導(dǎo)數(shù)的概念教案復(fù)習(xí)過(guò)程

1、導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 教 案精品文檔【教學(xué)課題 】：2.1 導(dǎo)數(shù)的概念 （第一課時(shí)）【教學(xué)目的 】： 能使同學(xué)深刻懂得在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念,能精確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何說(shuō)明；能夠從定義動(dòng)身求某些 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連 續(xù)的關(guān)系；【教學(xué)重點(diǎn) 】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義；【教學(xué)難點(diǎn) 】： 在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)定義及其應(yīng)用；【教學(xué)方法 】：系統(tǒng)講授,問(wèn)題教學(xué),多媒體的利用等；【教學(xué)過(guò)程 】：一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回憶 導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐；導(dǎo)數(shù)的思想最初是 由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（ Fermat）為爭(zhēng)論極值問(wèn)題而引入的,但導(dǎo)數(shù)作為微

2、積分的最主要的概念,卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在爭(zhēng)論力學(xué)與幾何學(xué)的過(guò)程中建立起來(lái)的；二）兩個(gè)來(lái)自物理學(xué)與幾何學(xué)的問(wèn)題的解決 問(wèn)題 1 （以變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動(dòng)方程為：s t 12 gt ,t0,T ,求：落體在0t 時(shí)刻（t00,T ）的瞬時(shí)2速度；收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除精品文檔0tt問(wèn)題解決：設(shè) t 為0t 的鄰近時(shí)刻,就落體在時(shí)間段t0, t （或 , t t0）上的平均速度為vs t s t00tt0如tt 時(shí)平均速度的極限存在,就極限lim t t 0s t ts tvt0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0

3、t 的瞬時(shí)速度；問(wèn)題 2 （以曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的問(wèn)題的解決為背景）已知：曲線yfx上點(diǎn)Mx 0,y 0,求： M 點(diǎn)處切線的斜率；下面給出切線的一般定義；設(shè)曲線C 及曲線 C 上的一點(diǎn) M ,如圖,在 M外 C 上另外取一點(diǎn) N ,作割線 MN ,當(dāng) N 沿著 C 趨近點(diǎn) M 時(shí),假如割線 MN 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT ,直線 MT 就稱為 曲線 C 在點(diǎn) M 處的切線；問(wèn)題解決：取在 C 上 M 鄰近一點(diǎn) N x y ,于是割線 PQ 的斜率為tan y y 0 f x f x 0 （為割線 MN 的傾角）x x 0 x x 0收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除精品文檔當(dāng)

4、xx0時(shí),如上式極限存在,就極限0（為割線 MT 的傾角）ktanlim x x0f x f xxx 0為點(diǎn) M 處的切線的斜率；上述兩問(wèn)題中,第一個(gè)是物理學(xué)的問(wèn)題,后一個(gè)是幾何學(xué)問(wèn)題,分屬不同的學(xué)科,但問(wèn)題的解決都?xì)w結(jié)到求形如x lim x 0fxfx0）（1）xx 0的極限問(wèn)題；事實(shí)上,在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)覺(jué),在運(yùn)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問(wèn)題中,盡管其背景各不相同,但最終都化歸為爭(zhēng)論形如（1）的極限問(wèn)題；也正是這類問(wèn)題的爭(zhēng)論,促使“ 導(dǎo)數(shù)” 的概念的產(chǎn)生；三）導(dǎo)數(shù)的定義定義 設(shè)函數(shù) y f x 在 x 的某鄰域內(nèi)有定義,如極限f x f x 0）x lim x 0 x x 0存在,

5、就稱 函數(shù) f 在點(diǎn) x 處可導(dǎo) ,并稱該極限為 f 在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù) ,記作f x 0 ；即f x f x 0）f x 0 x lim x 0 x x 0（2）也可記作 y x x o,dydx x x o,df xdx x x o；如上述極限不存在,就稱 f 在點(diǎn) 0 x 處不可導(dǎo)；f 在0 x 處可導(dǎo)的等價(jià)定義：x0,假如設(shè)xx0 x ,yfx0 xfx0,如xx 就等價(jià)于函數(shù) f 在點(diǎn)x 處可導(dǎo),可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除精品文檔fx 0 x lim x 0f x f x0）fx0lim x0y（3）（4）（5）xx 0 xfx 0lim x 0

6、f x 0 xf x 0）xfx 0lim f x 0 0f x 0）四）利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)例子1 1, 處的切線方例1求fxx2在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù),并求曲線在點(diǎn)程；解由定義為f1lim x 0ylim x0f1x f1lim x01x 21xxxlim x 02xxx2lim x02x 2于是曲線在 1,1 處的切線斜率為2,所以切線方程為y12x1 ,即y2x1；例 2 設(shè)函數(shù)f x 為偶函數(shù),f0存在,證明：f00；證Qf fxfxfx又f0lim x 0f0 xf0lim x 0fx xf0 xlim x 0fx f0lim x 0f0 x f0f0 xxf00留意：fx 0lim

7、 f x 00f x 0）這種形式的敏捷應(yīng)用；此題的x ；收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除精品文檔x sin 1 , x 0例 3 爭(zhēng)論函數(shù) f x x 在 x 0 處的連續(xù)性,可導(dǎo)性；0 , x 0解 第一爭(zhēng)論 f x 在 x 0 處的連續(xù)性：lim x 0 f x lim x 0 x sin 1x 0 f 0即 f x 在 x 0 處連續(xù)；再爭(zhēng)論 f x 在 x 0 處的可導(dǎo)性：lim x 0 f 0 xx f 0 lim x 0 x sinx 1x 0lim sin x 0 1x 此極限不存在即 f x 在 x 0 處不行導(dǎo)；問(wèn) 怎樣將此題的 f x 在 x 0 的表達(dá)式稍作修改,變

8、為 f x 在 x 0 處可導(dǎo)？x n 1sin 1 , x 0答 f x x n 1,2,3 L ,即可；0 , x 0四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由上題可知；在一點(diǎn)處連續(xù)不肯定可導(dǎo)；反之,如設(shè)fx 在點(diǎn)0 x 可導(dǎo),就lim x 0yfx 0 x由極限與無(wú)窮小的關(guān)系得：所以當(dāng)x0 ,有yyfx0 xo x ,0 ；即 f 在點(diǎn)x 連續(xù)；五）故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不肯定可導(dǎo),可導(dǎo)肯定連續(xù)；單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念例 4 證明函數(shù)fx|x|在x0處不行導(dǎo)；fx f 0 lim x 0 x1證明Qlim x 0fx f0 lim x 0 x1,lim x 0 x0 xx0 xlim x 0f x xf

9、0極限不存在；0故fx|x|在x0 處不行導(dǎo)；在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處,不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系治理員刪除精品文檔定義 設(shè)函數(shù)yfx在點(diǎn)x 的某右鄰域x0 x0上有定義,如右極限lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 0）（0 x）xx存在,就稱該極限為f 在點(diǎn)x 的右導(dǎo)數(shù) ,記作fx0；左導(dǎo)數(shù)fx 0lim x 0y；x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 單側(cè)導(dǎo)數(shù) ；導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ：如函數(shù) y f x 在點(diǎn) x 的某鄰域內(nèi)有定義,就f x 0 存在 f x 0 ,f 0 x 都存在,且 f x 0 = f x 0 ；1 cos x , x 0例 5 設(shè) f x ,爭(zhēng)論 f x 在 x 0 處的可導(dǎo)性；x , x 0解 由于 f x 0 x f x 0 1 cos xf 0 lim lim 0 x 0 x x 0 x f x 0 x f x 0 xf 0 lim lim 1x 0 x x 0 x 從而 f 0 f 0 ,故 f x 在 x 0 處不行導(dǎo)；六）小