專題07：A型相似三角形（老師版）

1、專題07：A型相似三角形-2022年中考數(shù)學解題方法終極訓練一、單選題1如圖，在ABC中，DEBC，若AE2，EC3，則ADE與ABC的面積之比為（）A4：25B2：3C4：9D2：5【答案】A【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到ADEABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案【詳解】解：AE=2，EC=3，AC=AE+EC=5，DEBC，ADEABC，故選：A【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵2如圖，已知若的面積為，則的面積為（）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，代入求出即可【詳解】解：ADEAB

2、C，AD：AB1：3，ABC的面積為9，SADE1，故選：A【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)定理，能熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解此題的關(guān)鍵3直線l1l2l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（）ABCD【答案】A【解析】分別過點A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，可得AF=4，先根據(jù)全等三角形的判定定理得出BCECAF，故可得出CF及CE的長，在RtACF中根據(jù)勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的長，在R

3、tBCD中根據(jù)勾股定理即可求出BD的長【詳解】分別過點A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，垂足為F、E、G，l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，AF=4，BE=DG=3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90，BCE+FCA90，F(xiàn)CA+CAF90，EBCFCA，BCECAF，在BCE與ACF中，BCECAF，CF=BE=3，AC=5，AFl3，DGl3，CDGCAF，即，解得：CD=，BD=故選：A【點評】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵4如圖在ABC中，DEBC，B=ACD，則圖中相似三角形有（）A2對

4、B3對C4對D5對【答案】C【解析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論【詳解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4對，故選：C【點評】本題考查了相似三角形的判定注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用，注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似5如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形若DE=2cm，則AC的長為 ( )AcmB4cmCcmDcm【答案】D【解析】【詳解】點D、E分別是邊AB、AC的中點，DE=BC，DE

5、=2cm，BC=4cm，AB=AC，四邊形DEFG是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC=，AC=2cm故選D二、填空題6如圖，矩形 ABCD 中，AC 為對角線，E、F 分別為邊 AB、CD 上的動點，且 于點 M，連接 AF、CE，求的最小值是_【答案】5【解析】AF與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，作，且，連接AG，又因點F是DC上是一動點，由三角形的邊與邊關(guān)系，只有當點F在直線AG上時，最小，由平行四邊形CEFG可知時，可求的最小值【詳解】解：如圖所示：過點C作，且，連接FG，設(shè)，則,當點A、F、G三點共線時，的最值小，且，四邊形CEFG是平行四

6、邊形；，又點A、F、G三點共線，又四邊形ABCD是矩形，四邊形AECF是平行四邊形，又，四邊形AECF是菱形，在中，由勾股定理得：，又，則，解得：，在中，由勾股定理得，所以 ，又， ，即，又，即最小值是5，故答案為：5【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理和最短距離問題等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與判定7如圖，正方形邊長為，點是上一點，且，連接，過作，垂足為，交對角線于，將沿翻折得到，交對角線于，則_【答案】【解析】過點G作GRBC于R，過點H作HNBC交BD于N，由正方形性質(zhì)可證明：ABEFCB，由勾股定理可求BF

7、，由翻折性質(zhì)可得HGCBGC，進而可證明：BHNBED，可求得HN，再由HNMCBM，可求得，再由CGRCBF即可求得結(jié)論【詳解】解：如圖，過點作于，過點作交于則， 正方形 ， 在中， ，即 ，由翻折知：， ，即 ， 是等腰直角三角形，設(shè)，則， ，即，解得 ，故答案為：【點評】本題考查了正方形性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點；解題關(guān)鍵是利用平行線證明相似三角形進行轉(zhuǎn)化，有一定難度，屬于中考填空壓軸題類型8如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為_【答案】【解析】延長BE交AC于點F，

8、過D點作，由可得此時為等腰直角三角形，E為CD的中點且，則，在等腰中，根據(jù)勾股定理求得，長度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，【詳解】如下圖，延長BE交AC于點F，過D點作，為等腰由題意可得E為CD的中點，且，在等腰中，又，在， （AAS），故答案為：【點評】本題考察了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求對應邊的長度，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，綜合運用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵9如圖，在中，D是AB上一點，點E在BC上，連接CD，AE交于點F若，則_【答案】2【解析】過D作DH垂直AC于H點，過D作DGAE交BC于G點，先利用解直角三角形求出CD的長，其次

9、利用CDGCBD,求出CG的長，得出BG的長，最后利用BDGBAE，求出BE的長，最后得出答案【詳解】解：過D作DH垂直AC于H點，過D作DGAE交BC于G點，在直角三角形ABC中，AB=，又，AD= ，在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，CH=62=4，在RtCHD中，CD=，AEDG，CFE=CDG=45，B=45，CDG=B，又DCG=BCD，CDGCBD， ，即20=6CG，CG= ，BG=BCCG=6=，又DGAE，BDGBAE，又，又BG=，BE=BG=4，CE=64=2，故答案為：2【點評】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

10、出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應邊成比例求出答案10如圖，在中，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點運動；同時，動點從點出發(fā)沿方向以每秒的速度向終點運動，將沿翻折，點的對應點為點，設(shè)點運動的時間為秒，若四邊形為菱形，則的值為_【答案】3【解析】如圖：連接PP交BC于O，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得；設(shè)，則，可得，CQ=9-t，然后由菱形的性質(zhì)得，；然后再利用PO/AC可得，最后得到關(guān)于t的方程并求解即可【詳解】解：如圖：連接PP交BC于O，ACB=90，AC=BC=9cm，又設(shè)，則，CQ=9-t四邊形為菱形PO/AC，即，解得t=3故答案為3【點評】本題考查了對稱變換、菱形的性質(zhì)和平行線

11、分線段成比例定理，掌握、菱形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解答本題的關(guān)鍵三、解答題11如圖，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts（1）求t為何值時，AMN的面積是ABD面積的；（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與ABD相似時，求t值【答案】（1），；（2）t3或【解析】（1）由題意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，根據(jù)三角形的面積公式列出方程可求出答案；（2）分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值【詳解

12、】解：（1）由題意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面積ANAM（122t）t6tt2，A90，AB6cm，AD12cmABD的面積為ABAD61236，AMN的面積是ABD面積的，6tt2，t26t+80，解得t14，t22，答：經(jīng)過4秒或2秒，AMN的面積是ABD面積的；（2）由題意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，若AMNABD，則有，即，解得t3，若AMNADB，則有，即，解得t，答：當t3或時，以A、M、N為頂點的三角形與ABD相似【點評】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應用，正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵12

13、如圖，在平行四邊形ABCD中，ADAC，ADC，點E為射線BA上一動點，且AEAB，連接DE，將線段DE所在直線繞點D順時針旋轉(zhuǎn)交BA延長線于點H，DE所在直線與射線CA交于點G（1）如圖1，當60時，求證：ADHCDG；（2）當60時，如圖2，連接HG，求證：ADCHDG；若AB9，BC12，AE3，請直接寫出EG的長【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；EG的長為或【解析】（1）ADAC，ADC60，可證ACD為等邊三角形，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可得AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，可得HAD=B=60=GCD，由GDH=CDA=60，可證HAD =CDG

14、，即可證ADHCDG（ASA）；（2）根據(jù)ADAC，ADC，可得ACD=ADC，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，可得ADBC，可得HAD=ADC=GCD，由GDH=ADC，可得ADH =CDG即可；根據(jù)點E的位置分兩種情況，當點E在AB上時，過C作CNAB于N，過G作GMAE于M，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，可證AGECGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得AN=BN=，根據(jù)勾股定理CN=，由GMCN，再證AMGANC，可求,，EM=AE-AM=，根據(jù)勾股定理EG=，當點E在BA延長線上，過C作CNAB

15、于N，過G作GMAE于M，由AECD，GAEGCD，可求GA=6，由GMCN，可證GMACNA，可得，EM=AE-AM=3-，根據(jù)勾股定理EG=【詳解】（1）證明：ADAC，ADC60，ACD為等邊三角形，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，HAD=B=60=GCD，GDH=CDA=60，HDA+ADG=CDG+ADG=60，HDA =CDG，在ADH和CDG中ADHCDG（ASA）；（2）證明：ADAC，ADC，ACD=ADC，四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，HAD=ADC=GCD，GDH=ADC，ADH+ADG=CDG+ADG=，ADH =

16、CDG，ADHCDG；解：當點E在AB上時，過C作CNAB于N，過G作GMAE于M，四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，EAG=DCG，AEG=CDG，AGECGD，AD=AC=12，AG+CG=AG+3AG=4AG=12，AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根據(jù)勾股定理CN=，GMCN，AMGANC，,，EM=AE-AM=，在RtMGE中，根據(jù)勾股定理EG=，當點E在BA延長線上，過C作CNAB于N，過G作GMAE于M，AECD，GAE=GCD，GEA=GDC，GAEGCD，AC=GC-GA=

17、3GA-GA=2GA=12,GA=6，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根據(jù)勾股定理CN=，CNAB， GMAE，GMCN，GMACNA，EM=AE-AM=3-，在RtGME中，根據(jù)勾股定理EG=，綜合EG的長為或【點評】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，本題難度角度，利用輔助線畫出準確圖形，掌握以上知識是解題關(guān)鍵13已知：矩形ABCD中，AB9，AD6，點E在對角線AC上，且滿足AE2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N（1）當CF2時，求線段BN的長；（2）若

18、設(shè)CFx，BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值【答案】（1）BN10；（2），0 x3；，3x4.5；（3）x2或或【解析】（1）由得CFEAME，NCFNBM，進而求得；（2）分為0 x3和3x4.5兩種情形，作EGBC于G，根據(jù)三角形相似求出EG和BN；（3）分為BMBE，EMBE，ENBM三種，可根據(jù)BM92CF求得【詳解】解：（1）如圖1，在矩形ABCD中，BCAD6， CFEAME，NCFNBM，, AM2CF4，BMABAM5， BN10；（2）當CFBM時，此時BEN不存在，CF92CF，

19、CF3，當點M和B點重合時，AB2CF，CF4.5，分為0 x3和3x4.5，如圖2，當0 x3時，作EGBC于G，由（1）知，EG3，AM2CF2x，BM92x，由得， ， y；如圖3，當3x4.5時，由得， CN， y； （3）如圖4， CGCB2， GBCBCG4，BE5，當BMBE5時，92x5，x2，如圖5，當EMEB5時，作EHAB于H，BM2BH2EG6，92x6，x=， 如圖6，當EMBM時，作MHBE于H，在RtBMH中，BH，cosMBHcosBEG， BM，92x， x，綜上所述：x2或或【點評】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理解直角三角形，矩形的性

20、質(zhì)，正確引出輔助線及掌握分類思想解決問題是解題的關(guān)鍵14如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B的坐標分別為A(4，0)、B(4，3)，動點M、N分別從點O、B同時出發(fā)，以1單位/秒的速度運動(點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動)，過點N作交AC于點P，連結(jié)MP（1）直接寫出OA、AB的長度；（2）試說明；（3）在兩點的運動過程中，求的面積S與運動的時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出時，運動時間t的值 【答案】（1）；（2）見解析；（3），2【解析】（1）根據(jù)點A、B的坐標即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得；（3）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、線段的和差可得，

21、再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，由此可得的AM邊上的高為，然后利用三角形的面積公式可得與的函數(shù)關(guān)系式，最后解一元二次方程可得的值【詳解】（1），；（2），；（3）由題意得：，且，則，四邊形OABC是矩形，即，解得，的AM邊上的高為，即，當時，解得，故的值為2【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、求二次函數(shù)的自變量等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵15已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使得AEAB，聯(lián)結(jié)DE、AC點F在線段DE上，聯(lián)結(jié)BF，分別交AC、AD于點G、H（1）求證：BGGF；（2）如果AC2AB，點F是DE的中

22、點，求證：AH2GHBH【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得ABCDAE，ABCD，可證四邊形ACDE是平行四邊形，可得，可得結(jié)論；（2）由“SAS”可證BEFDEA，可得EBFEDA，通過證明AHGBHA，可得結(jié)論【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，ABAE，AECD，四邊形ACDE是平行四邊形，ACDE，BGGF；（2）ABAE，BE2AE，AC2AB，BEAC，四邊形ACDE是平行四邊形，ACDE，DEBE，點F是DE的中點，DE2EF，AEEF，DEBE，EE，AEEF，BEFDEA（SAS），EBFEDA，AC

23、DE，GAHEDAEBFGAHAHGBHA，AHGBHA，AH2GHBH【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵16如圖，在矩形的邊上取一點，連接并延長和的延長線交于點，過點作的垂線與的延長線交于點，與交于點，連接（1）當且時，求的長；（2）求證：；（3）連接，求證：【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）根據(jù)已知條件先求出CE的長，再證明，在RtCHE中解三角形可求得EH的長，最后利用勾股定理求CH的長；（2）證明，進而得出結(jié)果；（3）由（2）得，進而，即，再結(jié)合，可得出，進一步得出結(jié)果.【詳

24、解】（1）解：矩形，.而，又，易得.，.（2）證明：矩形，而，；（3）證明：由（2）得，即，而，【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本的概念與性質(zhì).17如圖，在ABC中，C90，ACBC4，P，Q兩點同時從C出發(fā)，點P 以每秒2個單位長度的速度沿CB向終點B運動；點Q 以每秒1個單位長度的速度沿CA向終點A運動，以CP，CQ為鄰邊作矩形CPMQ當點P停止運動時，點Q繼續(xù)向終點A運動設(shè)點Q的運動時間為t秒（1）在點P的運動過程中，CQ_，BP_（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當點M落在AB邊上時，t _s；（3）設(shè)矩形CPMQ與ABC重合部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；【答案】（1）t，42t；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系即可求解；（2）先由運動知，再判斷出得出比例式，建立方程即可得出結(jié)論；（3）分三種情況，當時，直接是矩形的面積，當時，利用面積的差即可得出結(jié)論，當時，利用面積的差即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）點以每秒2個單位長度的速度沿向終點運動，點以每秒1個單位長度的速度沿向終點運動，故答案為：，；（2），四邊形是矩形，當點在邊上時，故答案為：；（3）當時，如圖，；當時，如圖，設(shè)與相交于點，設(shè)與相交于點則，；當時，如圖，設(shè)與相交于點則綜上所述：【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了直角三角形的性