數(shù)列的綜應(yīng)用高考數(shù)學(xué)（理）熱點型和提分秘籍（解析版）

1、1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題熱點題型一 公式法求和例1、等比數(shù)列an中，已知a12，a416。(1)求數(shù)列an的通項公式。(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列bn的第4項和第16項，試求數(shù)列bn的通項公式及前n項和Sn。【提分秘籍】幾類可以使用公式求和的數(shù)列(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加、減構(gòu)成的數(shù)列，它們可以使用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解。(2)奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列或者等比數(shù)列的，可以分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的

2、求和公式求解?！九e一反三】 已知an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示an的前n項和。(1)求an及Sn。(2)設(shè)bn是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2(a41)qS40。求bn的通項公式及其前n項和Tn。熱點題型二 分組法求和例2、已知數(shù)列an的前n項和Sneq f(n2n,2)，nN*。(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項和。解析：(1)當(dāng)n1時，a1S11；當(dāng)n2時，anSnSn1eq f(n2n,2)eq f(n12n1,2)n。故數(shù)列an的通項公式為ann。(2)由(1)知，bn2n(1)nn。記數(shù)列bn的前2n項和為T2n，則T2

3、n(212222n)(12342n)。記A212222n，B12342n，則Aeq f(2122n,12)22n12，B(12)(34)(2n1)2nn。故數(shù)列bn的前2n項和T2nAB22n1n2?！咎岱置丶?分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和。(2)通項公式為aneq blcrc (avs4alco1(bn，n為奇數(shù),cn，n為偶數(shù))的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和。提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的

4、討論。學(xué)科*網(wǎng)【舉一反三】 在等比數(shù)列an中，已知a13，公比q1，等差數(shù)列bn滿足b1a1，b4a2，b13a3。(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；(2)記cn(1)nbnan，求數(shù)列cn的前n項和Sn。解析：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，等差數(shù)列bn的公差為d。由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d，故eq blcrc (avs4alco1(3q33d,3q2312d)eq blcrc (avs4alco1(q1d,q214d)q3或1(舍去)。所以d2，所以an3n，bn2n1。熱點題型三 裂項相消法求和例3【2017課標(biāo)II，理15】等差數(shù)列的前項和為，則

5、 ?！敬鸢浮俊究键c】 等差數(shù)列前n項和公式；裂項求和。【變式探究】已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時，其前n項和Sn滿足Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)。(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bneq f(Sn,2n1)，求bn的前n項和Tn。解析：(1)Seq oal(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，anSnSn1，(n2)，Seq oal(2,n)(SnSn1)eq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得eq f(1,S

6、n)eq f(1,Sn1)2，數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是首項為eq f(1,S1)eq f(1,a1)1，公差為2的等差數(shù)列。 eq f(1,Sn)12(n1)2n1，Sneq f(1,2n1)。(2)又bneq f(Sn,2n1)eq f(1,2n12n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，Tnb1b2bneq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)blc(rc)(avs4alco

7、1(f(1,2n1)f(1,2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)eq f(n,2n1)?！咎岱置丶砍Ｒ姷牧秧椃椒?其中n為正整數(shù))數(shù)列裂項方法eq blcrc(avs4alco1(f(1,nnk)(k為非零常數(shù))eq f(1,nnk)eq f(1,k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,nk)eq blcrc(avs4alco1(f(1,4n21)eq f(1,4n21)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)eq blcrc(avs4alco1(f(1,nn1n2

8、)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,nn1)f(1,n1n2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,r(n)r(nk)eq f(1,r(n)r(nk)eq f(1,k)(eq r(nk)eq r(n)eq blcrc(avs4alco1(logablc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)a0，a1logaeq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)loga(n1)logan【舉一反三】 在等比數(shù)列an(nN*)中，a11，公比q0，設(shè)bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50。(1)求an的通項an。(2)若cneq f(1,n

9、bn6)，求cn的前n項和Sn。(2)由(1)知bnlog2anlog225n5n。所以cneq f(1,nn1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1)，所以Sneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1)f(1,2)f(1,2)f(1,3)f(1,n)f(1,n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1)f(1,n1)eq f(n,n1)。熱點題型四 錯位相減法求和例4、【2017山東，理19】已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x

10、1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）所以+=+ = 1 * GB3 又+ = 2 * GB3 = 1 * GB3 - = 2 * GB3 得= 所以【變式探究】已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0。(1)令cneq f(an,bn)，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn?！咎岱置丶坷缅e位相減法的解題策略一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減

11、法求和，一般是在和式的兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解。若bn的公比為參數(shù)(字母)，則應(yīng)對公比分等于1和不等于1兩種情況分別求和。學(xué)科*網(wǎng)【舉一反三】 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2n2an。(1)證明：數(shù)列an2是等比數(shù)列。并求數(shù)列an的通項公式an。(2)若數(shù)列bn滿足bnlog2(an2)，設(shè)Tn是數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(bn,an2)的前n項和。求證：Tneq f(3,2)。(2)由bnlog2(an2)log22n1n1，得eq f(bn,an2)eq f(n1,2n1)，則Tneq f(2,22)eq f(3,23)eq f(n1,2n1)

12、， Tneq f(2,23)eq f(n,2n1)eq f(n1,2n2)，得eq f(1,2)Tneq f(2,22)eq f(1,23)eq f(1,24)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)eq f(1,4)eq f(f(1,4)blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(n1,2n2)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,2n1)eq f(n1,2n2)eq f(3,4)eq f(n3,2n2)。所以Tneq f(3,2)eq f(n3,2n1)100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D

13、110【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：2.【2017課標(biāo)II，理15】等差數(shù)列的前項和為，則 。【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，由題意有 ，解得 ，數(shù)列的前n項和，裂項可得，所以3.【2017山東，理19】已知xn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）所以+=+ = 1 * GB3 又+ = 2 * GB3 = 1 *

14、GB3 - = 2 * GB3 得= 所以1.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）已知數(shù)列 的前n項和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項公式；（）令 求數(shù)列的前n項和Tn.【答案】（）；（）.（）由（）知，又，得，兩式作差，得所以【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為 【答案】【解析】由題意得：所以【2015高考天津，理18】（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(I)求的值和的通項公式；(II)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(I) ; (II) .(II) 由(I)得，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，兩式相減得，整理得所以數(shù)列的前項和為.學(xué)科

15、*網(wǎng)【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因為，所以.于是，使成立的n的最小值為10.【2015高考新課標(biāo)1，理17】為數(shù)列的前項和.已知0，= QUOTE .（）求的通項公式；（）設(shè) QUOTE ,求數(shù)列的前項和.【答案】（）（）1（2014江西卷）已知首項都是1的兩個數(shù)列an，bn(bn0，nN*)滿足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cneq f(an,bn)，求數(shù)列cn的通項公式；(2)若bn3n1，求數(shù)列an的前n項和Sn

16、.【解析】(1)因為anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以eq f(an1,bn1)eq f(an,bn)2，即cn1cn2，所以數(shù)列cn是以c11為首項，d2為公差的等差數(shù)列，故cn2n1.(2)由bn3n1，知an(2n1)3n1，于是數(shù)列an的前n項和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，將兩式相減得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.2（2014全國卷）等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a110，a2為整數(shù)，且SnS4.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bneq f(1

17、,anan1)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.3（2014山東卷）已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(1)n1eq f(4n,anan1)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】 (1)因為S1a1，S22a1eq f(21,2)22a12，S44a1eq f(43,2)24a112，由題意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)由題意可知，bn(1)n1eq f(4n,anan1)(1)n1eq f(4n,（2n1）（2n1）)(1)n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1

18、)f(1,2n1).當(dāng)n為偶數(shù)時，Tneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)eq blc(avs4alco1(f(1,2n3)eq blc rc)(avs4alco1(f(1,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)1eq f(1,2n1)eq f(2n,2n1).當(dāng)n為奇數(shù)時，Tneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(1,5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n3)f(1,2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)1eq f(1,2n1)eq f(2n2,2n1).所以Tneq blc(avs4alco1(f(2n