激光課程設計報告

1、激光課程設計報告激光諧振腔自再現(xiàn)模Fox-Li 數(shù)值迭代解法及MATLAB實現(xiàn)班級：學號：姓名：小組成員：原理說明當光在兩鏡面間往返傳播時，一方面將受到激活介質的光放大作用，另一方 面將經(jīng)受各種損耗。由反射鏡的有限大小所引起的衍射損耗就是其中之一。在決 定激光開腔中激光震蕩能量的空間分布方面，衍射將起主要作用。激光諧振腔的自再現(xiàn)模的計算常用的方法有Fox-Li迭代法、快速傅立葉變換 法(FFT)、等效透鏡波導法、特征向量法、有限元法(FEM)和有限差分法(FDM)等。這里我們運用Fox-Li數(shù)值迭代法求解激光諧振腔的自再現(xiàn)模，給出了基于 Matlab下的條形腔、方形鏡腔、圓形鏡腔的模式求解程序

2、。通過分析計算了解 激光諧振腔的自再現(xiàn)模的特點。對于開放式光腔，鏡面上穩(wěn)態(tài)場分布的形成可以看成是光在兩個界面間往返 傳播的結果。因此，兩個界面上的場必然是互相關聯(lián)的：一個鏡面上的場可以視 為由另一個鏡面上的場所產(chǎn)生，于是求解鏡面上穩(wěn)態(tài)場的分布問題就歸結為求解 一個積分方程。由菲涅爾一基爾霍夫衍射積分公式可知：設已知空間任意曲面S上光波場地 振幅和相位分布函數(shù)為u(x , y),由它所要考察的空間任一點P處場分布為 u(x,y)，二者之間有以下關系式：u(x, y) = / jj u(x, y) - (1 + cos0)dS4兀sp式中，P為(x，,y，)與(x,y)連線的長度，。為S面上點(x

3、，,y處的法 線和上述連線之間的夾角，ds，為S面上的面積元，k為波矢的模。經(jīng)過n次傳播產(chǎn)生的場un+i(x,y)與產(chǎn)生它的場un(x,y)間應滿足下列 迭代關系：u i(x,y) = jj u (x,y)e-ikpdss當光波在腔內(nèi)往返渡越或傳輸足夠多次渡越后，腔內(nèi)的場便逐步趨于一個穩(wěn) 定狀態(tài)，即：un+i(x,y) = 1un(x，,y，)其中Y是一個復常數(shù)，表示自再現(xiàn)模在腔內(nèi)往返一次的功率損耗，其幅角表 示往返一次的相移。在這里以E(x,y)表示開腔中不受衍射影響的穩(wěn)定場分布函 數(shù)，其標準形式為：E(x,y) = yjj K(x,y,x,y)E(x,y)dss常數(shù)Y稱為本征值，其中:e-

4、常數(shù)Y稱為本征值，其中:e-ikp(x,y,x,y)一 一、 iK(x,y,x ,y )二_LK(x,y,x,y)為積分方程的核。而滿足的場分布函數(shù)E(x，y)就是腔的自 再現(xiàn)模，它描述兩個鏡面上的穩(wěn)定態(tài)場分布。它的模 描述鏡面上的振幅分布； 而其幅角描述鏡面上場的相位分布。實現(xiàn)方案Fox-Li數(shù)值迭代法就是利用迭代公式U 1 = h KuqdS 進行數(shù)值計算， 式中K為積分方程的核。假設在某一平面鏡上存在一初始場分布u1，帶入上式可 得第一次渡越后在第二個鏡面上生成的場分布u2，再帶入上式迭代可得第二次 渡越后在第一個鏡面上生成的場分布u3，以此類推，迭代運算后形成一種穩(wěn)定 場分布，達到穩(wěn)定

5、條件。MATLAB算法實現(xiàn)的流程圖如右圖，且需以下幾個步驟(以方形腔為例)： 第一步：確定迭代公式u(x, y) = jj u(x, y) e (1 + cos0)dS 4兀sP第二步：確定p對于不同的光學諧振腔(如平行平面腔、 共焦腔、一般球面腔等)，其中p具有不同的 形式。對于方形鏡平行平面腔，有：=& - x)2 + (y y)2 + L賦值：牝L+ s渡越次數(shù)計算菲涅爾數(shù)NP 第三步：離散處理將方形腔對稱劃分：左鏡x或y方向 (-a，a)賦值：牝L+ s渡越次數(shù)計算菲涅爾數(shù)NP 第三步：離散處理將方形腔對稱劃分：左鏡x或y方向 (-a，a)之間劃分N等分，則有N+1個點， 每個區(qū)間為2

6、a/N。則右邊鏡面上每一點的求 解都需在左邊鏡面上逐點計算一遍并相加。 第四步：分離變量方形腔的計算不需考慮整個面上的點的 影響，根據(jù)分離公式u(x，y) =u(x)u(y)可 以作這樣的近似：只考慮相對鏡面上對應點 所在的那一行、一列上點的影響。帶入積分 公式可得到：初始場分布數(shù)值化帶入衍射積分公式歸一化渡越次數(shù)H第五步：賦值初始場分布：平面波，相位為零。u1(x，寸)三 1確定相應的波長、腔長、矩形鏡大小第六步：復數(shù)處理matlab中可以直接對復數(shù)進行運算，abs可直接 對復數(shù)取幅值，描述場的復振幅分布；angle可對 復數(shù)求相角，描述場的相位分布。第七步：歸一化處理每次由一面到另一面的渡

7、越迭代完成后，所得的場分布數(shù)值都要進行一次歸 一化，這是由于在使用了諸多假設和近似后，具體值已經(jīng)沒有實際意義，我們所 感興趣的只是形成自在現(xiàn)模時的相對振幅與相對相位的分布關系，所以每次迭代 后都要參考中心點的振幅和相位值進行歸一化處理。即將一個面上的所有點的振 幅除以中心點的振幅，所有點的相位減去中心點的相位。下次迭代時，以歸一化的值作為下次的迭代初值進行迭代。第八步：自再現(xiàn)判據(jù)將u1(x,y)代入迭代公式，求出u2(x, y)，歸一化后再代入迭代公式求 出u3(x,y)，計算按此過程循環(huán)，直到求得一個穩(wěn)定狀態(tài)為止，即將這種迭代 一直進行到uq 1和uq只相差一個與坐標無關的常數(shù)因子為止。結果

8、與討論渡越次數(shù)對場分布的影響:著渡越次數(shù)的增加，這種變化越來越小。場的振幅和相位分布越來越趨于穩(wěn)定。 在經(jīng)過100次渡越后，場的振幅和相位分布逐漸趨向一個穩(wěn)定的分布，但仍存在 一定的不穩(wěn)定誤差。2.方形鏡腔菲涅爾數(shù)對場分布的影響:上圖分別為菲涅爾數(shù)N分別為6.25和1時方形鏡腔二維場分布情況?？梢?看出鏡面中心處相對振幅最大，從中心到邊緣振幅逐漸下降，振幅分布具有偶對 稱性。菲涅爾數(shù)N越大，衍射損耗越小，鏡邊緣處的相對振幅越小。初始激發(fā)均 勻平面波在經(jīng)過足夠多次的傳播后，不是嚴格意義的平面波，不但振幅發(fā)生了變 化，而且相位分布也發(fā)生了變化，鏡面已不再是等相位面了。3.圓形鏡腔菲涅爾數(shù)對場分布的

9、影響：上圖分別為菲涅爾數(shù)N分別為6.25和1時圓形鏡腔二維場分布情況。可以 看出場更集中在反射鏡中心，在鏡邊緣下降得更低。菲涅爾數(shù)N越大，衍射損耗 越小，鏡邊緣處的相對振幅越小。菲涅爾數(shù)N越小，場分布曲線越平滑，在整個 直徑上的場的振幅分布更接近于標準的高斯分布，而整個鏡面上的場分布則具有 圓對稱性。4.不同腔形對場分布的影響:方形鏡腔，圓形鏡腔渡越100次后的三維場分布情況。x方向具有偶對稱性；方形鏡腔和圓形鏡腔的 但圓形鏡中心場振幅更集中。上圖分別為條形腔，條形腔場分布的y方向無限延伸， 場分布都具有圓對稱性， 改進建議：由于編程能力有限，本次對諧振腔自再現(xiàn)模的MATLAB實現(xiàn)只討論了 3

10、種平 行平面腔，并未討論凹、凸面或者平面的傾斜對場分布的影響。也只能對渡越次 數(shù)進行選擇，并未實現(xiàn)對穩(wěn)定精度要求的設計，這一點還需改進。而且在計算積 分的時候運用了循環(huán)的嵌套，可能計算效率比較低。相位分布圖像由于MATLAB 函數(shù)問題在變化過程中較大，存在一定的誤差（略小于360，其實應該為0）。上 述幾點都是需要優(yōu)化和改進的。思考題激光諧振腔模式的其他分析方法（如特征向量矩陣方法）和Fox-Li數(shù)值迭代法 的比較；答：Fox-Li數(shù)值迭代法理論上可以研究任何類型的諧振腔，通過迭代計算證 明了自再現(xiàn)模的存在性，計算過程與開腔模式的物理機制類似，方便理解；但是 收斂性不好，計算量大，且對高階模的

11、計算誤差較大。特征向量矩陣法則是通過 建立激光諧振腔傳輸矩陣來求解特征向量，從而求得諧振腔模式。其計算結果和 Fox-Li數(shù)值迭代法一樣，可以實現(xiàn)較大菲涅爾數(shù)的共焦腔的模式計算，并且在有 源非穩(wěn)腔的計算上有一定的優(yōu)勢。兩種方法各有其利弊。圓鏡腔與矩形腔的迭代輸出結果的比較；答：圓鏡腔與矩形腔的歸一化振幅分布都是從中心到邊緣呈遞減趨勢，菲涅 爾數(shù)越大，邊緣振幅越小，但圓鏡腔的中心場分布更集中；圓鏡腔中心附近的歸 一化相位分布是有一定起伏的，菲涅爾數(shù)越大，起伏越大，而矩形腔中心附近的 相位分布都是等相位面，菲涅爾數(shù)越大時，越能用平面波近似。諧振腔各種參數(shù)（如腔長、波長、腔鏡大小等）的改變對迭代結果

12、的影響；答：諧振腔各種參數(shù)的改變，最終都體現(xiàn)在菲涅爾數(shù)的變化上。菲涅爾數(shù)N 描述了光腔衍射損耗的大小，N越大衍射損耗越小，鏡邊緣處的相對振幅越?。?當?shù)螖?shù)相同時，會發(fā)現(xiàn)當N越大時，振幅和相位分布起伏就會越大；N越小， 場分布就會越平滑。菲涅爾數(shù)與迭代次數(shù)的關系；答：菲涅爾數(shù)N描述了光腔衍射損耗的大小。N越大，衍射損耗越小，達到 穩(wěn)定的自再現(xiàn)模式分布需要的迭代次數(shù)越大；反之，N越小，衍射損耗越大，達 到穩(wěn)定的自再現(xiàn)模式分布需要的迭代次數(shù)越小。Fox-Li迭代法的優(yōu)缺點以及和其他數(shù)值迭代法的比較；答：Fox-Li迭代法的優(yōu)點在于：理論上可以研究任何類型的光學諧振腔，通過 迭代法近似計算證明了自

13、再現(xiàn)模的存在性，計算過程與開腔模式的物理機制類 似，方便理解。缺點是：收斂性不好，計算量大，且對高階模式的計算誤差較大。 跟其他數(shù)值迭代法比較，F(xiàn)ox-Li數(shù)值迭代法不適用于較大菲涅爾數(shù)的模式計算， 但是其運算過程簡單可靠，應用廣泛。Fox-Li迭代法的誤差分析；答：離散化的程度對誤差有一定影響，離散點越多時，計算精度越高，但是 耗時越長。另外收斂判據(jù)也會影響計算誤差的大小，顯然當收斂要求越高時的誤 差越小。算法的優(yōu)化也可以減小計算誤差。不同初始場分布的改變（如三角波、梯形波、隨機波等）對最終穩(wěn)定場分布的 影響；答：理論上任何形式的初始模式在經(jīng)過足夠多次的傳播后都會產(chǎn)生穩(wěn)定的自 再現(xiàn)模。如果選

14、取不同的初始場分布，通過迭代最終會得到不同形式的穩(wěn)定解。 平面波的自再現(xiàn)模式的解對應了基模，不同形式的初始場分布則對應了不同的自 再現(xiàn)模式，只是最終場分布形式不同。8算法的優(yōu)化和迭代公式的優(yōu)化對輸出結果的影響；答：算法的優(yōu)化可以減少計算機的計算量，加快計算速度，減少迭代計算所 需要的時間，并且可以減小計算誤差;迭代公式的優(yōu)化可以使得算法更簡單可靠， 對輸出結果有同樣的優(yōu)化效果。具體編程細節(jié)對圖形輸出結果的影響（如劃分點的多少）；答：劃分點越多，采樣越密集，輸出結果圖像更加精細，但是隨之加大了計 算量，需要更長的運算時間，要選擇一個合適的劃分點數(shù)目以平衡精度和時間的 關系。另外不同的圖像輸出函數(shù)

15、也會使得圖形輸出結果不同。平行平面腔迭代時，考慮分離變量法和考慮整個腔鏡上的點對點分布計算的區(qū)別；答：分離變量法利用分離公式u(x, y) = u(x)u(y)作如下近似：只考慮相對 鏡面上對應點所在的那一行、一列上點的影響，計算積分后再進行疊加，而并未 考慮整個腔鏡上的點對點分布的計算。分離變量法比起考慮整個腔鏡上的點對點 分布計算，要更加簡單有效，易于實現(xiàn)。收斂判據(jù)的考慮；答：本次MATLAB程序并未實現(xiàn)對收斂的判斷，但基本思想如下：歸一化后， 前后兩次對應點的差值均小于0.0001左右；當然這個值可以取的大一些，減少 迭代次數(shù)，也可以小一些，將穩(wěn)定性條件設置的更加嚴格。即將這種迭代一直進 行到Uq +1和Uq只相差一個與坐標無關的常數(shù)因子為止。設計體會本次課程設計是我第一次運用MATLAB的GUI圖形界面設計，雖然以前也 接觸過簡單的MATLAB編程，但是這次編算法的過程中發(fā)現(xiàn)并沒有想象中的簡 單，中途遇到了很多問題，但是經(jīng)過自己的慢慢摸索和與同組董理同學的討論， 不斷改善和優(yōu)化算法，才實現(xiàn)了最終的課程設計。尤其是在圓形鏡腔的積分運算 上，由于基礎知識不夠牢固，剛開始無法實現(xiàn)，但是經(jīng)過跟董理同學的討論，將 積分運算轉換到柱坐標上即可