1第一章復數(shù)與復變函數(shù)1.5

1、1.5 復變函數(shù)一、基本概念二、圖形表示三、極限四、連續(xù)一、基本概念 在以后的討論中，D 常常是一個平面區(qū)域，稱之為定義域。按照一定法則，有確定的復數(shù) w 與它對應，一般情形下，所討論的“函數(shù)”都是指單值函數(shù)。上定義一個復變函數(shù)，記作定義設 D 是復平面上的一個點集，對于 D 中任意的一點 ，z對每個 有唯一的 w 與它對應； 單值函數(shù)比如 多值函數(shù)對每個 有多個 w 與它對應；比如則稱在 D一、基本概念 一個復變函數(shù)對應于兩個二元實變函數(shù)。分析則 可以寫成設 其中， 與 為實值二元函數(shù)。分開上式的實部與虛部得到分開實部與虛部即得代入 得解記 P21 例1.13 GG二、圖形表示C映射復變函數(shù)

2、 在幾何上被看作是把 z 平面上的一個平面z平面w點集 變到 w 平面上的一個點集 的映射(或者變換)。其中，點集 稱為像，點集 稱為原像。 函數(shù)、映射以及變換可視為同一個概念。(分析)(幾何)(代數(shù))Dzxywuv二、圖形表示反函數(shù)與逆映射雙方單值與一一映射為 w 平面上的點集 G，設函數(shù) 的定義域為 z 平面上的點集 D，值域的一個(或幾個)點 z，一個函數(shù)它稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射。若映射 與它的逆映射 都是單值的，則稱映射 是雙方單值的或者一一映射。則 G 中的每個點 w 必將對應著 D 中按照函數(shù)的定義，在 G 上就確定了解(1) 點 對應的像(點)為 (2) 區(qū)域

3、D 可改寫為：令則可得區(qū)域 D 的像(區(qū)域)G 滿足即P22 函數(shù) 對應于兩個二元實變函數(shù)例因此，它把 z 平面上的兩族雙曲線分別映射成 w 平面上的兩族平行直線xy1-1-11-6-10-8-4-2246810-10-8-6-4-2uv1010-10-102468100c1c20三、極限定義設函數(shù) 在 的去心鄰域 內(nèi)有定義 ,若存在復數(shù)使得當 時，有記作或注(1) 函數(shù) 在 點可以無定義；(2) 趨向于 的方式是任意的。則稱 A 為函數(shù) 當 z 趨向于 z0 時的極限， P23定義 1.1 xyz0d幾何意義三、極限它的像點 就落在 A 的預先給定的 e 鄰域內(nèi)。uvAe 當變點 一旦進入

4、的充分小的 d 鄰域時,z0zf (z)z性質如果則三、極限定理三、極限設證明如果則當時，則必要性 “ ” P23定理 1.1 (跳過?)證明充分性 “ ”則當 時，如果定理設三、極限則三、極限 關于含 的極限作如下規(guī)定：(3) 所關心的兩個問題：(1) 如何證明極限存在？(2) 如何證明極限不存在？選擇不同的路徑進行攻擊。放大技巧 。(1)(2)xy討論函數(shù) 在 的極限。例當 時，當 時，因此極限不存在。解方法一 P24 例1.15 解當 時，當 時，因此極限不存在。方法二xy方法三沿著射線與 有關，因此極限不存在。討論函數(shù) 在 的極限。例xy四、連續(xù)定義則稱 在 點連續(xù)。若z0若 在區(qū)域

5、D 內(nèi)處處連續(xù)，則稱 在 D 內(nèi)連續(xù)。注 (1) 連續(xù)的三個要素：存在；存在；相等。(2) 連續(xù)的等價表示：其中，(3) 一旦知道函數(shù)連續(xù)，反過來可以用來求函數(shù)的極限。通常說：當自變量充分靠近時，函數(shù)值充分靠近。 P24定義 1.2 性質四、連續(xù)(1) 在 連續(xù)的兩個函數(shù) 與 的和、差、積、商(分母在 不為零)在 處連續(xù)。z0z0z0(2) 如果函數(shù) 在 處連續(xù)，函數(shù) 在連續(xù)，則函數(shù) 在 處連續(xù)。z0z0(由基本初等函數(shù)的連續(xù)性可得初等函數(shù)的連續(xù)性)(3) 如果函數(shù) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則 P26證(略) 例證明在復平面上除去原點和負實軸的區(qū)域上連續(xù)。討論函數(shù) 的連續(xù)性。例(當 時)故函數(shù) 處處連續(xù)。解yxez0d P2