概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件與概率的知識(shí)

1、概率與統(tǒng)計(jì) 教材 概率與統(tǒng)計(jì) 主要教學(xué)參考書 龔友運(yùn)等編 華中科技大學(xué)出版社 概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，“概率論”在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)世界中，隨機(jī)現(xiàn)象是廣泛存在的，而“概率統(tǒng)計(jì)”正是一門從數(shù)量這一側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科它結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速.是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程技術(shù)（如自動(dòng)控制、地震預(yù)報(bào)、氣象預(yù)報(bào)、產(chǎn)品質(zhì)量控制等）、軍事技術(shù)、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論、管理科學(xué)等眾多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，并且在不斷地向其他學(xué)科滲透。它是一門有著自己獨(dú)特的概念與方法的數(shù)學(xué)分

2、支。 前 言 概率與統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史 概率與統(tǒng)計(jì)是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門重要的 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，人們一般地認(rèn)為概率是統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而統(tǒng)計(jì)是概率的一種應(yīng)用。 概率論起源于對(duì)隨機(jī)游戲的研究，早在16世紀(jì)，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的人文主義代表人物意大利學(xué)者卡當(dāng)?shù)闹髻€博之書在1663年就出版了，而推動(dòng)概率論的發(fā)展的動(dòng)力則在于其在實(shí)踐中的應(yīng)用。 描述性統(tǒng)計(jì)學(xué)的起源在我國(guó)可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)期，主要研究數(shù)據(jù)的收集和整理。公元前2250年，大禹治水，根據(jù)山川土質(zhì)、人口和物質(zhì)統(tǒng)籌開(kāi)鑿河道，殷周時(shí)期實(shí)行井田制，根據(jù)戶口和土地的統(tǒng)計(jì)資料按人分地；同時(shí)由于軍事和征稅的需要，各朝代對(duì)于土地、人口、財(cái)產(chǎn)和年齡都有統(tǒng)計(jì)資料可查并

3、繪有圖表。在西方始于公元前3000多年，埃及建造金字塔時(shí)為征集費(fèi)用，對(duì)全國(guó)人口、財(cái)產(chǎn)進(jìn)行全面統(tǒng)計(jì)，到了亞里士多德時(shí)代，統(tǒng)計(jì)逐漸向理性演變，統(tǒng)計(jì)在衛(wèi)生、保險(xiǎn)、貿(mào)易、軍事和行政管理方面的應(yīng)用都有詳細(xì)的記載。其后的發(fā)展出現(xiàn)了分析統(tǒng)計(jì)學(xué)，主要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和推斷。 概率論這門學(xué)科的形成和發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)多世紀(jì)，至今的研究仍十分活躍。1654年，法國(guó)的巴斯卡、費(fèi)爾馬開(kāi)始創(chuàng)立概率論；1657年荷蘭物理學(xué)家惠更斯發(fā)表了論賭博中的計(jì)算的論文，提出了“數(shù)學(xué)期望”的概念；瑞士數(shù)學(xué)家貝努利于1713出版了概率論的第一本著作猜度術(shù)，指出概率是頻率的穩(wěn)定值，確定了大數(shù)定律，構(gòu)成了概率論向更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域的橋梁，把概率論的發(fā)

4、展向前推進(jìn)了一步，他認(rèn)為是概率論的奠基人；1718年英國(guó)數(shù)學(xué)家棣美弗（Demoivre)發(fā)表著作機(jī)遇原理，書中敘述了概率乘法公式和復(fù)合事件概率的計(jì)算方法，并在1733年發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布曲線的概率分布密度函數(shù)；1812年法國(guó)的拉普拉斯（Laplace)出版的分析概率論匯集了17、18世紀(jì)概率論的研究成果，發(fā)現(xiàn)了中心極限定理，是近代概率論的先驅(qū)；1906年俄國(guó)科學(xué)家切比雪夫的學(xué)生馬爾可夫（Makov)觀察了許多自然現(xiàn)象，提出了數(shù)學(xué)模型，從此，許多物理現(xiàn)象如布朗運(yùn)動(dòng)、原子核的連鎖分裂等均可用馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述，而當(dāng)代概率的研究方向主要是各種隨機(jī)過(guò)程及其應(yīng)用。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的興起與發(fā)展來(lái)自概率論的推動(dòng)，以

5、概率論為基礎(chǔ)，以統(tǒng)計(jì)推論為主要內(nèi)容的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，20世紀(jì)才告成熟，從此，人們相信統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法可用于各種科學(xué)的各個(gè)部門，隨著計(jì)算機(jī)的使用，進(jìn)一步推動(dòng)著統(tǒng)計(jì)學(xué)不斷地向著縱深發(fā)展，人們還發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象在微觀世界中比在宏觀世界中更為普遍。第一章隨機(jī)事件與概率第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)現(xiàn)象:必然現(xiàn)象 在一定的條件下，必然會(huì)發(fā)生的現(xiàn)象例如 向上拋一枚硬幣，由于受到地心引力的作用，硬幣上升到某一高度后必定會(huì)下落我們把這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象同樣，任何物體沒(méi)有受到外力作用時(shí)，必定保持其原有的靜止或等速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；導(dǎo)線通電后，必定會(huì)發(fā)熱等等也都是必然現(xiàn)象。 1.1隨機(jī)事件及其概率不可能現(xiàn)象 在一定條件下,一定不會(huì)發(fā)

6、生的現(xiàn)象.例如 在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純水在10。C是結(jié)冰是不可能的， 所以就稱為不可能現(xiàn)象。 同樣，一物體在變力作用下作勻速直線運(yùn)動(dòng)也是不 可能現(xiàn)象。 隨機(jī)現(xiàn)象 : 在給定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，其結(jié)果是無(wú)法事先預(yù)測(cè)的現(xiàn)象 例如: 1.拋擲一枚硬幣，當(dāng)硬幣落在地面上時(shí)，可能是正面（有國(guó)徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬幣落地前我們不能預(yù)知究竟哪一面朝上我們把這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象（或偶然現(xiàn)象） 2.自動(dòng)機(jī)床加工制造一個(gè)零件，可能是合格品，也可能是不合格品； 3. 現(xiàn)象: 一個(gè)盒子中有10個(gè)完全相同的白球,混 合后，任意摸一個(gè). 現(xiàn)象: 一個(gè)盒子中有10個(gè)球,5個(gè)白球5個(gè)黑球, 混合后,任意

7、摸一個(gè) 對(duì)于現(xiàn)象,在沒(méi)有摸之前,我們就可以知道摸出來(lái)的為白球; 而對(duì)于現(xiàn)象在沒(méi)摸之前我們不能肯定摸到的為 什么球,但我們知道只要兩種可能,并且摸的結(jié)果一定是這兩種可能之一.隨著摸球次數(shù)的增大,發(fā)現(xiàn)摸到白球和摸到黑球的機(jī)會(huì)是等可能的. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果 每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè) 在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試 驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性 稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 對(duì)某事物特征進(jìn)行觀察, 統(tǒng)稱試驗(yàn). 若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn) 可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果 試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果 隨機(jī)試驗(yàn) 我們把試驗(yàn)的結(jié)果中發(fā)生的現(xiàn)象稱為事件，在試

8、驗(yàn)的結(jié)果中，可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件通常用字母A，B，C，表示隨機(jī)事件 隨機(jī)事件基本事件 實(shí)驗(yàn)的不可能再分的結(jié)果.每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件. 復(fù)合事件由若干個(gè)基本事件組成的事件特殊的隨機(jī)事件： 必然事件 在一定條件下必定發(fā)生的 事件,記為 不可能事件在一定條件下一定不發(fā)生的事件,記為 .例子拋骰子試驗(yàn) 在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 設(shè)Ai表示“出現(xiàn)i點(diǎn)”事件(i=1,2,3,4,5,6)，記作Ai=出現(xiàn)i點(diǎn), 即A1=出現(xiàn)1點(diǎn)；A2=出現(xiàn)2點(diǎn)；A6=出現(xiàn)6點(diǎn)； 又設(shè)B=出現(xiàn) 奇數(shù)點(diǎn)； C=出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn).顯然 A1，A2，A6都是基本事件， B,

9、C都是復(fù)合事件 A1，A2，A6 ，B，C均為隨機(jī)事件 只要A1,A3,A5中的一個(gè)發(fā)生，事件B就發(fā)生; 只要A2,A4,A6中的一個(gè)發(fā)生，事件C就發(fā)生 例 子例子 隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)事件例 1拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)的結(jié)果.A1=正面朝上, A2=反面朝上例 2 從一批產(chǎn)品中任意取 10個(gè)樣品，觀測(cè)其中的次品數(shù). B=取出的10個(gè)樣品中有1至3個(gè)次品 例 3 記錄某段時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù). C=在該段時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)不超過(guò)8次 例 4 測(cè)量某個(gè)零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差 x（mm）. D=測(cè)得零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差小于 01mm 頻率設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m

10、 次，則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率記作 fn(A),其中m為頻數(shù)試驗(yàn)序號(hào) n=5 n=50 n=500 nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 做“拋擲硬幣”的試驗(yàn)，我們將一枚硬幣拋擲5次、50

11、次、500次，各做10遍，得到數(shù)據(jù)如表1-1所示；其中A=朝上的一面是正面，nA表示事件A發(fā)生的頻數(shù),表示A發(fā)生的頻率 拋硬幣試驗(yàn) ：頻率的性質(zhì) 實(shí)踐證明：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性也就是說(shuō)，在不同的試驗(yàn)序列中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率fn(A)常在某個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng) 在拋硬幣的試驗(yàn)中，“正面朝上”這一隨機(jī)事件A的頻率fn(A)穩(wěn)定在數(shù)字0.5的附近類似的例子還可以舉出很多. 1.1隨機(jī)事件及其概率頻率的穩(wěn)定性試驗(yàn)者 n nA fn(A)德莫根蒲 豐K皮爾遜K皮爾遜 204840401200024000 10612048601912012 0.51810.50

12、690.50160.5005 歷史上不少著名學(xué)者做過(guò)拋擲硬幣試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 如果事件 A 發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某一數(shù)值P的附近擺動(dòng),且隨n的增大,擺動(dòng)幅度越來(lái)越小,則稱P為隨機(jī)事件A的概率,記作P(A)概率的統(tǒng)計(jì)定義也提供了一個(gè)近似計(jì)算概率的方法:當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)有:事件發(fā)生的概 率事件發(fā)生的頻 率 即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí),就常把事件A的頻率作為事件A的概率的“近似值”（或“估值”） 比如：合格率，廢品率，出生率，升學(xué)率，死亡率等等，都是頻率缺點(diǎn)： l建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上 l語(yǔ)言描述模糊，不準(zhǔn)確 l需要大量的試驗(yàn)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)， 可

13、操作性較差優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂1. 0P(A)1; 2. P()=1,P()=0.于是有下列性質(zhì)練習(xí)題 從裝有4個(gè)紅球，1個(gè)白球的口袋中任取兩球 （1）列出該試驗(yàn)所有的基本事件； （2）若設(shè)A=兩個(gè)都是紅球，B=恰有一個(gè)白球，分別列出事件A、B所包含的基本事件解:（1）把紅球編號(hào)為、,把白球編號(hào)為，于是該實(shí)驗(yàn)所有的基本事件為：, 即基本事件總數(shù)為10個(gè)（2）A=, B=,第二節(jié)古 典 概 型例1 某人從甲地到乙地可乘火車，汽車或輪船，一天中，從甲地到乙地的火車有五班，汽車有3班，輪船有2班問(wèn)此人從甲地到乙地去共有多少種不同的方法？一 排列與組合1 乘法原理兩個(gè)基本原理解 : 該人從甲地到乙地去的方

14、式有三類：乘火車，乘汽車，或乘輪船 第一類方式有5種不同的走法. 第二類方式有3種不同的走法. 第三類方式有2種不同的走法. 每一種走法都可以從甲地到乙地所以，此人從甲地到乙地去共有：5+3+2=10 種不同的走法 如果完成一件事有n類方式， 第一類方式中有m1種不同的方法 第二類方式中有m2種不同的方法， 第n類方式中有mn種不同的方法 并且每一種方法都能獨(dú)立地完成這件事 那么完成這件事共有： 種不同的方法加法原理 兩個(gè)基本原理 某人從學(xué)校回家必經(jīng)過(guò)甲村如果從學(xué)校到甲村有2條路可走，從甲村到他家有3條路可走某人從學(xué)?；丶夜灿袔追N不同的走法?2 乘法原理例2:解 :某人從學(xué)?；丶?，必須分兩個(gè)步

15、驟成 第一步從學(xué)校到甲村，有3 種走法 第二步從甲村回家有2種走法所以，某人回家共有： 種不同的走法23=6如果完成一件事需分成n個(gè)步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成二步有m2種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，在依次完成這n個(gè)步驟后，這件事才能完成，那么完成這件事共有： 種不同的方法乘法原理排列例3 : 由數(shù)字1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解組成一個(gè)三位數(shù)可分三步完成第一步確定百位上的數(shù)字，可以從1，2，3，4中任選 一個(gè)，共有4種不同的方法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于不能重復(fù)，所以只能從 剩下的3個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，共有3種不同的方法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)

16、字，可從剩下的2個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，共有2種不同的方法 根據(jù)乘法原理，組成符合條件的三位數(shù)的方法共有（種），即可以組成24個(gè)不同的三位數(shù)定義3 從n個(gè)不同的元素中，任取m (m n)個(gè)不同的元素按照一定的順序排成一排，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的一個(gè)排列 當(dāng)m0時(shí)，P(B|A)=P(B) 即B對(duì)A也是獨(dú)立的. 從而稱A與B是相互獨(dú)立的. 若n個(gè)(n2)事件 中的任何一個(gè)事件是否發(fā)生都不受到其它 m (m=1,2,n-1)個(gè)事件是否發(fā)生的影響，則稱事件是相互獨(dú)立的 事件A與B是否相互獨(dú)立，一般根據(jù)實(shí)際意義來(lái)判定. 2、兩個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì) 設(shè)事件A與B是相互獨(dú)立，則 （1）P(AB)=

17、P(A)P(B); 當(dāng)P(A)0，P(B)0時(shí)，這也是A與B是相互獨(dú)立的充要條件. （2）A與 、 與 B、 與 也相互獨(dú)立. 證明 （1）直接由定義可知，現(xiàn)在來(lái)證明（2）由于 且所以有 故和互相獨(dú)立三事件 A, B, C 相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立 (1)(2)A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 定義3、n個(gè)事件相互獨(dú)立的概念 若n個(gè)(n2)事件 中的任何一個(gè)事件是否發(fā)生都不受到其它m(m=1,2,n-1)個(gè)事件是否發(fā)生的影響，則稱事件 是相互獨(dú)立的4、n個(gè)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)

18、設(shè)n個(gè)事件Ai(i=1,2,n)相互獨(dú)立，則P(A1A2An)=P(A1) P(A2)P(An) 注：當(dāng)n個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí),它們必是兩兩獨(dú)立的(即任取兩個(gè)也是相互獨(dú)立的),但反之不真. n重Bernoulli試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn) k 次的概率 記為且獨(dú)立試驗(yàn)序列 每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān) 稱為這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 試驗(yàn)可重復(fù) n 次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果： n重貝努利（ Bernoulli）概型例如連續(xù)拋骰子10次，觀察出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)；某人打靶命中率為0.7，連續(xù)打靶15發(fā)子彈，觀察命中次數(shù)；在次品率為0.1的一批產(chǎn)品中，有放回地每次任取1件，重復(fù)8次，觀察其中的次品數(shù).以上

19、幾例都是多重貝努利試驗(yàn). 一般地，若則l 1.5.1全概公式如果事件 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，并且 ,則對(duì)于任一事件B，有 1.5全概公式與逆概公式稱為全概公式第五節(jié)全概公式與逆概公式證明 由事件 為一個(gè)完備事件組，可得 又由 是兩兩互不相容，可得 也兩兩互不相容于是根據(jù)加法公式的推論1得 再由乘法公式，即得 例 三門火炮向同一目標(biāo)射擊，設(shè)三門火炮擊中目標(biāo)的概率分別為0.3，0.6，0.8若有一門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.9試求目標(biāo)被摧毀的概率解 設(shè)事件B=目標(biāo)被摧毀 顯然，A1，A2，A3構(gòu)成一

20、個(gè)完備事件組，由全概公式可得：依題意知應(yīng)用全概率公式,得 l 1.5.2逆概公式 下面要介紹的逆概公式是全概公式的逆問(wèn)題：若已知“結(jié)果”B已經(jīng)發(fā)生了,要求某一種“原因”Aj發(fā)生的概率 設(shè) 構(gòu)成一個(gè)完備事件組,則對(duì)于任一事件B,且 有此公式稱為逆概公式（或貝葉斯(Bayes)公式） 證明 由條件概率的定義及乘法公式有由此,可得再將全概率公式代入上式, 即得例 設(shè)8支槍中有3支沒(méi)有經(jīng)過(guò)試射校正，5支經(jīng)過(guò)試射校正一射手用校正過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.8，用未校正的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.3，今從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶求所用的這支槍是經(jīng)過(guò)校正過(guò)的概率解設(shè)A1=槍經(jīng)過(guò)試射校正A2=槍沒(méi)

21、有經(jīng)過(guò)試射校正，則A1，A2構(gòu)成完備事件組由題意知P（A1）=5/8， P（A2）=3/8， 由全概公式可得:又由逆概公式得 本章在介紹了隨機(jī)事件及其運(yùn)算、概率的統(tǒng)計(jì)定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了古典概率、條件概率、概率的加法公式與乘法公式、全概公式與逆概公式.一、主要概念隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)事件，基本事件，隨機(jī)事件的頻率、概率，古典概率，事件間的關(guān)系與運(yùn)算，概率的加法公式，條件概率，乘法公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立試驗(yàn)序列，全概公式和逆概公式二、基本內(nèi)容1隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象、必然現(xiàn)象、不可能現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)）、基本事件、復(fù)合事件、隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件）隨機(jī)事件通常用大寫字母A,B,C,D，表示必然事件常用表示不可能事件常用表示2事件間的關(guān)系包含、相等、和（并）、積（交）、差、逆、互不相容. 本章內(nèi)容小結(jié) 3事件的運(yùn)算律 交換律 A+B =B+ A ； AB=BA 結(jié)合律 A+（B+C 分配律 （1） A（B+C）=AB+AC （第一分配律）； （2） A+BC=（A+B）（A+C）（第二分配律） 對(duì)偶律二、事件的概率1、概率的統(tǒng)計(jì)定義設(shè)在不變