初中數(shù)學(xué)華東師大版八年級下冊第十九章矩形、菱形與正方形單元復(fù)習(xí)-整合提升密碼

1、專訓(xùn)1利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解折疊問題名師點金：四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊，然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計算和證明折疊的本質(zhì)是圖形的軸對稱變換，折疊后的圖形與原圖形全等 平行四邊形的折疊問題1如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿AC折疊，點D落在點E處，AE恰好經(jīng)過BC邊的中點若AB3，BC6，求B的度數(shù)(第1題) 矩形的折疊問題2(中考衢州)如圖，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處如圖.(1)求證：EGCH；(2)已知AFeq r(2)

2、，求AD和AB的長(第2題) 菱形的折疊問題3如圖，在菱形ABCD中，A120，E是AD上的點，沿BE折疊ABE，點A恰好落在BD上的F點，連結(jié)CF，那么BFC的度數(shù)是()A60 B70 C75 D80(第3題)(第4題) 正方形的折疊問題4如圖，正方形紙片ABCD的邊長AB12，E是DC上一點，CE5，折疊正方形紙片使點B和點E重合，折痕為FG，則FG的長為_5(中考德州)如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點(不與點A，點D重合)將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連結(jié)BP，BH.(1)求證：APBBPH.【導(dǎo)學(xué)號：7

3、1412046】(2)當(dāng)點P在邊AD上移動時，PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論(第5題)專訓(xùn)2利用特殊四邊形的性質(zhì)巧解動點問題名師點金：利用特殊四邊形的性質(zhì)解動點問題，一般將動點看成特殊點，再運用從特殊到一般的思想，將特殊點轉(zhuǎn)化為一般點(動點)來解答 平行四邊形中的動點問題1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)兩點在對角線BD上運動(E，F(xiàn)兩點不重合)，且保持BEDF，連結(jié)AE，CF.請你猜想AE與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并對你的猜想加以證明(第1題) 矩形中的動點問題2如圖，在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，垂足為O.連結(jié)AF

4、，CE.(1)試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；(2)動點P，Q分別從A，C兩點同時出發(fā)，沿AFB和CDE各邊勻速運動一周即點P自AFBA停止，點Q自CDEC停止在運動過程中，已知點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，當(dāng)以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值(第2題) 菱形中的動點問題3如圖，在菱形ABCD中，B60，動點E在邊BC上，動點F在邊CD上(1)如圖，若E是BC的中點，AEF60，求證：BEDF；(2)如圖，若EAF60，求證：AEF是等邊三角形(第3題) 正方形中的動點問題4如圖，正方形ABCD的邊長為8 cm，E，F(xiàn)，

5、G，H分別是AB，BC，CD，DA上的動點，且AEBFCGDH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；(2)判斷直線EG是否經(jīng)過一個定點，并說明理由(第4題)專訓(xùn)3全章熱門考點整合應(yīng)用名師點金：本章內(nèi)容是中考的必考內(nèi)容，主要考查與矩形、菱形、正方形有關(guān)的計算和證明等問題近幾年又出現(xiàn)了許多與特殊平行四邊形有關(guān)的開放探索題、操作題以及與全等、相似、函數(shù)知識相結(jié)合的綜合題其主要考點可概括為：三個圖形，三個技巧 三個圖形eq avs4al(圖形1) 矩形1如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連結(jié)AF，CE.(1)求證：BECDFA；(2)連結(jié)AC，當(dāng)CACB時，判斷四邊形AECF是什么特殊

6、四邊形，并說明理由(第1題)eq avs4al(圖形2) 菱形2如圖，ABC是邊長為1的等邊三角形，將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120，得到EDC，連結(jié)BD，交AC于F.(1)猜想AC與BD的位置關(guān)系，并給予證明；(2)求線段BD的長(第2題)eq avs4al(圖形3) 正方形3如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DEAG于點E，BFDE，交AG于點F.(1)求證：AFBFEF；(2)將ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點F的對應(yīng)點為點F，若正方形ABCD的邊長為3，求點F與旋轉(zhuǎn)前圖形中的點E之間的距離(第3題)4如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，D

7、C上的點，且AFBE.(1)求證：AFBE.(2)如圖，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA上的點，且MP與NQ是否相等？并說明理由(第4題) 三個技巧eq avs4al(技巧1) 解與四邊形有關(guān)的折疊問題的技巧(軸對稱變換法)5如圖所示，在矩形ABCD中，AB10，BC5，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，求陰影部分的周長(第5題)eq avs4al(技巧2) 解與四邊形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問題的技巧(特殊位置法)6如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O也是正方形ABCO的一個頂點，如果兩個正方形

8、的邊長都等于1，那么正方形ABCO繞頂點O轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積大小有什么規(guī)律？請說明理由(第6題)eq avs4al(技巧3) 解與四邊形有關(guān)的動態(tài)問題的技巧(固定位置法)7如圖，在RtABC中，B90，AC60 cm，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4 cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2 cm/s的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設(shè)點D，E運動的時間是t s(0t15)過點D作DFBC于點F，且DFeq f(1,2)DC，連結(jié)EF.若四邊形AEFD為菱形，則t的值為()(第7題)A5B10C15D208如圖，在邊長為10的菱形

9、ABCD中，對角線BD16，對角線AC，BD相交于點G，點O是直線BD上的動點，OEAB于E，OFAD于F.(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積(2)如圖，當(dāng)點O在對角線BD上運動時，OEOF的值是否發(fā)生變化？請說明理由(3)如圖，當(dāng)點O在對角線BD的延長線上時，OEOF的值是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由；若變化，請?zhí)骄縊E，OF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(第8題)答案eq avs4al(專訓(xùn)1)(第1題)1解：設(shè)AE與BC相交于點F，如圖四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC.13.平行四邊形紙片ABCD沿AC折疊，點D落在點E處，23，12.FCFA.F為BC邊的中點，BC6，AFC

10、FBFeq f(1,2)63.又AB3，ABF是等邊三角形B60.(第2題)2(1)證明：由折疊知AEAEEG，BCCH.四邊形ABCD是矩形，ADBC.易得四邊形AEAD是正方形，AEAD.EGCH.(2)解：ADE45，F(xiàn)GEA90，AFeq r(2)，DGFGAFeq r(2).由勾股定理得DF2.AD2eq r(2).如圖，由折疊知，12，34，2490，1390.1AFE90，AFE3.由(1)知，AEBC.又AB90，EFACEB.AFBE.ABAEBEADAF2eq r(2)eq r(2)22eq r(2).3C點撥：四邊形ABCD是菱形，ABBC，AABC180，BD平分ABC

11、.A120，ABC60，F(xiàn)BC30.根據(jù)折疊可得ABBF，BFBC.BFCBCF(18030)275.故選C.413點撥：如圖，過點F作FMBC，垂足為M，連結(jié)BE，F(xiàn)E，設(shè)BE交FG于點N，由折疊的性質(zhì)知FGBE，CBNG90，1BEC.易知FMBC，F(xiàn)MGC，F(xiàn)MGBCE，MGCE5，由勾股定理得FGeq r(FM2MG2)13.(第4題)5(1)證明：由折疊知PEBE，EPHEBC90，EBPEPB.EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又ADBC，APBPBC，APBBPH.(2)解：PDH的周長不發(fā)生變化證明如下：過B作BQPH，垂足為Q.如圖由(1)知APBQPB，又ABQP9

12、0，BPBP，ABPQBP.APQP，ABBQ.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BHBH，RtBCHRtBQH，CHQH.PDH的周長為：PDDHPHAPPDDHCHADCD8(定值)(第5題)eq avs4al(專訓(xùn)2)1解：AECF，AECF.證明如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD.ABECDF.在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180，AEDCFB.AECF.2解：(1)四邊形ABCD是矩形，ADBC.OAEOCF，AEOCFO.EF垂直平分AC，垂足為O，OAOC.AOECOF.O

13、EOF.四邊形AFCE為平行四邊形又EFAC，四邊形AFCE為菱形設(shè)AFCFx cm，則BF(8x)cm，(第2題)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5.AF5 cm.(2)顯然當(dāng)P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形；同理P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構(gòu)成平行四邊形因此只有當(dāng)P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，如圖，連結(jié)AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PCQA.點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，PC5t cm，QA(124t)cm.

14、5t124t，解得teq f(4,3).當(dāng)以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，teq f(4,3).3證明：(1)如圖，連結(jié)AC.在菱形ABCD中，B60，ABBCCD，BCD180B120.ABC是等邊三角形又E是BC的中點，AEBC.AEF60，F(xiàn)EC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF.(第3題)(2)如圖，連結(jié)AC.由(1)知ABC是等邊三角形，ABAC，ACBBAC60.又EAF60，BAECAF.由(1)知BCD120.又ACB60，ACF60，BACF.ABEACF.AEAF.AEF是等邊三角形(第4題)4(

15、1)證明：如圖，四邊形ABCD為正方形，AEBFCGDH90，ABBCCDAD.AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG.12，EHEFFGGH.四邊形EFGH為菱形1390，12，2390.HEF90.四邊形EFGH是正方形(2)解：直線EG經(jīng)過一個定點理由如下：如圖，連結(jié)BD，DE，BG.設(shè)EG與BD交于O點BE瘙綊DG，四邊形BGDE為平行四邊形BD與EG互相平分BOOD.點O為正方形的中心直線EG必過正方形的中心eq avs4al(專訓(xùn)3)1(1)證明：四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD，BD，BCDA.E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，BEDF.BECDFA解：四邊

16、形AECF是矩形，理由：AEeq f(1,2)AB，CFeq f(1,2)CD，ABCD，AECF.又AECF，四邊形AECF是平行四邊形CACB，E為AB的中點，CEAB，AEC90.四邊形AECF是矩形2解：(1)ACBD.證明：連結(jié)AD，由題意知，ABCEDC，ACE120.ABC是等邊三角形，ACDC，DCE60，ACD60，ACD是等邊三角形，CDADACABBC，四邊形ABCD為菱形，ACBD.(2)由(1)知，四邊形ABCD為菱形，DBCeq f(1,2)ABC30.BCCD，BDCDBC30，BDE306090.ACEACB180，B，C，E三點在一條直線上，BE2.BDeq

17、r(BE2DE2)eq r(2212)eq r(3).3(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ABAD，BADBAFEAD90.DEAG，AEDDEG90.EADADE90.ADEBAF.又BFDE，BFADEG90.AEDBFA.在AED和BFA中，eq blc(avs4alco1(AEDBFA，,ADEBAF，,ADBA，)AEDBFA，AFBFEF.(2)解：如圖，由題意知將ABF繞A點旋轉(zhuǎn)得到ADF，B與D重合，連結(jié)FE，由(1)易得DEAF.(第3題)根據(jù)題意知：FAE90，DEAFAF，F(xiàn)AEAED90.即FAEAED180.AFDE.四邊形AEDF為平行四邊形又AED90，四邊形A

18、EDF是矩形AD3，EFAD3.4(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADBA，DBAE90，DAFBAF90.AFBE，ABEBAF90.DAFABE.DAFABE.AFBE.(2)解：MP與NQ相等理由如下：過點A作AFMP交CD于F，過點B作BENQ交AD于E，MPNQ，AFBE，由(1)知AFBE.易證四邊形AMPF，四邊形BNQE都是平行四邊形，AFMP，BENQ，MPNQ.5解：在矩形ABCD中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又將矩形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在矩形ABCD外部的點A1，D1處，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，A1EAE，A1D1AD，D1FDF.設(shè)線段D1F與線段AB交于點M，則陰影部分的周長為(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.點撥：要求陰影部分的周長，我們可以把兩塊陰影部分的周長相加，找到它們的周長和與原矩形邊長的關(guān)系，從而得到問題的答案6解：兩個正方形重疊部分的面積保持不變，始終是eq f(1,4).理由如下：四邊形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四邊形ABCO是正方形，EOF90，EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，即BOECOF.BOECOF.S