生換路。換路后，電路的外部激勵(lì)為零，在電感的內(nèi)部?jī)?chǔ)能的作用

11、下, 電路產(chǎn)生零輸入響應(yīng)。首先求得電感中電流的初始值iL (0) Ur I0然后，列換路后電路的KVL方程Ri lLRi lLW 0此方程與RC電路的零輸入響應(yīng)的微分方程形式相同，可求得Rti L Ae =代入初始條件，即iL代入初始條件，即iL（0 ） I0,則A I0所以，該微分方程的解為R_ti l I e L由此可得，電感上電流的衰減規(guī)律與電容上電壓的衰減規(guī)律是相同的。 都是隨 時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化由初始值I。按指數(shù)規(guī)律變化到新的穩(wěn)態(tài)值00變化的速度取決 于時(shí)間常數(shù)。RL電路的時(shí)間常數(shù)LR當(dāng)電阻的單位用歐姆(Q),電感的單位用亨利(H)時(shí)， 的單位是秒(S)。的大小決定了過(guò)渡過(guò)程的快慢，

12、即暫態(tài)過(guò)程的長(zhǎng)短。越大，的大小決定了過(guò)渡過(guò)程的快慢，即暫態(tài)過(guò)程的長(zhǎng)短。越大，iL和Ul衰減得越慢，暫態(tài)過(guò)程越長(zhǎng)。當(dāng)經(jīng)過(guò)了一個(gè) 時(shí)，iL下降了變化總量的63.2%,即iL ( ) 0.368Io理論上，當(dāng)t趨近于8時(shí)，電路才達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，而實(shí)際上，經(jīng)過(guò) 5后, 就可以認(rèn)為過(guò)渡過(guò)程結(jié)束，電路已達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)了。同樣可求得電感電壓的變化規(guī)律。UlRtUlRI oe Li 0.446A二、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)而電路如圖所示。換路前，電感未儲(chǔ)能。所以 初始值而iL(0 ) iL(0 ) 0換路后，歹KVL方程，得d i lRi lRi l該微分方程的通解有兩部分：特解i和補(bǔ)函數(shù)io特解iL就是穩(wěn)態(tài)

13、分量，顯然該微分方程的通解有兩部分：特解i和補(bǔ)函數(shù)io特解iL就是穩(wěn)態(tài)分量，顯然補(bǔ)函數(shù)iR-tAeL是相應(yīng)齊次微分方程的解。通解為iL（t） iLR.Uti l Ae LR代入初始條件，計(jì)算積分常數(shù)A得因此iLrti l也是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加而成。其變化的速度仍取決于時(shí)間常數(shù)R。變化曲線(xiàn)如圖所示。電路中代入初始條件，計(jì)算積分常數(shù)A得因此iLrti l也是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加而成。其變化的速度仍取決于時(shí)間常數(shù)R。變化曲線(xiàn)如圖所示。電路中t 0時(shí)，電感元件和電阻元件兩端的電壓為tUr Ri U （1 e ）Ld dtUeRL電路的全響應(yīng)在圖示的電路中，電源電壓為 U,開(kāi)關(guān)閉合時(shí)為串聯(lián)電路

14、。換路前，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感上電流的初始值為iL（0 ） iL（0 ） U IoRi R2換路后的微分方程同零狀態(tài)響應(yīng)L iLR2其通解也與零狀態(tài)同,tiL （t） Ae二。但因初始條件不同，iL（0 ） I0積分常R2數(shù)A也不同。A I0UR2t所以 iL(t)R?(10/ 一 顯然，結(jié)果為零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。與RC電路一樣，若分析復(fù)雜一些的RL電路的暫態(tài)過(guò)程時(shí)，可應(yīng)用戴維南定理 將除電感L外的部分電路等效為一個(gè)含有內(nèi)阻的電壓源，再用經(jīng)典法進(jìn)行分析。四、一階線(xiàn)性電路暫態(tài)分析的三要素法只含一個(gè)儲(chǔ)能元件或可等效為只含一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路，當(dāng)電路中元件參數(shù)為 常數(shù)時(shí)，列出的微分方程是一階常系

15、數(shù)線(xiàn)性微分方程，這種電路稱(chēng)為一階線(xiàn)性電 路。它包含RC電路和RL電路。對(duì)一階線(xiàn)性電路而言，只要電路中電壓或電流的初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù)確 定了，電路的暫態(tài)響應(yīng)也就確定了。暫態(tài)過(guò)程中電壓和電流都是按指數(shù)規(guī)律變化 的，在它的初始值、穩(wěn)態(tài)值及時(shí)間常數(shù)這三個(gè)要素確定后，我們就能立即寫(xiě)出相 應(yīng)的解析表達(dá)式。一階線(xiàn)性電路的響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)分量(包括零值)和暫態(tài)分量?jī)刹糠值寞B加。如寫(xiě) 成一般表達(dá)式，則為tf (t) f (t) f (t) f( ) Ae -t式中，f(t)是電流或電壓，f()是穩(wěn)態(tài)分量，Ae是暫態(tài)分量。若初始值為f(0 ),則得A f(0 ) f(),于是，可寫(xiě)出分析一階線(xiàn)性電路暫態(tài)過(guò)程中任意變量的一般公式為tf (t) f( ) f(0 ) f( )e 利用f(0 )、f()和 這三個(gè)要素求解一階電路的暫態(tài)響應(yīng)的方法就叫做暫態(tài)分析的三要素法。求解步驟如下： 計(jì)算初始值f(0 ) O f(0)是t 0時(shí)的電壓、電流值。是暫態(tài)過(guò)程變化的起始值。計(jì)算方法同4.1中所述。 計(jì)算穩(wěn)態(tài)值f( ) o f()是t時(shí)，電路處于新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的電壓、電流值。是暫態(tài)過(guò)程變化的終了值。計(jì)算方法為：畫(huà)出換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的等效電路 (電容元件視為開(kāi)路，電感元件視為短路)，計(jì)算各電壓、電流值。該值即為所求量的穩(wěn)態(tài)值f()。計(jì)算時(shí)間常數(shù)。對(duì)RC電路而言RC式中，心是