福建省泉州市安溪一中2023學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)_第1頁(yè)
福建省泉州市安溪一中2023學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)_第2頁(yè)
福建省泉州市安溪一中2023學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)_第3頁(yè)
福建省泉州市安溪一中2023學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)_第4頁(yè)
福建省泉州市安溪一中2023學(xué)年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)_第5頁(yè)
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1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng):1答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并

2、交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的值為( )A0B1CD2已知向量,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C周期為D在上是增函數(shù)3己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn),其中,則( )AB0C1D4在很多地鐵的車(chē)廂里,頂部的扶手是一根漂亮的彎管,如下圖所示將彎管形狀近似地看成是圓弧,已知彎管向外的最大突出(圖中)有,跨接了6個(gè)坐位的寬度(),每個(gè)座位寬度為,估計(jì)彎管的長(zhǎng)度,下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是( )ABCD5要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象(

3、)A向右平移個(gè)單位B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向左平移個(gè)單位6設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則( )ABCD7若,則的虛部是A3BCD8在中,為的外心,若,則( )ABCD9已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為( )ABCD10在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,當(dāng)變化時(shí),若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為ABCD11設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為( )A1BCD12已知函數(shù),若成立,則的最小值為( )A0B4CD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)143張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)

4、、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是_15設(shè)、分別為橢圓:的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)作斜率為1的直線,交于、兩點(diǎn),則_16已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為_(kāi).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17(12分)如圖,正方形所在平面外一點(diǎn)滿足,其中分別是與的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.18(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于

5、點(diǎn)、試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由19(12分)已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列(1)若數(shù)列是常數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),求證:對(duì)任意的恒成立20(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示. 據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求

6、精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?21(12分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,是的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點(diǎn),得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,分別為,的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.22(10分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,平面,是線段上靠近的三

7、等分點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【題目詳解】輸入,因?yàn)椋杂沙绦蚩驁D知,輸出的值為.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、D【答案解析】當(dāng)時(shí),f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);當(dāng)時(shí), ,f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);f(x)得周期,當(dāng)時(shí), ,f(x)在上是增函數(shù)本題選擇D選項(xiàng).3、A【答案解析】先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為,結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及

8、其范圍,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義,即可求得的值.【題目詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于,因?yàn)椋?,所?故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值,屬于難題.4、B【答案解析】為彎管,為6個(gè)座位的寬度,利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為,從而可得弧所對(duì)的圓心角,再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【題目詳解】如圖所示,為彎管,為6個(gè)座位的寬度,則設(shè)弧所在圓的半徑為,則解得可以近似地認(rèn)為,即于是,長(zhǎng)所以是最接近的,其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小,不可能,因此只能選B,260或者由,所以弧長(zhǎng).故選:B【答案點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式,需熟記公

9、式,考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【答案解析】直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【題目詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題6、B【答案解析】,故選B點(diǎn)睛:本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義. 求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫(huà)出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 7、B【答案解析】因?yàn)椋缘奶摬渴?故選B8、B【答案解析】首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)

10、系求出,即可求出的值.【題目詳解】如圖所示過(guò)做三角形三邊的垂線,垂足分別為,過(guò)分別做,的平行線,由題知,則外接圓半徑,因?yàn)?,所以,又因?yàn)椋?,由題可知,所以,所以.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.9、D【答案解析】先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【題目詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn),故.又,因?yàn)椋?,所?故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則有,我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題,本題屬于

11、基礎(chǔ)題.10、C【答案解析】因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理可得,所以,所以,其中,因?yàn)榇嬖谧畲笾?,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正?shù)的取值范圍為,故選C11、B【答案解析】設(shè),通過(guò),再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【題目詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),利用向量共線及向量運(yùn)算知識(shí),用基底向量向量來(lái)表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來(lái)解決問(wèn)題.12、A【答案解析】令,進(jìn)而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.【題目詳解】(),令:,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)

12、最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來(lái)表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí),對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為: ,令,所以,所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是,能通過(guò)展開(kāi)式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.14、【答案解析】利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【題目詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽

13、取兩張共有: 種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是: 故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.15、【答案解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出焦點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求出弦長(zhǎng),利用定義可得,進(jìn)而求出。【題目詳解】由知,焦點(diǎn),所以直線:,代入得,即,設(shè), ,故 由定義有,所以?!敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求法,注意直線過(guò)焦點(diǎn),位置特殊,采取合適的弦長(zhǎng)公式,簡(jiǎn)化運(yùn)算。16、【答案解析】真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.

14、【題目詳解】,且(且)有最小值,的取值范圍為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【答案解析】(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計(jì)算線面角即可.【題目詳解】(1)連接,交于點(diǎn),連結(jié).則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應(yīng)用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,于是,設(shè)平面的法向量為,則,

15、即,解得于是平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為,因此.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.18、(1)(2)為定值【答案解析】(1)根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)根據(jù)題意設(shè)直線方程:,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得把和代入,得和 ,的表達(dá)式,比即可得出為定值【題目詳解】解:(1)依題意,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)為定值.因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率設(shè)直線:,由得,由,得 把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,由式,得, 把式代入式,得,即為定值【答案點(diǎn)睛】本題考查

16、橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問(wèn)題,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.19、(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.【答案解析】(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡(jiǎn)可得,代入化簡(jiǎn)即可知,再證明也成立即可.(3)由(2) 當(dāng)時(shí),代入所給的條件化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【題目詳解】解:是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時(shí),兩式作差,可得當(dāng)時(shí),滿足上式,則;證明:,當(dāng)時(shí),兩式相減得:即即又,即當(dāng)時(shí),兩式相減得:數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差

17、為的等差數(shù)列又當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,得故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列;證明:由,當(dāng)時(shí),即,即,即,當(dāng)時(shí),即故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),另外,由已知條件可得,又,因而令,則故對(duì)任意的恒成立【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用,需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng),再利用作商法證明.屬于難題.20、(1)30;(2),比較劃算.【答案解析】(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式 即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保

18、時(shí)的期望,比較大小即可.【題目詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:要使公司不虧本,則,即解得.(2)若該老人購(gòu)買(mǎi)了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為(元).若該老人沒(méi)有購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.(元).年齡為的該老人購(gòu)買(mǎi)此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【答案點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,為容易題.21、(1)證明見(jiàn)解析 (2)【答案解析】(1)先證,再證,由可得平面 ,從而推出平面 ;(2) 建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量與,坐標(biāo)代入線面角的正弦值公式即可得解.【題目詳解】(1)證明:連接,由圖1知,四邊形為菱形,且,所以是正三角形,從而.同理可證,所以平面.又,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以平面平?易知,且為的中點(diǎn),所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,且四邊形為正方形.設(shè)的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn),以,所在直線分別為,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,.設(shè)平面的法向量為,由得取.設(shè)直線與平面所成的角為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明,直線與平面所成的角,要求一定的空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.22、(1)證明見(jiàn)解析(2)【答案解析】(1)由,

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