2021-2022學年江蘇省南通市高三沖刺模擬數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點，過點作圓的切線，與雙曲線的左、右兩支分別交于點，若，則雙曲線漸近線的斜率為（ ）ABC

2、D2已知函，則的最小值為（ ）AB1C0D3古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28恰好在同一組的概率為 ABCD4已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD5若復數(shù)滿足，則（ ）ABCD6復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（ ） A1B2C3D48命題：存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是

3、（ ）ABCD9 “幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期大戴禮中“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）則“5階幻方”的幻和為（ ）A75B65C55D4510某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）AB3CD411設(shè)集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知向量，滿足，則向量在的夾角為_.14已知函數(shù)若關(guān)于的

4、不等式的解集為，則實數(shù)的所有可能值之和為_.15一個袋中裝著標有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從中任意摸取3個小球，每個小球被取出的可能性相等，則取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率是_16已知集合，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，已知橢圓C:x24+y2=1，F(xiàn)為其右焦點，直線l:y=kx+m(km0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明：原點O到直線l的距離為定值.18（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）

5、直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.19（12分）已知，.（1）解；（2）若，證明：.20（12分）已知滿足 ，且，求的值及的面積.（從，這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）21（12分）對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;()對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同

6、的.)22（10分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點且（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大小參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，根據(jù)勾股定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：切點為，連接，作軸于，故，在中，故，故，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2B【解析】，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，故當，即時，.故選：B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，

7、涉及到二倍角公式的應用，是一道中檔題.3B【解析】推導出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率【詳解】解：將五個“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，6和28恰好在同一組的概率故選：B【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題4A【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域為，所

8、以，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，得，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.5B【解析】由題意得,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】設(shè),則,可得,即可得到,進而找到對應的點所在象限.【詳解】設(shè),則,所以復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為,在第二象限.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在象限,考查復數(shù)的模,考查運算能力.7D【解析】a，b可看成是與和交點

9、的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，作出圖象如圖，由，的圖象可知，正確；，有，正確；，有，正確；，有，正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.8A【解析】分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題. 、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻

10、方”的幻和為，故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應用，屬于基礎(chǔ)

11、題.12B【解析】取的中點，連接、，推導出，設(shè)設(shè)球心為，和的中心分別為、，可得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設(shè)球心為，和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】把平方利用數(shù)量積的運算化簡即得解.【詳

12、解】因為，所以，因為所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，考查向量的夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14【解析】由分段函數(shù)可得不滿足題意；時，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，時，時，當關(guān)于的不等式的解集為，可得不成立，時，時，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個交點綜上可得的所有值的和為1故答案為：1【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題15【解析】由題，得滿足題目要求的

13、情況有，有一個數(shù)字4，另外兩個數(shù)字從1，2，3里面選和有兩個數(shù)字4，另外一個數(shù)字從1，2，3里面選，由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類：有一個數(shù)字4，另外兩個數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況；有兩個數(shù)字4，另外一個數(shù)字從1，2，3里面選，一共有種情況，又從中任意摸取3個小球，有種情況，所以取出的3個小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為：【點睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力.16【解析】由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數(shù)，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)

14、是本題解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (I) |FP|=2-32x【解析】(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II) 設(shè)Ax3,y3，Bx4【詳解】(I) 橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3，B4k2+1x2OA=OB，故y3PA=PF，故1+k由已知得：x3x故1+k即1+k2故原點O到直線l的距離為d=m【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18（1）；（2）.【解析】（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結(jié)論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲

15、線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系，考查化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19（1）；（2）見解析.【解析】（1）在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式，解此二次不等式即可得出結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】（

16、1），由得，不等式兩邊平方得，即，解得或.因此，不等式的解集為；（2），由絕對值三角不等式可得.因此，.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用絕對值三角不等式證明不等式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.20見解析【解析】選擇時：,，計算，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇時，故，為鈍角，故無解；選擇時，根據(jù)正弦定理解得，根據(jù)正弦定理得到，計算面積得到答案.【詳解】選擇時：,，故.根據(jù)正弦定理：，故，故.選擇時，故，為鈍角，故無解.選擇時，根據(jù)正弦定理：，故，解得，.根據(jù)正弦定理：，故，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和

17、綜合應用能力.21 () ，；() 為偶數(shù)時，為奇數(shù)時，；()證明見解析，【解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.() 討論當為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時， 根據(jù)對應關(guān)系得到，再計算，得到答案.【詳解】()整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，.()當為偶數(shù)時，時，最大為；當為奇數(shù)時，時，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.()當為奇數(shù)時，至少存在一個全為1的拆分，故；當為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.22（1）；（2）.【解析】(1) 以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系, 設(shè)底面正方形邊長為再求