概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)課市公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)課武漢理工大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)系 毛樹華第1頁第1頁例1、填空題： 1、已知, (1)當(dāng)A、B互不相容時(shí)，(2)當(dāng)A、B互相獨(dú)立時(shí)，(3)當(dāng) 時(shí)，2、已知 則二、常見例題精解 第2頁第2頁3、一個(gè)零件加工由兩道工序構(gòu)成，第一道工序廢品率為p，第二道工序廢品率為q則該零件加工成品率為 _。4、甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目的射擊一次，其命中率分別為0.5和0.4，現(xiàn)已知目的被擊中，則它是乙射中概率是 。 5、設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次概率為 ，則在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)概率為 。 第3頁第3頁例2、單選題 ： 1、以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其

2、對立事件為（） A“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”； B“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”； C“甲種產(chǎn)品滯銷”； D“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”。第4頁第4頁 2、假如事件 、 有 ，則下述結(jié)論正確是（ ）A 與 必同時(shí)發(fā)生 B 發(fā)生，必發(fā)生；C 不發(fā)生，必不發(fā)生D不發(fā)生，必不發(fā)生 3、擲兩枚均勻硬幣，出現(xiàn)“一正一反”概率是（ ） A ； B ； C ； D 。 第5頁第5頁 4、設(shè) 、 為任意兩個(gè)事件，且 ， ，則下列選項(xiàng)必定成立是（ ） 5、已知 ， ，假如它們滿足條件（ ）時(shí)，則能使等式 成立。 A 是一個(gè)完備事件組； B 兩兩互斥；第6頁第6頁 C 互相獨(dú)立；D 并集是全集。 ， 且 ， 例3

3、、設(shè)兩兩獨(dú)立三個(gè)事件A、B、C，滿足求答案：解：由于 三事件兩兩獨(dú)立，因此第7頁第7頁又由于因此 例4、用三個(gè)機(jī)床加工同一個(gè)零件，零件由各機(jī)床加工概率分別為0.5、0.3、0.2，各機(jī)床加工零件為合格品概率分別為0.94、0.90、0.95，求所有產(chǎn)品合格率。 第8頁第8頁 解：設(shè) 分別表示零件由第一、第二、第三個(gè)車床加工， 表示產(chǎn)品為合格品。則由題意得：從而:第9頁第9頁 例5、假定某工廠甲、乙、丙個(gè)車間生產(chǎn)同一螺釘。產(chǎn)量依次占全廠45%，35%，20%，假如每個(gè)車間次品率依次為4%，%，5%。現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出個(gè)次品，問它是由甲車間生產(chǎn)概率是多少？ 解：設(shè) 分別表示螺釘由甲、乙、丙三

4、個(gè)廠生產(chǎn)， 表示螺釘為次品。則由題意得：第10頁第10頁從而: 例6、甲、乙兩人各自向同一目的射擊，已知甲命中目的概率為 0.7，乙命中目的概率為0.8 求：第11頁第11頁 (1)甲、乙兩人同時(shí)命中目的概率； (2)恰有一人命中目的概率； (3)目的被命中概率。 解:設(shè) 分別表示甲乙命中目的。則第12頁第12頁例7、設(shè) , ，證實(shí)： 。 證:第13頁第13頁例8、將二信息分別編碼為0和1傳送出去，接受站接受時(shí)，0被誤收作1概率為0.02，而1被誤收作0概率為0.01，信息0和1傳送頻繁程度為2:1，若接受站收到信息是0，問原發(fā)信息是0概率是多少？ 解:設(shè) 表示發(fā)送編碼為0 ; 表示接受編碼為

5、0;由題意知第14頁第14頁從而:第15頁第15頁第二章 習(xí)題課第16頁第16頁一、內(nèi)容概要 1、隨機(jī)變量定義 設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)，它樣本空間 ，假如對于每一個(gè) ，有一個(gè)實(shí)數(shù) 與之相應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在 上單實(shí)值函數(shù) ，稱之為隨機(jī)變量。2、離散型隨機(jī)變量及其分布列第17頁第17頁假如隨機(jī)變量 只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值并且取各個(gè)值相應(yīng)概率為 即則稱 為離散型隨機(jī)變量，上式稱為 概率分布，又稱分布密度或分布列。離散型隨機(jī)變量分布列含有下列性質(zhì)：第18頁第18頁（2）（1）3、分布函數(shù)及其性質(zhì) 設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量， 是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為 分布函數(shù)。第19頁第19頁4、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度即 是右連

6、續(xù)。分布函數(shù)含有下列性質(zhì)：第20頁第20頁則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量， 為 概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。 設(shè) 是隨機(jī)變量 分布函數(shù)，假如存在一非負(fù)函數(shù) ，使對任意實(shí)數(shù) 有概率密度函數(shù)含有下列性質(zhì)：第21頁第21頁（3）對任意實(shí)數(shù) 有（4）若 在點(diǎn) 處連續(xù)，則5、慣用概率分布（1）0-1分布第22頁第22頁（2）二項(xiàng)分布（3）泊松分布第23頁第23頁（4）幾何分布（5）均勻分布（6）正態(tài)分布第24頁第24頁 當(dāng) 時(shí)，稱為原則正態(tài)分布,記為 。其密度函數(shù)和分布函數(shù)慣用 和 表示：第25頁第25頁（7）指數(shù)分布6、二維隨機(jī)變量及聯(lián)合分布第26頁第26頁 設(shè) 是兩個(gè)隨機(jī)變量，假如對任意一組實(shí)數(shù) ，使得是一

7、個(gè)隨機(jī)事件，則稱為二維隨機(jī)變量。為二維隨機(jī)變量 聯(lián)合分布函數(shù)。 相應(yīng)地，稱第27頁第27頁為 分別關(guān)于 和 邊沿分布函數(shù)。稱第28頁第28頁7、二維離散隨機(jī)變量概率分布為 聯(lián)合分布列或分布列。 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 也許取值為 ，相應(yīng)概率為，則稱第29頁第29頁稱分別為關(guān)于 和 邊沿分布列。8、二維連續(xù)隨機(jī)變量概率密度第30頁第30頁 設(shè)二維隨機(jī)變量 分布函數(shù) ，假如存在一非負(fù)可積二元函數(shù) ，使對任意實(shí)數(shù) 有則稱 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)二元函數(shù) 稱為 聯(lián)合密度。它含有下列性質(zhì)：第31頁第31頁（3）在 連續(xù)點(diǎn)，有（4）對平面上任意區(qū)域第32頁第32頁（5） 和 邊沿密度函數(shù)分別為9、二維均

8、勻分布和正態(tài)分布 設(shè) 是平面上有界區(qū)域，其面積為 。若二維隨機(jī)變量 含有概率密度第33頁第33頁則稱 在 上服從二維均勻分布。若二維隨機(jī)變量 含有概率密度：第34頁第34頁其中均為常數(shù),且則稱 服從參數(shù)為二維正態(tài)分布。10、隨機(jī)變量獨(dú)立性 設(shè) 是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意實(shí)數(shù) 有第35頁第35頁則稱 與 是互相獨(dú)立。 隨機(jī)變量 和 互相獨(dú)立充足必要條件是： 連續(xù)型隨機(jī)變量 與 互相獨(dú)立充足必要條件是： 第36頁第36頁 離散型隨機(jī)變量 與 互相獨(dú)立充足必要條件是：11、隨機(jī)變量函數(shù)分布則 也是一離散型隨機(jī)變量，且其分布列為： 若 是一維離散型隨機(jī)變量，其分布列為第37頁第37頁 若已知 ， 是嚴(yán)格

9、單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則 也是連續(xù)型隨機(jī)變量， 其概率密度為：（注：使反函數(shù)無意義 ，定義概率密度為0）第38頁第38頁 假如 聯(lián)合概率密度為 ，則隨機(jī)變量 概率密度為尤其地，當(dāng) 與 互相獨(dú)立時(shí)，上式稱為 和 卷積公式。第39頁第39頁二、常見例題精解 例1、填空題 1、設(shè)隨機(jī)變量X與Y互相獨(dú)立，且它們分布列均為： ，則 = 。 2、設(shè)XN（ ），其中 =2， 未知，若已知P（2X4）=0.3，則P（X1）= 。 5、已知隨機(jī)變量 X 分布函數(shù)為： 則 A= ，B = , = ，X密度函數(shù) 。 第41頁第41頁 例2、設(shè)隨機(jī)變量 X 概率密度函數(shù)為： 試求：（1）系數(shù) ；（2）求 （

10、3） 分布函數(shù) 答案：1、 ；2、0.2；3、 ；4、1-3e-2；5、 ； ； ； 解：（1）， 因此 第42頁第42頁當(dāng) 時(shí)， , （3）當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， 。 因此 第43頁第43頁 解： 例4、設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間（2，5）上 例3、某種電池壽命服從正態(tài)分布N（ ），其中 ， 求 ，使壽命在 與之間概率不小于0.9。 第44頁第44頁均勻分布，現(xiàn)在對X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值不小于3概率。 解:設(shè) 表示觀測值不小于3次數(shù) ,則 例5、已知X 和Y為同一分布隨機(jī)變量，并知道 且有 ，試求（X，Y）聯(lián)合分布列；并求 第45頁第45頁 解：由于 第46頁第46頁依據(jù)聯(lián)合分布

11、與邊沿分布列關(guān)系，有： 因此(X，Y)聯(lián)合分布列下列表 ：第47頁第47頁（1）求關(guān)于 和 邊沿概率密度 ；（2）判斷 與 是否互相獨(dú)立；滿足 點(diǎn)為 它們相應(yīng)概率全為0，因此 例6、已知 聯(lián)合概率密度為： （3）求 ； 。第48頁第48頁， 解：（1）對于 因此 （2）顯然 ，因此 與不獨(dú)立。（3） 對于 ， 因此 第49頁第49頁第50頁第50頁例2(1) 求F(x,y);1D1O xy(2) 求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)概率,區(qū)域D如圖所表示.第51頁第51頁解(1)第52頁第52頁(2)1D10 xy第53頁第53頁第54頁第54頁第55頁第55頁第56頁第56頁第57頁第57頁第58頁第5

12、8頁第59頁第59頁第60頁第60頁備用題第61頁第61頁第62頁第62頁第63頁第63頁備用題第64頁第64頁第65頁第65頁第三章 習(xí)題課第66頁第66頁一、內(nèi)容概要 1、數(shù)學(xué)盼望（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量 分布列為假如 收斂，則稱級數(shù) 和為隨機(jī)變量X數(shù)學(xué)盼望，記為第67頁第67頁即 （2）設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為 ，假如積分 絕對收斂，則稱積分 值為連續(xù)型隨機(jī)變量 X 數(shù)學(xué)盼望，記為 ，即第68頁第68頁(3)設(shè) 是隨機(jī)變量 函數(shù)：若 是離散型隨機(jī)變量，其分布列為假如級數(shù) 收斂，則若 是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為第69頁第69頁假如 收斂，則有（4）二維隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)盼望 假如

13、 是二維隨機(jī)變量， 是關(guān)于X 和Y 二元函數(shù)， 當(dāng) 是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布列為第70頁第70頁則 當(dāng) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為 ，則 第71頁第71頁（5）數(shù)學(xué)盼望性質(zhì) 假如 X、Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，C 為任意常數(shù)，且 都存在，則數(shù)學(xué)盼望有下列四條常見性質(zhì)。假如 X 與 Y 互相獨(dú)立，則第72頁第72頁2、方差 （1）對隨機(jī)變量 X ，假如 存在 ，則稱 值為隨機(jī)變量X 方差 ，即（2）方差性質(zhì)第73頁第73頁3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量,假如 存在,則稱之為 X 與 Y 協(xié)方差,記為第74頁第74頁即而稱之為 X 與Y 相關(guān)系數(shù)。協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)含

14、有下列幾條性質(zhì)：第75頁第75頁充足必要條件是存在常數(shù)a，b 使當(dāng) X、Y 互相獨(dú)立時(shí)，第76頁第76頁4、常見分布數(shù)學(xué)盼望和方差泊松分布幾何分布二項(xiàng)分布0-1分布名 稱2/)1(pp-第77頁第77頁名 稱均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布第78頁第78頁例1、填空題 1、已知 。 2、 互相獨(dú)立， 則 ； 3、若X 服從區(qū)間 上均勻分布，則 。 二、常見例題精解 第79頁第79頁4、若 ，則 。 5、某人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，命中率為p，一旦投中就可結(jié)束訓(xùn)練,則需要投籃次數(shù)方差是 。 答案：1、37;2、11;3、0;4、2.5;5、 。 例2、設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為1指數(shù)分布，求數(shù)學(xué)盼望 。 解： 故 第

15、80頁第80頁 例3、飛機(jī)在第一次飛行后必須進(jìn)行檢修概率是0.4，在以后兩次飛行中，每一次飛行后其被檢修概率各增長0.1，求三次飛行后修理次數(shù)數(shù)學(xué)盼望。 解： 表示第 次飛行后須進(jìn)行檢修次數(shù)，則 ，其分布列為： 第81頁第81頁因此 例4、設(shè)隨機(jī)變量 與 獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布 ，求 、 及 解：由于 ，因此 又 因此 第82頁第82頁例5、若二維隨機(jī)變量（X, Y）概率密度為 求（1） ， ； （2） （3）問 是否互相獨(dú)立。 第83頁第83頁解：（1） （2）由（1）同理可知： 第84頁第84頁（3）由于 ，因此 不互相獨(dú)立。 第85頁第85頁第四章 習(xí)題課第86頁第86頁一、內(nèi)容概要 1

16、、切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量 X 有數(shù)學(xué)盼望 和 方差 則對于任意給定正數(shù) 總成立不等式 第87頁第87頁2、依概率收斂 設(shè) 為一個(gè)隨機(jī)變量序列， a 是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù) 都有則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 a 。().1lim=G=-0,00,)2(21);(21222xxexnnxxnnc第110頁第110頁 分布含有下列性質(zhì)： （1） 設(shè) ，且它們互相獨(dú)立，則 （2） 設(shè) 則有 第111頁第111頁5、 分布所服從分布是自由度為n t 分布，記作:則稱統(tǒng)計(jì)量設(shè)且X與Y互相獨(dú)立，第112頁第112頁6、 分布及其性質(zhì)所服從分布為自由度是（m , n) F 分布，則稱設(shè)且X與Y互相獨(dú)

17、立,則 假如第113頁第113頁7、正態(tài)總體樣本均值與樣本方差分布（1） （2） 與 互相獨(dú)立;（3）與方差，則若是來自正態(tài)總體 一個(gè)樣本，分別為樣本均值與樣本第114頁第114頁（4）)2(11)()(1221-+-=mntmnSYXTmm樣本，且它們互相獨(dú)立，則 設(shè)和來自正態(tài)總體和是分別兩個(gè)第115頁第115頁其中第116頁第116頁二、常見例題精解例1填空題 1設(shè)統(tǒng)計(jì)量 ，則 ； 2設(shè) ， 為樣本， 是樣 本均值。則 服從分布為 ； 3設(shè) 則 = ； 第117頁第117頁4 ， 為樣本。若要求 則 = ； 5總體 與 互相獨(dú)立，且 與 是兩總 體中抽取獨(dú)立樣本。 與 是兩樣本方差則 。

18、答案 1. ；2. ；3. ；4. ；5. 第118頁第118頁 例2設(shè)總體 , 是簡樸隨機(jī)樣本, 為樣本均值,(1)若 ,計(jì)算 ;(2)若要求 , 至少 取多大？解：（1）由于 因此 （2）為使 第119頁第119頁因此 至少取 1537。例3設(shè) ， 是簡樸隨機(jī)樣本, 試決定常數(shù) ,使 服從 分布。 解：由于 第120頁第120頁因此 故 。 例4 ，抽取樣本容量 簡樸隨機(jī)樣本， 計(jì)算: 解：由于 ，因此， 第121頁第121頁當(dāng) 時(shí)，有 解：由于 因此 例5設(shè) ， ， 為樣本, 為樣本方差，即 已知求 第122頁第122頁例6 ， 且互相獨(dú)立， 從 、 兩總體中分別抽取 ，和 簡樸隨機(jī)樣本

19、，樣本方差分別為 與 計(jì)算 解：由于， 因此 第123頁第123頁第124頁第124頁第六章 習(xí)題課第125頁第125頁一、內(nèi)容概要1、預(yù)計(jì)量與預(yù)計(jì)值 設(shè)總體 分布函數(shù) 形式為已知， 是待估參數(shù), 是 一個(gè)樣本, 是相應(yīng)一個(gè)樣本值,點(diǎn)預(yù)計(jì)問題就是要結(jié)構(gòu)一個(gè)適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量 用其觀測值 來預(yù)計(jì)未知參數(shù)。稱為預(yù)計(jì)量，稱為預(yù)計(jì)值。第126頁第126頁2、矩預(yù)計(jì)法 用樣本各階原點(diǎn)矩作為總體各階原點(diǎn)矩預(yù)計(jì)而求得求知參數(shù)預(yù)計(jì)量稱為矩預(yù)計(jì)量。3、極大似然預(yù)計(jì) 設(shè)總體 含有概率密度函數(shù) 或分布列函數(shù) ， 是 維參數(shù)向量，樣本 聯(lián)合密度函數(shù)第127頁第127頁稱為似然函數(shù)。或者 假定在 給定條件下，存在 維統(tǒng)計(jì)量 第

20、128頁第128頁使得似然函數(shù)在取得極大值，則稱 是 極大似然預(yù)計(jì)量。 假如似然函數(shù)關(guān)于 可微，則使似然函數(shù)達(dá)到最大 一定滿足下列正則方程組：第129頁第129頁4、預(yù)計(jì)量衡量原則（1）無偏性是一個(gè)預(yù)計(jì)量，假如成立，則稱是一個(gè)無偏預(yù)計(jì)量。設(shè)（2）有效性 設(shè) 都是未知參數(shù)無偏預(yù)計(jì)若,則稱預(yù)計(jì)量較有效。第130頁第130頁若無偏預(yù)計(jì)滿足則稱為有效預(yù)計(jì)或最小方差無偏預(yù)計(jì)。（3）一致性設(shè)為未知參數(shù)預(yù)計(jì)量，若對任意正數(shù)有則稱為一致預(yù)計(jì)。1)(lim=-eqqnnP第131頁第131頁5、置信區(qū)間且若對于給定有則稱隨機(jī)區(qū)間 是參數(shù) 置信區(qū)間或區(qū)間預(yù)計(jì)， 分別稱為設(shè)總體X分布中含有未知參數(shù) 由樣本結(jié)構(gòu)兩統(tǒng)計(jì)量：及,1)(21aqqq-=P第132頁第132頁 置信下限和置信上限， 稱為置信水平或置信度或置信概率。第133頁第133頁二、常見例題精解例1填空題 1、設(shè)是來自正態(tài)總體容量 為3樣本，其中 則 皆為 預(yù)計(jì)，其中_在 預(yù)計(jì)中最有效。_ 2、設(shè) 總體服從0 上均勻分布，其中 第134頁第1