差分方程與濾波

1、差分方程與濾波第1頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三roll-off 滾降 gain 增益pass band 通帶 stop band 阻帶bandwidth 帶寬 linear system 線性系統(tǒng)superposition 疊加原理 time-invariant 時不變causal system因果系統(tǒng) difference equation差分方程filter coefficient濾波器系數(shù)recursive filter 遞歸濾波器nonrecursive filter 非遞歸濾波器 finite word length effect有限字長效應impulse

2、 response 脈沖響應infinite impulse response （IIR)無限脈沖響應finite impulse response (FIR)有限脈沖響應moving average filter 滑動平均濾波器step response 階躍響應第2頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.1 濾波基礎知識濾波器是以特定方式改變信號的頻率特性，從而變換信 號的系統(tǒng)。例：低通濾波器減少磁帶中的高頻雜音分量，保留中、 低頻率分量。 高通濾波器可用于聲納系統(tǒng)中消除信號中船和海的 低頻噪聲，來識別目標。 帶通濾波器可用于數(shù)字電話系統(tǒng)中雙音多頻信號的 解碼。如圖 4

3、.1 帶阻濾波器除特定頻帶外，允許所有頻率通過。第3頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三圖 4.1第4頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三理想濾波器的形狀是矩形，圖 4.2 給出非理想濾波器。圖 4.2第5頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三濾波器的階數(shù)越高，它的滾降（roll-off) 越快，也就越逼近理想情況。增益高的頻率范圍，信號可以通過，稱為濾波器的通帶。增益低的頻率范圍，濾波器對信號有衰減或阻塞作用，稱濾波器的阻帶。增益為最大值的1 2=0.707所對應的頻率為濾波器截止頻率增益通常用分貝（dB）表示。增益（dB）= 20l

4、og(增益）增益為 0.707 時對應 -3dB，因此截止頻率常被稱為 -3dB。它們定義了濾波器的寬帶。對于低通濾波器寬帶是從0 - 3dB 對于高通濾波器寬帶是從 - 3dB采樣頻率的一半對于帶通濾波器帶寬是截止頻率之間的頻率距離第6頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三FIGURE 4-3 Band pass filter for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Sad

5、dle River, New Jersey 07458All rights reserved.第7頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三FIGURE 4-4 Bandwidth calculation for Example 4.1.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.第8頁，共64頁，2022年，5月2

6、0日，4點45分，星期三低通濾波器可以平滑信號的突變高通濾波器可以強化信號的銳變第9頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三FIGURE 4-5 Effects of low and high pass filters.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.第10頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45

7、分，星期三FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyright 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.第11頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三FIGURE 4-5 Continued.Joyce Van de VegteFundamentals of Digital Signal ProcessingCopyrig

8、ht 2002 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458All rights reserved.第12頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三圖4.6說明不同方式濾波器對語言濾波器可以獲得不同頻率分量（自學）返回圖 4.6第13頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.2模擬濾波器和數(shù)字濾波器模擬濾波器是由電器元件構成的電路，濾波器特性對所用部件值非常敏感，對外界影響也很敏感，重新設計就 要新設計的電路，濾波器介數(shù)增加時，所需部件也就越多。數(shù)字濾波器用軟件實現(xiàn)，很少用硬件，濾波

9、軟件只是一系列程序指令，濾波器的性能由一系列數(shù)字系數(shù)來確定，只要重新確定濾波程序的系數(shù)就可重新設計數(shù)字濾波器。 數(shù)字濾波器程序實現(xiàn)有兩種主要方式。1、用濾波器差分方程，計算濾波器的輸出。2、用卷積過程計算輸出。返回第14頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.3 線性、時不變、因果系統(tǒng)線性系統(tǒng)：滿足疊加原理。 輸入 x1 的輸出為 y1，輸入 x2 的輸出為 y2，則當輸入為兩個輸入（x1，x2）之和時，輸出為兩個輸出（y1，y2)之和。 X1+x2 y1+y2ax1+ bx2 ay1+by2 a，b為權系數(shù)時不變系統(tǒng)：什么時間加上輸入，輸出都是相同的；換 句話說 輸入延遲

10、，相同的量。圖 4.7第15頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三圖 4.8因果系統(tǒng)：一個系統(tǒng)在任何時刻的輸出只決定于現(xiàn)在的 輸入以及過去的輸入，而與以后的輸入關。 也稱為不可預測的系統(tǒng)，因為系統(tǒng)的輸出無法預測未來的輸入值返回第16頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.4 差分方程差分方程（difference equation)可用來描述線性時不變，因果數(shù)字濾波器。用x表示濾波器的輸入，用y表示濾波器的輸出。xn表示在輸入， 每個值之間有一采樣周期延遲xn-1表前一輸入， 同樣的，輸出對應為ynxn-2表再前一輸入， yn-1,yn-2差分方程一般表示

11、為:a0yn+a1yn-1+aNyn-N =b0 xn+b1xn-1+bMxn-M (1)akyn-K = gkxn-K (2)Ak,bk 為權系數(shù)，稱為濾波器系數(shù)。N為所需過去輸出的個數(shù)，M 為所需輸入的個數(shù)。 NK=1 MK=0第17頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三將 yn 前變?yōu)?1，即 a0 為1，所有系數(shù)除以a0，得： yn= - akyn-K + bkxn-K (3)表明了怎樣從過去的輸出，現(xiàn)在的輸入和以前的輸入計算濾波器每一個新輸出。數(shù)字系統(tǒng)依賴于輸入和過去的輸出時，稱其為遞歸濾波器（3式）。當數(shù)字系統(tǒng)僅依賴于輸入而不依賴過去的輸出，稱 其為非遞歸濾波器。

12、（4）式 yn= bkxn-K (4) NK=1 MK=0 MK=0第18頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三下面學習差分方程的使用：例 4.2 一個濾波器的差分方程為：yn=0.5yn-1 + xn a. 確定所有系數(shù) ak, bk 。 b. 它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器？ c. 如果輸入 xn（如圖 4.9 所示），從 n=0 開始求出前 12 個輸出。圖 4.9 第19頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三解：a. 將差分方程重新改寫，輸出放在左側，輸入放在右側yn 0.5yn-1 = xn 系數(shù)的值很易確定，參照式（4.1）濾波器的系數(shù)為： a0

13、 =1.0 , a1 =-0.5 及 b0=1.0, 除 a0 , a1 , b0 外其他所有系數(shù)為零。b. 由于輸出 yn 取決于過去的輸出 yn-1 ，所以數(shù) 字濾波器是遞歸濾波器。c. 輸出可以從 n=0 開始，通過反復計算式（4.5) 求出。 對于 n=0 這種情況，計算時需要輸出 y -1。本書 中，假定數(shù)字濾波器是因果的，這就意味著直到第一 個輸入不為零時，輸出才開始變化。此例中為 n=0 所以， y0 以前的所有輸出可以假定為零。 Y0 計算出來以后，可以計算 y1。前 12 個輸出為：第20頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三y0 =0.5y -1 + x0

14、 =0.5 x (0.000 0)+1.0 = 1.000 0y1 =0.5y 0 + x1 =0.5 x (1.000 0)+1.0 = 1.500 0y2 =0.5y1 + x2 =0.5 x (1.500 0)+1.0 = 1.750 0y3 =0.5y 2 + x3 =0.5 x (1.750 0)+1.0 = 1.875 0y4 =0.5y 3 + x4 =0.5 x (1.875 0)+1.0 = 1.937 5y5 =0.5y 4 + x5 =0.5 x (1.937 5)+1.0 = 1.968 8y6 =0.5y 5 + x6 =0.5 x (1.968 8)+1.0 = 1

15、.984 4y7 =0.5y 6 + x7 =0.5 x (1.984 4)+1.0 = 1.992 2y8 =0.5y 7 + x8 =0.5 x (1.992 2)+1.0 = 1.996 1y9 =0.5y 8 + x9 =0.5 x (1.996 1)+1.0 = 1.998 0y10 =0.5y 9 + x10 =0.5 x (1.998 0)+1.0 = 1.999 0y11 =0.5y 10 + x11 =0.5 x (1.999 0)+1.0 = 1.999 5第21頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 輸出示于圖 4.10 。由于輸入為一個恒定值，輸出最終

16、也趨近一個恒值。圖 4.10第22頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.3 yn = 0.5xn 0.3xn-1 a. 確定所有系數(shù) ak , bk 。 b. 它是遞歸濾波器還是非遞歸濾波器差分方程？ c. 輸入 xn = sin(n2/9) un, 求出前 20 個輸出。解：a. a0=1.0, b0=0.5 及 b1=- 0.3。由于輸出不取決于過去的輸出，所以數(shù)字濾波器是非 遞歸濾波器 c. 由于輸入中有 un，所以 n=0 以前的輸入為零。 表 4.1 給出了輸入和輸出的前 20 個值。圖 4.11給 出了輸入和輸出的圖形。注意，雖然兩個信號的幅度 和相位不同

17、，但它們均具有正弦特性和相同的數(shù)字周期。第23頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三表 4.1 圖 4.11 n -1 0 1 2 3 4 5xn 0.000 0.000 0.643 0.985 0.866 0.342 -0.342yn 0.000 0.000 0.321 0.300 0.138 -0.089 -0.274 n 6 7 8 9 10 11 12xn -0.866 -0.985 -0.643 0.000 0.643 0.985 0.866yn -0.330 -0.223 -0.026 0.193 0.321 0.300 0.138 n 13 14 15 16 1

18、7 18 19xn 0.342 -0.342 -0.866 -0.985 -0.643 0.000 0.643yn -0.089 -0.274 -0.330 -0.233 -0.026 0.193 0.321返回第24頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.5 疊加原理 幾個輸入同時加到濾波器上，此時濾波器的響應要應用疊加原理，當濾波器是線形時，多個輸入情況較容易處理。 用兩種方法： 1）分別計算每一輸入的輸出，然后把輸出加起來得到總的輸出信號。 2）先把所有輸入加起來，然后求濾波器對這個和信號的響應。第25頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.4

19、 濾波器用差分方程描述為： yn = xn + 0.5xn-1兩個輸入（如圖 4.12所示)加到濾波器上，它們分別是： x1n = 2unX2n = sin un求出兩個信號共同產生的前 20 個輸出，并畫出圖。圖 4.12N 7 第26頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三解：輸入為兩部分：x1n=2un, x2n=sinn/7)un。每個輸入所對應的輸出y1n,y2n可以單獨求出，然后把兩個輸出相加得到總的輸出。注意輸入在n=0之前為零。計算出的前20個輸出如表4.2和圖4.13所示。比如n=3的情況，表4.2中用黑體表示。X1n的輸出y1n由下式給出： y1n=x1n+

20、0.5x1n-1這樣， y13= x13+0.5x12=2+0.5*（2）=3。X2n的輸出y2n為： y2n=x2n+0.5x2n-1第27頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三這樣，y23=x23+0.5x22=0.975+0.5*（0.782）=1.37，兩個信號總的輸出為y1n+y2n，對于n=3，y13+y23=03+1.37=4.37.把兩個輸入信號加起來同樣可以得到相同的結果。在加黑的行上y3=x3+0.5x2=2.975+0.5*(2.782)=4.37。實際上，輸出列y1n+y1n可以直接從輸入之和列x1n+x2n計算得到，而不需要經過中間y1n， y2n兩

21、列。圖 4.13第28頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三表 4.2 n x1n x2n xn=x1n+x2n y1n y2n yn=y1n+y2n 0 2 0.00 2.00 2 0.00 2.00 1 2 0.434 2.434 3 0.43 3.43 2 2 0.782 2.782 3 1.00 4.00 3 2 0.975 2.975 3 1.37 4.37 4 2 0.975 2.975 3 1.46 4.46 5 2 0.782 2.782 3 1.27 4.27 6 2 0.434 2.434 3 0.82 3.82 7 2 0.000 2.000 3 0.2

22、2 3.22 8 2 -0.434 1.566 3 -0.43 2.57 9 2 -0.782 1.218 3 -1.00 2.0010 2 -0.975 1.025 3 -1.37 1.6311 2 -0.975 1.025 3 -1.46 1.54 2 -0.782 1.218 3 -1.27 1.7313 2 -0.434 1.566 3 -0.82 2.1814 2 0.000 2.000 3 -0.22 2.7815 2 0.434 2.434 3 0.43 3.4316 2 0.782 2.782 3 1.00 4.0017 2 0.975 2.975 3 1.37 4.37 18

23、 2 0.975 2.975 3 1.46 4.4619 2 0.782 2.782 3 1.27 4.27返回第29頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.6 差分方程流圖1、非遞歸差分方程（a）延遲單元 xn 延遲 xn-1 ( b)系數(shù)乘法器 xn bk bkxn x1n( c)加法器 + x1n+x2n x2n第30頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三前面所講的一般非遞歸差分方程，可用圖 4.15 表示。圖 4.15第31頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三有限字長效應：由于處理器有效比特數(shù)的有限而產生的影響（量化誤差）。采取

24、措施減小這些影響的方法：把高階濾波器分為若干個二階濾波器塊，每塊兩個延遲單元，然后將這些濾波器塊級聯(lián)起來，這樣平均來說每一個二階濾波器節(jié)的系數(shù)比原來濾波器系數(shù)大，這樣對量化誤差敏感程度較低。第32頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.5 畫出下列差分方程的流圖： yn = 0.5xn + 0.4n-1 0.2xn-2解以上差分方程的流圖如圖 4.17 所示。圖 4.17第33頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.6 寫出圖 4.18 流圖的差分方程。解： xn 的乘數(shù)為 1 ，無 xn-1 項，差分方程是： yn = xn 0.3xn-2 +

25、 0.7xn-3圖 4.18第34頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.7 寫出圖 4.19 級聯(lián)流圖的差分方程。解：第一級的差分方程為： y1n = x1n 0.1xn-1 + 0.2x1n-2第二級的差分方程為： y2n = x2n + 0.3x2n-1 + 0.1x2n-2圖 4.19第35頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三第三級的差分方程為： y3n = x3n 0.4x3n-1第一級的輸出等于第二級的輸入， x2n = y1n ; 第二級的輸出等于第三級的輸入；x3n = y2n , 可得級聯(lián)系統(tǒng)總的輸入 y3n。從第三級的差分方程開始

26、，代入第二級的差分方程有： y3n = x3n 0.4x3n-1 = y2n 0.4y2n-1 =(x2n+0.3x2n-1+0.1x2n-2 ) - 0.4(x2n-1+0.3x2n-2+0.1x2n-3) =x2n 0.1x2n-1 0.02x2n-2 0.04x2n-3第36頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三代入第一級的差分方程有：y3n=x2n 0.1x2 n-1 0.02x2 n-2 0.04x2 n-3 =y1 n 0.1y1 n-1 0.02y1 n-2 0.04y1 n-3 =(x1 n 0.1x1 n-1 0.02x1 n-2 ) - 0.1(x1 n-

27、1 0.1x1 n-2 0.02x1 n-3 ) - 0.02(x1 n-2 0.1x1 n-3 0.02x1 n-4 ) - 0.04(x1 n-3 0.1x1 n-4 0.02x1 n-5 ) =x1 n 0.2x1 n-1 0.19x1 n-2 - 0.058x1 n-3 - 0.008x1n-5 得到總的濾波器的差分方程。返回第37頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三2、遞歸差分方程1）直接 1 型實現(xiàn) 對于一般遞歸濾波器的差分方程（式 4.3），也可畫出其流圖（圖 4.20)圖 4.20第38頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.8 畫出

28、如下差分方程所描述的遞歸數(shù)字濾波器的直接 1 型流圖： yn+0.5yn-2=0.8xn+0.1xn-1 - 0.3xn-2解：從方程可知 a0=1.0 , a1=0.5 , b0=0.8 , b1=0.1 和b2=- 0.3。將差分方程重新排列如下： yn=- 0.5yn-2+0.8xn+0.1xn-1 0.3xn-2可以畫出流圖如圖 4.21。圖 4.21第39頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.9 寫出如下流圖的差分方程：圖 4.22解：差分方程為： yn=0.1yn-1 0.3yn-2+0.6yn-3 0.8xn-1+0.2xn-3第40頁，共64頁，202

29、2年，5月20日，4點45分，星期三2) 直接 2 型實現(xiàn) 它采用中間信號 wn ，代替過去輸入和輸出，記錄濾波器歷史的重要信息。定義直接 2 型實現(xiàn)的兩個方程為（附錄 C P599有推導） wn = xn akwn-k yn = bkwn-k兩者結合起來構成圖 4.23 所示的直接 2 型流圖，它減小了過去輸入和輸出狀態(tài)的儲存，直接 2 型較直接 1 型省存儲器。 NK=1 NK=0第41頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三圖 4.23顛倒圖 4.23中信息流向，得到轉置直接 2 型（如圖4.24)。圖 4.24第42頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期

30、三例 4.10 求出圖 4.25 所示流圖的濾波器差分方程：圖 4.25解：最下面的加法器輸出為 0.1xn - 0.3yn , 延遲一個單位得到 0.1xn-1 0.3yn-1 。中間的加法 0.8xn,最后得到： yn=0.1xn-2-0.3yn-2+0.2xn-1 -0.2yn-1+0.8xn第43頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三即得所示濾波器的差分方程。表示成更一般的形式為： yn= - 0.2yn-1 0.3yn-2 + 0.8xn + 0.2xn-1 + 0.1xn-2返回第44頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三4.7 脈沖響應脈沖響應

31、是濾波器對脈沖輸入的響應。 數(shù)字濾波器的差分方程可以用來計算濾波器的脈沖響應，輸入是脈沖函數(shù)，則差分方程的輸入 xn 用 n代替，脈沖響應用 hn 表示。脈沖響應反映了濾波器的基本特性，由于所有數(shù)字信號可以由脈沖函數(shù)構成，所以脈沖響應可用來求各種輸入的輸出。第45頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.11 對下列差分方程求出脈沖響應的前六個值。 yn 0.4yn-1 = xn xn-1解：首先，用 n 代替 xn，hn 代替 yn，有： hn 0.4hn-1 = n - n-1 或 hn = 0.4hn-1 + n - n-1從 n=0 開始： h0 + 0.4h-1

32、 + 0 - -1脈沖函數(shù)的值已知：n=0 時，它為 1；在其他 n 不等于零處，它為零。假定濾波器是因果系統(tǒng)，幾脈沖響應在n=0 之前為零。因此：第46頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 h0 = 0.4*(0.0) + 1.0 0.0 =1.0注意 -1 = 0 是函數(shù) n 當 n= -1 是的值，而非因果性的結果。隨后的脈沖響應為： h1=0.4h0+ 1 - 0 =0.4*(1.0)+0.0-1.0=-0.6 h2=0.4h1+ 2 - 1 =0.4*(-0.6)+0.0-1.0=-0.24 h3=0.4h2+ 3 - 2 =0.4*(-0.24)+0.0-1.0

33、=-0.096 h4=0.4h3+ 4 - 3 =0.4*(-0.096)+0.0-1.0=-0.038 4 h5=0.4h4+ 5 - 4 =0.4*(-0.038 4)+0.0-1.0=-0.015 36第47頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三脈沖函數(shù)和脈沖響應示于下圖：圖 4.28(b) 中 即使 n=0 以后沒有輸入，雖然脈沖響應值越來越小，但決不會下降到 0 ，這一特性常為遞歸濾波器所具有。新的輸出取決于過去的輸出，所以脈沖響應不會消失，這個響應稱為無限脈沖響應（IIR）第48頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例 4.12 求出下列濾波器脈

34、沖響應的前六個采樣值。 yn=0.25(xn+xn-1+xn-2+xn-3解：用n 代替 xn，hn 代替 yn，有： hn=0.25(n + n-1 + n-2 + n-3這樣： h0 = 0.25 (0 + -1 + -2 + -3) = 0.25 *(1.0 + 0.0 + 0.0 + 0.0) = 0.25 h1 = 0.25 (1 + 0 + -1 + -2) = 0.25 *(0.0 + 1.0 + 0.0 + 0.0) = 0.25 h2 = 0.25 (2 + 1 + 0 + -1) = 0.25 *(0.0 + 0.0 + 1.0 + 0.0) = 0.25 第49頁，共64

35、頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 h3 = 0.25 (3 + 2 + 1 + 0) = 0.25 *(1.0 + 0.0 + 0.0 + 1.0) = 0.25 h4 = 0.25 (4 + 3 + 2 + 1) = 0.25 *(1.0 + 0.0 + 0.0 + 0.0) = 0.0 h5 = 0.25 (5 + 4 + 3 + 2) = 0.25 *(1.0 + 0.0 + 0.0 + 0.0) = 0.0顯然，當 n 4 時，脈沖響應的所有采樣值均為零，圖 4.29(a) 給出了脈沖函數(shù)輸入和脈沖響應。 第50頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 圖

36、 4.29(a)（b）中，脈沖響應在有限個非零采樣值之后下降到零，這種響應稱為有限脈沖響應(FIR) ，是非遞歸濾波器的特性。 非遞歸濾波器在計算每一個新輸出時，只要用 M 個過去輸入，脈沖響應變?yōu)榱闼枰牟蓸狱c數(shù)取決于計算中所用到的過去輸入個數(shù)。第51頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三圖 4.29(b) 中，它的脈沖響應有 4 個，每個輻度為 1/4 ，從差分方程中可看出，這種脈沖響應形式具有對輸入信號每 4 個采樣值進行平均的作用。 具有這種脈沖響應形式的濾波器，被稱為滑動平均 濾波器。圖 4.29(b)第52頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三

37、 對于非遞歸濾波器，脈沖響應的采樣值給出了差分方程的系數(shù)。如圖 4.29(b) 式 yn=0.25(xn+xn-1+xn-2+xn-3中的差分方程系數(shù)。圖 4.29(b)第53頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三 具有 M 個非零采樣值的脈沖響應 hn，可表示為脈沖函數(shù)之和 hn=h0n+h1n-1+hMn-M 非遞歸差分方程脈沖響應 hn=b0n + b1n-1 + bMn-M 兩式相等 bK = hk 非遞歸差分方程 yn = b0 xn + b1xn+ bMxn-M 可改寫成 yn = h0 xn + h1xn-1+ hMxn-M第54頁，共64頁，2022年，5月2

38、0日，4點45分，星期三例 4.13 寫出圖 4.30 所示脈沖響應的濾波器差分方程。圖 4.30解：脈沖響應可以寫成脈沖函數(shù)之和： hn = n + 0.8n-1 + 0.2n-2 這樣，差分方程具有類似的結構： yn = xn + 0.8xn-1 + 0.2xn-2由于脈沖響應中非零的采樣點數(shù)有限，所以差分方程具有有限脈沖響應(FIR)特性第55頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三例：4.14 圖 4.31 所示信號 xn 加到線形濾波器的輸入 端，濾波器的脈沖響應 hn 如圖 4.32 所示。將 入信號分成脈沖函數(shù)并求每一個的響應，然后求濾 波器的輸出 yn。 圖 4.31 圖 4.32第56頁，共64頁，2022年，5月20日，4點45分，星期三解：圖 4.31 所示信號 xn 可以表示成： xn = 3n + 2n-1 + n-2 正如式和圖所示，信號 xn 由不同幅度的三個脈沖函數(shù)組成：3n，2n-1 及n-2 。由于脈沖 n 的響應是脈沖響應 hn，所以 3n 的響應是 3hn ，類似地，2n-1 的響應是 2hn-1，n-2 的響應是hn-2 。這些函數(shù)畫