高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第1章專題7 用空間向量求二面角點(diǎn)面距?？碱}型專題練習(xí)

1、用空間向量求解二面角，點(diǎn)面距考向一 用坐標(biāo)法求二面角1、如圖，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，則，所以 設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，則，由，所以， 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，解得，令，則， 所以，平面與平面所成銳二面角的平面角為，則，將分子、分母同除以，可得 令，當(dāng)時(shí)，則的最大值為：.故選：D2、如圖，菱形ABCD的

2、對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECFeq f(5,4)，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF位置，ODeq r(10).(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的余弦值解(1)證明：由四邊形ABCD為菱形，得ACBD.由AECFeq f(5,4)，得eq f(AE,AD)eq f(CF,CD)，所以EFAC.因此EFDH，從而EFDH.由AB5，AC6，得DOBOeq r(AB2AO2)4.由EFAC得eq f(OH,DO)eq f(AE,AD)eq f(1,4)，所以O(shè)H1，DHDH3，則OD2OH2DH2，所以DHOH.又OHEF

3、H，所以DH平面ABCD.(2)以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB，HF，HD分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz，如圖所示則B(5,0,0)，C(1,3,0)，D(0,0,3)，A(1，3,0)，(由口訣“起點(diǎn)同”，我們先求出起點(diǎn)相同的3個(gè)向量)所以eq o(AB,sup7()(4,3,0)， eq o(AD,sup7()(1,3,3)，eq o(AC,sup7()(0,6,0)(由口訣“棱排前”，我們用行列式求出兩個(gè)平面的法向量)由eq blcrc (avs4alco1(eq o(AD,sup7()1，3，3，, eq o(AB,sup7()4，3，0，)可得平面ABD的法向量n1(3,4，

4、5)，由eq blcrc (avs4alco1(eq o(AD,sup7()1，3，3，, eq o(AC,sup7()0，6，0，)可得平面ADC的法向量n2(3,0，1)于是cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(7r(5),25).所以二面角BDAC的余弦值為eq f(7r(5),25).3、如圖所示，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E為線段BD上的一點(diǎn)，且EBEDECBC，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.(1)若G為PD的中點(diǎn)，求證：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求二面角BCPD的余弦值解：(1)證明：在BCD中，EBEDECBC，故

5、BCD90，CBEBEC60.DABDCB，BADBCD90，ABECBE60，F(xiàn)EDBECABE60.ABEF，EFDBAD90，EFAD，AFFD.又PGGD，GFPA.又PA平面ABCD，GF平面ABCD，AD平面ABCD，GFAD.又GFEFF，AD平面CGF.又AD平面PAD，平面PAD平面CGF.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，eq r(3)，0)，D(0,2eq r(3)，0)，P(0,0,3)，故eq o(CB,sup7()(1，eq r(3)，0)， eq o(

6、CP,sup7()(3，eq r(3)，3)，eq o(CD,sup7()(3，eq r(3)，0)設(shè)平面BCP的一個(gè)法向量為n1(1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(n1eq o(CB,sup7()0，,n1eq o(CP,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(1r(3)y10，,3r(3)y13z10，)解得eq blcrc (avs4alco1(y1f(r(3),3)，,z1f(2,3)，)即n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(3),3)，f(2,3).設(shè)平面DCP的一個(gè)法向量為n2(1，y2，z2)，則eq blcrc

7、 (avs4alco1(n2eq o(CD,sup7()0，,n2eq o(CP,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(3r(3)y20，,3r(3)y23z20，)解得eq blcrc (avs4alco1(y2r(3)，,z22，)即n2(1，eq r(3)，2)所以cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(f(4,3),r(f(16,9)r(8)eq f(r(2),4)，由圖知二面角BCPD為鈍角，所以二面角BCPD的余弦值為eq f(r(2),4).4、如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，(1)

8、求的長(zhǎng)；(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值【答案】(1) ；(2)【解析】因?yàn)槎嗝骟w是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，所以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，連結(jié),交于，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以,所以的長(zhǎng)為.(2)根據(jù)題意可取平面的一個(gè)法向量為，由(1)知，設(shè)平面的法向量為，則由，得，即，令，則，所以，所以，所以平面與底面所成銳二面角的余弦值為.5、如圖，四棱錐中，平分.（1）設(shè)E是的中點(diǎn)，求證：平面；（2）設(shè)平面，若與平面所成的角為45，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】

9、（1）證明：，即能被平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，且平面，平面；（2）因?yàn)槠矫?，且平面，故為與平面所成的角，故，從而.不妨設(shè)，由已知可得，到的距離為.以A坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.平面，又，平面是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得即得.設(shè)所求的角為，則為銳角，則，即所求的二面角的余弦值為.6、如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】（1）由題設(shè)可得，從而又是直角

10、三角形，所以取的中點(diǎn)，連結(jié)，則又由于是正三角形，故所以為二面角的平面角在中，又，所以，故所以平面平面（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點(diǎn)，得，故設(shè)是平面的法向量，則同理可取則所以二面角的余弦值為考向二 用坐標(biāo)法求點(diǎn)面距1、在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，2），D1（0，0，

11、2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1），（2，0，1），（0，2，0），（0，1），設(shè)平面D1EF的法向量（x，y，z），則 ，取x1，得（1，0，2），點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為 ，選D2、在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（bie nao）.已知在鱉臑中，平面，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_【答案】【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則 ,由為的中點(diǎn)可得;, .設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,即，令，可得，點(diǎn)到平面的距離為.3、邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，沿BC邊高線A

12、D折起，使得折后二面角BADC為60，點(diǎn)D到平面ABC的距離為_【答案】eq f(r(15),10)【解析】如圖所示，AD平面BCD，ADeq f(r(3),2)，BDCDBCeq f(1,2)，VABCDeq f(1,3)ADSBCD.又VABCDVDABCeq f(1,3)hSABC，由等積法可解得heq f(r(15),10).4、如圖所示，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上移動(dòng)（1）證明：；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；【答案】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則， 證明：因，則，即 ；5、如圖：正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，二面角的大小為；（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若是線段上的一點(diǎn) ，