探討類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、探討類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 江蘇省阜寧縣教師發(fā)展中心 數(shù)學(xué)是培養(yǎng)人的能力的一門重要學(xué)科，從小學(xué)到中學(xué)，乃至到了大學(xué)，學(xué)生都為它投入了大量的時間和經(jīng)歷。有學(xué)生是這樣評價他的數(shù)學(xué)經(jīng)歷：小學(xué)數(shù)學(xué)老師教會了我加、減、乘、除，初中數(shù)學(xué)老師教會了我乘方、開方，高中數(shù)學(xué)老師教給了我數(shù)學(xué)理念新課標(biāo)也指出：高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用。 近年來，類比推理在高考中出現(xiàn)的頻率越來越高。對于一些較為復(fù)雜或陌生的題目，利用類比推理不僅能有效檢驗學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念、定理的掌

2、握程度，還能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)多角度、多層次的探究意識和延伸性的思維意識的培養(yǎng)。著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說：在數(shù)學(xué)世界中，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納和類比。盡管數(shù)學(xué)家并沒有絕對地說類比推理非常重要，但從他將類比作為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的工具可以窺見類比在數(shù)學(xué)研究中的重要性。高中數(shù)學(xué)教材中有專門一節(jié)“類比推理”，但由于考試要求較低，這一節(jié)的內(nèi)容往往不受數(shù)學(xué)教師重視。真實的現(xiàn)狀是讀讀書這一節(jié)就算講過了，實則并未領(lǐng)悟類比推理的真諦。為了轉(zhuǎn)變這種教學(xué)現(xiàn)狀，有必要對類比推理在課程中的地位及常見類比推理的類型進(jìn)行梳理。 一、類比推理的概念及教學(xué)的意義 類比推理是指運用部分相同或相似的屬性，推出其余部分的屬性相同的認(rèn)識活動

3、。類比推理的學(xué)習(xí)可促進(jìn)學(xué)生對知識深層次理解，并將掌握的知識熟練靈活地運用到新知識的學(xué)習(xí)中。這個過程可加強學(xué)生對舊知識的印象，也可促進(jìn)對新概念的理解和掌握，有助于激發(fā)學(xué)生獨立思考尋求解決問題的興趣。除此之外，通過對類比概念的認(rèn)識，學(xué)生可以更好地認(rèn)識到數(shù)學(xué)的魅力，提高自身學(xué)習(xí)的積極性和主動性。同時，學(xué)生進(jìn)行類比推理數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)自身的思維能力，提高想象能力和推理能力，為今后他們的學(xué)習(xí)生活打下堅實的基礎(chǔ)，實現(xiàn)學(xué)生自身的發(fā)展。 演繹推理主要是驗證結(jié)論而非發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而類比推理卻有助于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。類比推理的教學(xué)目的則是提高學(xué)生預(yù)測和探究結(jié)論的能力。當(dāng)下我國學(xué)生缺乏依據(jù)已知條件預(yù)測結(jié)果的能力和依據(jù)已知

4、結(jié)果推測條件的能力。他們一般比較重視學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論，不夠重視對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)以及邏輯思維能力的培訓(xùn)，從而降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和愛好。所以通過高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，類比推理的應(yīng)用有助于提高學(xué)生的類比推理能力，有助于提高學(xué)生對知識的綜合運用能力，為國家發(fā)展提供了高素質(zhì)、高能力的人才。最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣愛好，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力水平。 二、類比推理的理論分析 人類認(rèn)知的過程中，類比推理是核心內(nèi)容，通過兩個對象之間存在的相同屬性，對其它相同屬性做出相應(yīng)推理，能夠?qū)π赂拍钣懈钊氲睦斫?，同時將大腦內(nèi)儲存的知識運用到其它環(huán)境下，從而找到解決問題的全新思路以及途徑。 1.類比推理內(nèi)容的國際比較

5、類比推理在課程中的內(nèi)容主要體現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)的敘述上，但倘若僅一國的課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為類比推理是重要的，還不足以說明類比推理在數(shù)學(xué)課程中的重要地位，需得類比推理在世界各國的課程標(biāo)準(zhǔn)中都得到承認(rèn)，才能說明類比推理在數(shù)學(xué)課程中的重要性。 2000年英國開始實施新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在對新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所限定的三大知識板塊的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行描述時，每一個板塊它都按三個維度問題解決、交流和推理（歸納、類比和演繹）進(jìn)行學(xué)習(xí)要求方面的論述。由于英國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將推理的方法作為貫穿整個數(shù)學(xué)知識體系的學(xué)習(xí)方法，不難窺見推理在英國國家課程中的地位。美國的國家課程標(biāo)準(zhǔn)中雖然沒有明確申明類比推理在學(xué)生學(xué)習(xí)課程中的重要地位，但我們可以

6、從他們發(fā)布的一些報告中窺見類比推理在課程中的重要地位。美國在2000年發(fā)布了一份關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)能力發(fā)展的報告，報告中明確提到發(fā)展學(xué)生的推理能力，隨后提出的一份“美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)與原則”中明確表明推理與證明在學(xué)生課程中的重要意義。根據(jù)美國數(shù)學(xué)家波利亞對推理的分類可知，推理包括歸納推理、類比推理及演繹推理，顯然依據(jù)這一分類標(biāo)準(zhǔn)，我們有理由相信美國課程標(biāo)準(zhǔn)是十分關(guān)注類比推理在學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容中的重要性。2022年新加坡的新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)分三個層次H1、H2、H3，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了要求，在這三個層次的要求中不約而同地提到了推理這個詞。在中國的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）中，明確提出了類比推理的意

7、義“能利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用”。 比較幾個國家的課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容，不難發(fā)現(xiàn)這些國家都不約而同地強調(diào)了推理在數(shù)學(xué)課程中的重要性，盡管有些國家并未像我國一樣在課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出類比推理在數(shù)學(xué)課程中有重要的存在價值，但正如波利亞所言，類比推理作為推理的下位數(shù)學(xué)概念，在推理受到課程標(biāo)準(zhǔn)的重視時，其實也就表明了類比推理在課程內(nèi)容中的重要地位。 2.類比推理編寫的教材比較 對比幾個版本的教材不難發(fā)現(xiàn)，各版本教材的編寫均是以波利亞對推理的分類為基本框架推理包含著合情推理與演繹推理，而類比推理又作為合情推理的下位概念出現(xiàn)。而幾個版本的教材所用引例，也基本相同，由波利亞對

8、加法與乘法性質(zhì)的類比，圓與球的性質(zhì)類比，所不同的是兩個例子安排的順序差異而已。從教材編寫的全面性來看，編者的意圖應(yīng)當(dāng)是從代數(shù)與幾何的角度論述類比推理，來說明類比推理在數(shù)學(xué)運用中的全面性，而不是局限于單純代數(shù)或單純幾何之一隅。以下筆者以蘇教版與人教版為例進(jìn)行對比分析。 首先，從教材編寫的條理性看，蘇教版的編寫條理更為清晰，框架更為明確，更易于學(xué)生數(shù)學(xué)知識框架的形成。蘇教版教材中類比推理作為合情推理的子概念，以獨立的章節(jié)呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，與同為合情推理的歸納推理明確分開，易于學(xué)生區(qū)分類比推理與歸納推理。而人教版的片面安排則顯得比較擁擠，用了“除了歸納，還經(jīng)常用到類比”就直接講述類比推理，沒有明確的分

9、節(jié)。其次，從編者給學(xué)生所留的空間而言，人教版給學(xué)生留下的空間顯然更適合學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。人教版先用一段引語“圓有切線，只與圓交于一點，切點到圓心的距離等于半徑，對于球，我們推測可能存在這樣的平面，與球只交于一點，該點到球心的距離等于球的半徑”，來樹立一個由平面類比到空間的例子，為學(xué)生進(jìn)一步自我類比推理做了鋪墊，進(jìn)而進(jìn)行具體類比時，編寫了圓的性質(zhì)，從而將類比推理的空間留給了學(xué)生。而蘇教版在這里展示的比較直接，并未給學(xué)生留下思考的空間。它直接給出這樣幾個類比“弦截面圓”“直徑大圓”“周長表面積”“圓面積球體積”。進(jìn)而在下方直接給出了圓的性質(zhì)到球的性質(zhì)的類比。第三，從教材編寫的層次性看，人教版在知識

10、推進(jìn)的過程中層次性更強，而蘇教版的編寫顯得比較“混沌”。例如，由加法性質(zhì)類比出乘法性質(zhì)的例子中，人教版分別從三個不同的方面論述了加法到乘法的類比：其一，運算的結(jié)果“兩實數(shù)經(jīng)過加法和乘法運算后，結(jié)果仍為實數(shù)”；其二，運算律“從運算律的角度看加法和乘法應(yīng)該都滿足交換律和結(jié)合律，a+b=b+aab=ba，a+(b+c)=（a+b）+ca(bc)=(ab)c”；其三，逆運算“從逆運算的角度考慮，兩者都有逆運算，加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法”。蘇教版則比較具體地給出了加法與乘法之間的對應(yīng)關(guān)系，“加乘，加數(shù)、被加數(shù)乘數(shù)、被乘數(shù)，和積”，而后直接給出了性質(zhì)類比的表格，并無對各個性質(zhì)從類比的角度進(jìn)行

11、說明，因而顯得層次比較模糊。 三、類比推理法在高中教學(xué)中的應(yīng)用 高中數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)相比較，最大的不同點在于高中數(shù)學(xué)的強抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性。然而，從思維角度出發(fā)，高中生的思維在逐漸由思維的具體性向抽象性過渡。因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，高中生仍需要在具體對象的基礎(chǔ)上，通過利用原有的知識，才能進(jìn)一步理解和掌握新的概念和定理。所以，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師要科學(xué)使用教學(xué)方法如列舉實例、類比推理等，幫助學(xué)生更好地理解抽象性的數(shù)學(xué)問題。 1.應(yīng)用于教學(xué)定義形成中 在數(shù)學(xué)課本里面，各章內(nèi)容均有所區(qū)別，據(jù)此，所有的定義并不是分布于一個章節(jié)之中，同時這些定義也不是相互間沒有絲毫的聯(lián)系，各定義相互間均具有一定的相同之處。

12、比如，圓和方程的知識點，在坐標(biāo)系中，學(xué)會圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，可以按照給定直線、圓的方程，確定它們的位置關(guān)系。如果想將上述分散的知識結(jié)合起來，能夠通過類比推理的方法來進(jìn)行，使學(xué)生學(xué)會上述相關(guān)定義，弄明白各個章節(jié)的知識，使他們充分理解上述定義。 2.在結(jié)合知識點上的運用 雖然知識點的定義有所區(qū)別，但它們之間具有一定的關(guān)系，不同知識點猶如一個個圓環(huán)，環(huán)環(huán)相扣，掌握一個知識點，然后學(xué)習(xí)其它內(nèi)容，會給學(xué)生帶來豁然開朗的感覺。比如，在“函數(shù)”這一章的教學(xué)過程中，必須先學(xué)會二次函數(shù)，弄清楚它的奇偶性、單調(diào)性、極值，然后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)，在事先學(xué)會二次函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，便能夠通過類比推理法來進(jìn)行推算。 3.在發(fā)現(xiàn)并解決問題上的應(yīng)用 新課改明確指出，確定學(xué)生的主體地位，讓他們養(yǎng)成良好的自主學(xué)習(xí)能力，避免學(xué)生一味地依賴?yán)蠋?，也不要僅是學(xué)習(xí)老師傳授的內(nèi)容，而是應(yīng)當(dāng)從中發(fā)現(xiàn)并思考、解決問題。比如，筆者在傳授統(tǒng)計這一章節(jié)時，首先會教會學(xué)生如何使用樣品進(jìn)行統(tǒng)計分析，適當(dāng)對他們進(jìn)行引導(dǎo)，使他們能夠按照既定條件來對變量的關(guān)系進(jìn)行分析，鼓勵和引導(dǎo)他們進(jìn)行預(yù)習(xí)，從而能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)有所減輕。課堂教學(xué)過程中，老師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，并勇于提問，不要對愛問的學(xué)生持否定態(tài)度。高中數(shù)學(xué)涉及到許多知識點，因此，應(yīng)使他