2022-2023學年廣東省深圳市高一（上）期末數(shù)學試卷-解析版

2022?2023學年廣東省深圳市高一（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）己知集合4={3,5,7,8},B=[2,3,4,5,7）,貝ijAC8=（）

A.{8}B.{2,3,4,5,7,8}

C.{2,4,8}D.{3,5,7}

2.（5分）命題p：VxG[0,ii],sinxcosx^O,則-?p為（）

A.Vxg[0,IT],siiucosx<0B.VxG[0,n],sinxcosxWO

C.3^E[0,n],sinxcosx'OD.3xE[0,nJ,sinxcosx<0

3.（5分）已知tanCt=工，則2cosO-sina=（）

2cosa

A.1B.3C.RD.上

223

4.（5分）蕩秋千是中華大地上很多民族共有的游藝競技項目.據(jù)現(xiàn)有文獻記載，它源自先

秦.位于廣東清遠的天子山懸崖秋千建在高198米的懸崖邊上，該秋千的纜索長8米,

蕩起來最大擺角為170°,則該秋千最大擺角所對的弧長為（）

A.68兀米B.弘?米C.13.6米D.198米

99

5.（5分）設f（x）=[f（f（x+5?，x<10,則f⑼的值為（）

2x-15,x>10

A.9B.11C.28D.14

6.（5分）已知函數(shù)/己）=lg（2cosx-1）,則函數(shù)的定義域為（）

A/兀B

A?（2kK,2k兀4）,k€z-[2k兀-冬，2k兀+k€Z

0

rz兀2k兀0）,k€Z

C（2k-r-*D*[2k兀2k,k€z

6666

aC（0，兀），cosa半

7（5分）已知,則

b

亨]+"（（1仔）=（

cos（a-兀）[2sin（a+兀）+sin（a）

A.1B.-LC.D.當

5555

8.（5分）設。=log20.4,b=logo.30.4,則（）

A.ab<0<a+bB.a+b〈ab<0C.ab<a+b<0D.Q<a+b<ab<\

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）若4b>0,則下列不等式成立的有（）

A.a2>b2>0B.a3>b3>0C.D.b2a>a2b

2,2

ab

（多選）10.（5分）下列命題為真命題的有（）

A.若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則/（0）=0

B.函數(shù)/（X）=/〃（?-6x+5）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,3）

C.“a=0+2hr,keZ”是“sina=sin|T的充分不必要條件

D.當x>0時，sinx<tanx

（多選）11.（5分）已知函數(shù)f（x）=c0s（2xf），下列選項正確的有（）

A.f（x）的最小正周期為IT

B.函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［卜兀4，k兀理［］,k€z

c./（X）在區(qū)間（0,旦L）上只有一個零點

6

D.函數(shù)在區(qū)間小，*］的值域為［蔣，1］

（多選）12.（5分）已知函數(shù)/（x）的定義域為R,且f（l+x）+2為奇函數(shù)，f（2-2x）

為偶函數(shù)，/（4）=0,則（）

A./（%）為奇函數(shù)

B.f（0）=0

C.f（2022）=-4

D./（1）+f（2）+f（3）+-?+/?（100）=-200

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）tarr^7--sin-?-=：-------------------?

46

14.（5分）己知x22a-1是x23的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是.

15.（5分）函數(shù)/1）=，1+2］-10的零點所在區(qū)間為（"，〃+1）,讓2,則〃的值為.

（e七2.71828）

16.（5分）已知x>0,y>0,且x+y=l,則四二的最小值為.

Yxy

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)己知f(x)=^2^

2X+1

(1)求證：/(%)為奇函數(shù)；

(2)求函數(shù)/(無)的值域.

18.(12分)已知函數(shù)/(X)=/-4|x|-5.

(1)在下面的平面直角坐標系中，作出函數(shù)/(x)的圖象：

(2)方程=〃，有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)〃?的取值范圍.

L

九

6

1.5

1-4

1.3

1.2

1.1

k

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=2sin(2x，一“),

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［制［，［-］上的最值?

<

20.(12分)已知全集U=R,集合A=［x82*46｝，B=(x號-4<x^2a-81,

(1)若AC8=｛x由<x<6｝，求”的值；

(2)若BEA,求實數(shù)a的取值范圍.

21.(12分)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，且f(x)+g(x)="L.

2X

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并證明；

(2)若關于x的不等式2g在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)a的取值

2X

范圍.

22.(12分)如圖，有一個小矩形公園ABCQ,其中AB=20m,AD=10m,現(xiàn)過點C修建一

條筆直的圍墻(不計寬度)與A8和A￡>的延長線分別交于點E,F,現(xiàn)將小矩形公園擴

建為三角形公園AEF.

(1)當AE多長時，才能使擴建后的公園△AEF的面積最?。坎⑶蟪龅淖钚∶娣e.

(2)當擴建后的公園△AEF的面積最小時，要對其進行規(guī)劃，要求中間為三角形綠地(圖

中陰影部分)，周圍是等寬的公園健步道，如圖所示.若要保證綠地面積不小于總面積的

3,求健步道寬度的最大值.(小數(shù)點后保留三位小數(shù))

4

參考數(shù)據(jù)：73^1.732,遙=2.236,715^3.873.

參考公式：tan2”組吟-??

1-tan，9

2022-2023學年廣東省深圳市高一(上)期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.【答案】D

【分析】根據(jù)交集的概念進行計算.

【解答】解：因為A={3,5,7,8},B={2,3,4,5,7),

ACB={3,5,7).

故選：D.

2.【答案】D

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題可得答案.

【解答】解：因為命題p：Vxe[0,nJ,sinxcosx>O,

所以-y,為八40,TT],sinjvcosx<0.

故選：D.

3.【答案】B

【分析】利用同角三角函數(shù)的關系化簡代入即可求值.

【解答】解：由題意可知,2cosa-sina=2-tana，

cosa

因為tana

所以普蓍晅=2-=2蔣春

故選：B.

4.【答案】A

【分析】根據(jù)弧長公式計算即可.

【解答】解：由題意得：最大擺角為篁竺」22三，半徑R=8,

18018

由弧長公式可得：1=8,R=gLx8=^旺(米)?

189

故選：A.

5.【答案】B

【分析】代入分段函數(shù)，結合分段函數(shù)自變量范圍，逐步求出函數(shù)值.

【解答】解：f(9)=f(f(14))=/(2X14-15)=/(13)=2X13-15=11.

故選：B.

6.【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于。得到cosx>1,得到答案.

【解答】解：由題意得：2cosx-1>0,即cosx,則

x€(2k兀-2k九+k€Z?

OO

故選：A.

7.【答案】B

【分析】根據(jù)同角公式求出sina,根據(jù)誘導公式化簡所求式子后，代入sina和cosa可

求出結果.

【解答】解：因為aE(0,兀)，cosa=YL

5

所以sina=V1-cos2Cl=J1蔣,

所以cos(a-兀)[2sin(a+71)+sin(a]+cos2(a+'2)=cos(n-a)

(-2sina+cosa)+sin2a=-cosa(-2sina+cosa)+sin2a=2sinacosa-cos2a+sin2a=

2X嶇x近」占工

55555

故選：B.

8.【答案】C

【分析】先判斷出a<0,b>0,得HVO,再根據(jù)對數(shù)知識判斷出a+%<0,a+b>ab,

從而可得答案.

【解答】解：,.?a=log20.4<log21=0,/>=logo.30.4>logo.31=0,

.?.時<0,-^=1+1=log0.42+log0.40.3=log0140.6-

Vlogo.40.6>logo.41=0,

又ab<0,：.a+b<0,

ab

Vlogo.40.6<logo,40.4=1,

.?.空也<又ab<0,

ab

.".a+b>ab,

綜上所述：ab<a+b<0.

故選：C.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.【答案】AB

【分析】舉出反例得到CQ錯誤，根據(jù)不等式基本性質(zhì)得到A正確，再A的基礎上，利

用不等式的基本性質(zhì)得到B正確.

【解答】解：不妨令a=3,b=2,則22X3<32X2,CO錯誤；

因為“>b>0,不等式兩邊同乘以a得：￡>時>0,

不等式兩邊同乘以〃得：ab>b2>0,故次>戶>0,4正確；

33

因為”2>/>2>O,a>h>0,相乘得：a>h>0,8正確.

故選：AB.

10.【答案】AC

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷A正確；求出對數(shù)型函數(shù)的定義域可判斷8不正確；

根據(jù)三角函數(shù)知識以及充分不必要條件的概念可判斷C正確;利用特值可判斷。不正確.

【解答】解：對于A,若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-x)=-/(%)恒成立,

令1=0,得/(0)=0,故A正確；

對于8,由/(%)有意義可得/-6元+5>0,得x<l或x>5,

因為f=7-6x+5在（-8,1）上為減函數(shù)，在（5,+8）上為增函數(shù)，且為增

函數(shù)，

所以函數(shù)f（x）=ln（？-6x+5）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5,+8）,故8不正確；

對于于由a=0+2內(nèi)I,&-Z可得sina=sin（0+2內(nèi)i）=sinp,kWZ,

Etlsina=sin0可得a=0+2Zrn,在2或。=（2k+1）IT-p,k￡Z,

所以“a=0+2Mi,kEZff是“sina=sin0”的充分不必要條件，故C正確；

對于當時,sinx=sin-^7—=-1'故。不正確?

4424

故選：AC.

11.【答案】AC

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式求出周期可判斷A正確；

根據(jù)f（二）〉f（哈）可判斷B不正確；

求出函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,且!_）上的零點可判斷C正確；

6

求出函數(shù)/（X）在區(qū)間耳，等]的值域可判斷。不正確.

【解答】解：由f（x）=cos（2x號）可得/（X）的最小正周期為T丹=兀，故A正

確;

因為其工）工」，f（旦L）”.=」，故B不正確；

工'3'32'632

由f（x）=cos=02x-^?-=k7rkWL,得+反1,

由旦Lkez,得至＜卜＜立，kez,所以k=0,此時欠上^,

UK

212666x12

即/（x）在區(qū)間（0,空一）上只有一個零點x=^L，故C正確；

612

由得得一l《cos（2x^^-）《I’即函數(shù)/（冗）

obo66oZ

在區(qū)間吁，平.]的值域為[-1,1],故。不正確.

故選：AC.

12.【答案】BCD

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的周期、對稱軸，對稱中心和奇偶性，進而根據(jù)選項逐項

求解即可.

【解答】解：對于A,由于/（1+x）+2為奇函數(shù)，則/（1+x）+2+[/'（1-x）+2]=0,

則/(1+x)4/(1-x)=-4,則函數(shù)/(x)關于點(1,-2)成中心對稱；

又函數(shù)/(2-2x)為偶函數(shù)，

所以/(2-2x)=/(2+2x),

所以函數(shù)f(x)關于直線x=2對稱，則/(2-x)=/(2+x),

因為函數(shù)/(x)關于點(1,-2)成中心對稱，

所以/(2-x)+f(x)=-4,f(2+x)4/(-x)=-4,則/(x)=f(-x),

所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，故選項A錯誤；

對于B,由『(2-2%)=/(2+2%),令x=l,得/(0)=/(4)=0,故選項8正確；

對于C,因為函數(shù)/(x)關于直線x=2對稱，且函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

所以/(x+4)=/(-x)=f(x),

則函數(shù)f(x)的周期為4,

由/(1+x)+f-x')=-4,令x—1可得：f(2)+f(0)=-4,

所以/(2)=-4,則/(2022)=/(505X4+2)=/(2)=-4,故選項C正確；

對于。，由f(l+x)4/(1-x)=-4,令x=0可得：/(1)=-2,/(3)=/(3-4)

=/(-])=f⑴--2,

又，(4)=0,

所以/(1)V<2)V(3)V(4)=-2+(-4)+(-2)+0=-8,

因為函數(shù)/(X)的周期為4,

所以/(1)+f(2)+f(3)+-+/,(100)=25*[/(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=-200,

故選項D正確，

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】一3.

2

【分析】根據(jù)誘導公式和特殊角的函數(shù)值計算可得結果.

【解生】ft?.兀.兀，兀、兀

[附口/用牛.t+ai.lJ：-sin~7"-tan(1r31=tan-3:—1_11_3

404N4NNN

故答案為：一3.

2

14.【答案】{他》2}.

【分析】根據(jù)充分條件的定義得到x>2a-l=x>3,從而得到不等式，求出實數(shù)。的取

值范圍.

【解答】解：由題意得：x22a-l=x，3,故2a-123,解得：心2,

故實數(shù)a的取值范圍是{3。22}.

故答案為：{a|a22}.

15.【答案】1.

【分析】利用零點存在性定理以及函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.

【解答】解：/(x)在R上遞增，/(1)=e2-8<0,f(2)=e3-6>0,

所以/'(x)的零點在區(qū)間(1,2),

所以〃的值為1.

故答案為：I.

16.【答案】6.

【分析】由題干條件得到將y用1-x代替，得至后工」=一3+且±，換

2

丫xy-x+x

元后得到取」。=-3--------利用基本不等式求出工史生》1,進而求出至二

Yxyt4599t^9yxy

99t9

的最小值.

【解答】解：因為尤>0,y>0,x+y=1,

3x+13x+1_3X2+]_3x2-3X+3X+1__3+3x+l

所以0<x<l,

-

yxylxx(l-x)-x2+x-x^+x-x2+x

令3x+l=re(1,4),

3x16tt

則一■1一=-3+-----------5----------3

ti_5_"-t45

yxy/t-l/t-1—+--------

99t9

工區(qū)用,當且僅當

其中三史生》2t4,即f=26(1,4)時,等號成立,

9與，n199t9

故絲」=-3-]；-3-彳1「=6,止匕時x=-^->y^—)

t~45三巨x3y3

yxy一+--

99t999

故答案為：6.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【答案】(1)證明見解析;

(2)(-I,1).

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義可證結論正確；

(2)分離常數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)y=2*的值域可推出/(x)的值域.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)￡3的定義域為(-8,+8),關于原點對稱，

2X+1

因為f(-X)=2：l=l^=-f(X)，

2X+11+2X

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

”、、2X-12x+l-2,2

⑵f(x)=——=---=1---'

2+12+12+1

因為2*>0,所以

所以0<二^<1，

2X+1

所以一2<二一<0，

2X+1

所以-1</(x)<1,

即函數(shù)f(x)的值域為(-1,1).

18.【答案】(1)圖象見詳解；

(2)(-9,-5).

【分析】(1)先把函數(shù)/(x)寫成分段函數(shù)，再畫其圖象；

(2)由圖象觀察可知y=/(x)與有四個交點時，得出實數(shù)機的取值范圍.

【解答】解：⑴f(x)=x?-4x-5,x>0,

X2+4X-5,X<C0

函數(shù)/(x)的圖像:

(2)當x=2或-2時，函數(shù)f(x)取最小值，最小值為-9,且/(O)=-5.

由圖象可知，方程/(無)="有四個不相等的實數(shù)根，即y=/(x)與)，=用有四個交點

時，所以-9V/MV-5.

故，"的取值范圍為（-9,-5）.

19.【答案】（1）[3H+kn,W+k兀]（kEZ）；

oo

（2）f（x）最大值為2,最小值為f叵.

【分析】（1）利用整體代入法求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）由x所在區(qū)間，求出2x工的范圍，由正弦函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)f（x）的最值.

4

【解答】解：（I）由卷+2kii42xT《等+2k兀（k€Z），解得

3兀//7兀//、

—7—+kn<x<—7—+k（kEZ>

oo

所以函數(shù)fco的單調(diào)遞減區(qū)間為[4+k兀，I2L+kK]（kEz）；

88

r「兀兀]r「兀_兀兀二「兀兀]

（9）xt17F"2|j||lxoE[17f，-i]-n2x—€[5―?-3]'

當2x』=且即乂=冉匚時，/（X）有最大值，fG）=f（衛(wèi)匕）=2，

乙X428'X/max'*■、8，乙

當2x《=耳，即乂=4時，/（X）有最小值，f（x）1111n=f（T）=f巧；

20.【答案】（1）a=7；

（2）或9/W36}.

【分析】（I）先利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合4,然后根據(jù)交集的定義列出方程，解

之即可求解；

（2）結合（1）中結論和集合的包含關系，分8=0和BW0兩種情況討論，列出不等式

組，解之即可求解.

【解答】解：（1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：

集合A={x|-14log2X46}={x|'|"Cx464}，

乂因為APlB={X[.<X<6}，

A4<1

所以1242.解得：a=7,

2a-8=6

所以實數(shù)a=7.

⑵由⑴可知：集合A={x|《<x<64}，

因為BUA,

①當B=0時，包-4》2a-8,解得〃<&■，

23

②當8W0時，--4<2a-8>且<5一4》^,解得：9,W36,

2|2a-8<64

所以實數(shù)”的取值范圍為{a|y>|或9&W36}.

21.【答案】(1)函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，證明見解析.；

(2)(-8,3].

【分析】(1)由f(x)+g(x)J，根據(jù)函數(shù)奇偶性列方程組求函數(shù)解析式，用定義法

2X

判斷并證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

2xx

(2)原不等式在(0,+8)上恒成立，等價于a《二2-在(0,+8)上恒成立，

2X-1

2xx

利用基本不等式求1+2一2二的最小值,即可得實數(shù)a的取值范圍.

2X-1

【解答】解：⑴由f(x)+g(x)可得f(-x)+g(-x)h~^"=2K，

22

因為/(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)為R上的偶函數(shù)，

所以/(-X)=-/("￥),g(-X)=g(X),

所以-/(x)+g(x)=2",

-f(x)+g(x)=2X

解得f(x)U-2，Mg(x)+

22X22X

函數(shù)f(x)定義域為R，是R上的減函數(shù)，證明如下：

22X

任取X1<X2,有zXiV2%，工->」^-，

2X12%

則

/、/1Z1X1z1IsZXXI、r、

f(X1)-f62)s=萬(F--2)-7(---27s)=^-r[-----)+(27-2)]>0

1xxx

422.oz2.oio2

即/(XI)>f(X2),

函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減.

⑵因為g(x)](-^+2X)，

由不等式2g(x)+~^~T-a>0可得_^~+2x-^----l-a^:0,

222

x

W-A-+2-l>a—Tr=a(1-^-)-

222

當x>0時，2X>\,i」>o，

2X

不等式2g底)3-1-@〉0在(°，+8)上恒成立，

2X

pX1p2xnX

等價于a《工——:—=—~~仁■在(0,+8)上恒成立，

1，2X-1

2X

又

9

笆工-1+-1)考一1)+"2+31——1).4

2X-12X-12X-1V2X-1

2xx

當且僅當2*-14一即尸1時等號成立，得a/。=）=引

2X-12X-1mi