甘肅省武威市涼州區(qū)武威第八中學(xué)2023學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說法正確的是( )A至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C對(duì)所有的解釋變量（），的

2、值一定與有誤差D若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)2已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取得最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）ABCD3給出以下四個(gè)命題：依次首尾相接的四條線段必共面；過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D34正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=（ ）A35B36C45D545甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位

3、數(shù)；甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（ ）ABCD6若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( )A或BCD或7已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；若函數(shù)在上不單調(diào)，則；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1A1B2C3D48已知，則的值等于（ ）ABCD9如圖，在三棱錐中，平面，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A0BCD110已知銳角滿足則（ ）ABCD11已知集合，則集合真子集的個(gè)數(shù)為（ ）A3B4C7D812已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則（ ）ABCD二、填

4、空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的范圍為_.14若，則_.15已知函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.16集合，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則下列說法正確的為_的值可以為2；的值可以為；的值可以為；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知a0，b0，a+b=2.（）求的最小值；（）證明：18（12分）如圖，在正三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值19（12分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，其中，.若，（），求證：

5、數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.20（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（）討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)x1時(shí)，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立.21（12分）在中，、分別是角、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.22（10分）已知點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點(diǎn)），與拋物線C的準(zhǔn)線交于M，N兩點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H過拋物線焦點(diǎn)

6、F的直線l與拋物線C交于A，B，且，求的值2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【題目詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確故選D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)

7、的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【答案解析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【題目詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解3、B【答案解析】用空間四邊形對(duì)進(jìn)行

8、判斷；根據(jù)公理2對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對(duì)進(jìn)行判斷.【題目詳解】中，空間四邊形的四條線段不共面，故錯(cuò)誤.中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故正確.中，由空間角的定義知道，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故錯(cuò)誤.中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故錯(cuò)誤.故選：B【答案點(diǎn)睛】本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識(shí)；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.4、C【答案解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)

9、列前項(xiàng)和公式能求出.【題目詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解得或（舍），故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題. 解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前 項(xiàng)和的關(guān)系.5、A【答案解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷.【題目詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故錯(cuò)誤；,則,故錯(cuò)誤,正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故正確,故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).6、C【答案解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不

10、為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)7、C【答案解析】逐一分析選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【題目詳解】為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，正確由題意知因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確由題意知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故令，解得因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確令，得根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或因?yàn)?，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基

11、本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.8、A【答案解析】由余弦公式的二倍角可得，再由誘導(dǎo)公式有，所以【題目詳解】由余弦公式的二倍角展開式有又故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題9、B【答案解析】根據(jù)題意可得平面，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，易得，所以，所以，故選B10、C【答案解析】利用代入計(jì)算即可.【題目詳解】由已知，因?yàn)殇J角，所以，即.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】解出集合，再由含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【題目詳解】解：

12、由，得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【答案點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】轉(zhuǎn)化函數(shù)，的零點(diǎn)為與，的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即得解.【題目詳解】函數(shù)，的零點(diǎn)，即為與，的交點(diǎn)，作出與，的圖象，如圖所示，可知故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，在第二象限，得，且，從而求出實(shí)數(shù)的范圍【題目詳解】解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且，故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與

13、復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，解不等式，且 是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題14、13【答案解析】由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得：設(shè)，所以，又，所以，即，由二項(xiàng)式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【題目詳解】解：設(shè)，所以，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【答案點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項(xiàng)式定理，屬于中檔題15、【答案解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都

14、存在以為三邊長的三角形,故對(duì)任意的恒成立,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時(shí),當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?所以,解得；當(dāng)時(shí),滿足條件；當(dāng)時(shí),且,所以,解得,綜上,故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.16、【答案解析】根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算：，得到，得到答案.【題目詳解】如圖所示：根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，故所在的直線的傾斜角為，故：，解得，此時(shí)，此時(shí).故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查

15、了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（）最小值為；（）見解析【答案解析】（1）根據(jù)題意構(gòu)造平均值不等式，結(jié)合均值不等式可得結(jié)果；（2）利用分析法證明，結(jié)合常用不等式和均值不等式即可證明.【題目詳解】（）則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，所以的最小值為（）要證明：，只需證：，即證明：，由，也即證明：因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以【答案點(diǎn)睛】本題考查均值不等式，分析法證明不等式，審清題意，仔細(xì)計(jì)算，屬中檔題.18、（1）證明見詳解；（2）.【答案解析】（1）取中點(diǎn)為，通過證明/，進(jìn)而

16、證明線面平行；（2）取中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，如下圖所示：在中，因?yàn)?為的中點(diǎn)，且，又為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面，即證.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面，以為原點(diǎn)，分別以，為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令則，同理得平面的一個(gè)法向量為，則，故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.19、（1）見解析（2）（3）見解析【答案解析】試題分析：（1

17、）(), 所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析：（1）證明：若，則當(dāng)(),所以，即，所以， 又由，得，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列 （2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（ ），當(dāng)時(shí)，即，得， 當(dāng)時(shí)，即，得，當(dāng)時(shí)，即，得，得 ， ，得 ， 解得代入式，得 此時(shí)()，所以，是公比為的等比數(shù)列，故 （3）證明：若，由，得，又，解得由， ，代入得，所以，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以， 因?yàn)椋?，即?shù)列是等差數(shù)列.20、（）當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞增；（）詳見解析；（）.【答案解析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)

18、算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.第（）問，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)a進(jìn)行討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（）問，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，第（）問，構(gòu)造函數(shù)=（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解a的值.試題解析：（）0，在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，0，單調(diào)遞增.（）令=，則=.當(dāng)時(shí)，0，所以，從而=0.（）由（），當(dāng)時(shí)，0.當(dāng)，時(shí)，=.故當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有.當(dāng)時(shí)，1.由（）有,而，所以此時(shí)在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí)，令=（）.當(dāng)時(shí)，=.因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)?0，所以當(dāng)時(shí)，=0，即恒成立.綜上，.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求，解方程，再通過的正負(fù)確定的單調(diào)性；要證明不等式，一般證明的最小值大于0，為此要研究函數(shù)的單調(diào)性本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學(xué)生不易想到，有一定的難度21、