數(shù)學(xué) 一元二次方程的專項 培優(yōu) 易錯 難題練習(xí)題含詳細(xì)答案

1、一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)如圖，A、B、C、D為矩形的4個頂點(diǎn)，AB=16cm,BC=6cm，動點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動.若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過2s時P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少cm?(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，問經(jīng)過多長時間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?若點(diǎn)P沿著ABTBCTCD移動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D停止時，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間厶PBQ的面積

2、為12cm2?【答案】(1)PQ=6p2cm；(2)5s或辛s；(3)經(jīng)過4秒或6秒厶PBQ的面積為12cm2.【解析】試題分析：(1)作PE丄CD于E,表示出PQ的長度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm.在RtAPEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程(16-5x)2=64，通過解方程即可求得x的值；分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在AB上時；當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上；當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時.則根據(jù)題意，得EQ=16-2x3-2x2=6(cm)，PE=AD=6cm；在RtAPEQ中，根據(jù)勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，二PQ=6*2cm；經(jīng)過2s時

3、P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6邁cm(2)設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm.(16-2x-3x)2+62=102，即(16-5x)2=64，16-5x=8,x824X=，x=1525；824經(jīng)過5s或丁sP、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；(3)連接BQ.設(shè)經(jīng)過ys后厶PBQ的面積為12cm2.16當(dāng)0y時，則PB=16-3y，11.-PBBC=12，即-x(16-3y)x6=12,解得y=4；1622當(dāng)x丁時，BP=3y-AB=3y-16,QC=2y，則11-BPCQ=-(3y-16)x2y=12，2解得yT=6，y2=-3(舍去)；232x0且aH6;(2)a的值為7、8、9或12.【解析】【分

4、析】1)根據(jù)一元二次方程的定義及一元二次方程的解與判別式之間的關(guān)系解答即可；(2)由(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=2aa根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得xi+x2=-az6，xix2=0T6是是負(fù)整數(shù)，6即可得三是正整數(shù)根據(jù)a是整數(shù)，即可求得a的值2【詳解】()原方程有兩實數(shù)根,A=(2a)J-4pa0a0且aH6(2)vX、x2是關(guān)于x的一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的兩個實數(shù)根,x,_1=_X+x2-Xx2-簞，(、/、.a.2a6(xi+l)(x2+1)二乂占+乂嚴(yán):+丄二：-+=-:.v(x1+1)(x2+1)是負(fù)整數(shù)，-是負(fù)整數(shù)，即是正整數(shù).a-6Ta是整數(shù)，

5、a-6的值為1、2、3或6,a的值為7、8、9或12.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于a的不等式是解此題的關(guān)鍵.計算題x21(1)先化簡，再求值：=(1+)，其中x=2017.x-1x2-1(2)已知方程X2-2x+m-3=0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值.【答案】(1)2018；(2)m=4【解析】分析：(1)根據(jù)分式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，先算括號里面的，再算除法，注意因式分解的作用；(2)根據(jù)一元二次方程的根的判別式求解即可.詳解：1)x21口二1+百x2x2-1+1x-1x2-1x2(x+1)(x-1)x-1x2=x+1，當(dāng)x=2017

6、時，原式=2017+1=2018(2)解：T方程x2-2x+m-3=0有兩個相等的實數(shù)根，=(-2)2-4x1x(m-3)=0，解得，m=4點(diǎn)睛：此題主要考查了分式的混合運(yùn)算和一元二次方程的根的判別式，關(guān)鍵是熟記分式方程的運(yùn)算順序和法則，注意通分約分的作用.“父母恩深重，恩憐無歇時”，每年5月的第二個星期日即為母親節(jié)，節(jié)日前夕巴蜀中學(xué)學(xué)生會計劃采購一批鮮花禮盒贈送給媽媽們.經(jīng)過和花店賣家議價，可在原標(biāo)價的基礎(chǔ)上打八折購進(jìn)，若在花店購買80個禮盒最多花費(fèi)7680元，請求出每個禮盒在花店的最高標(biāo)價；(用不等式解答)后來學(xué)生會了解到通過“大眾點(diǎn)評”或“美團(tuán)”同城配送會在(1)中花店最高售價的基礎(chǔ)上降

7、價25%，學(xué)生會計劃在這兩個網(wǎng)站上分別購買相同數(shù)量的禮盒，但實際購買過程5中，大眾點(diǎn)評網(wǎng)上的購買價格比原有價格上漲m%，購買數(shù)量和原計劃一樣：“美團(tuán)網(wǎng)15上的購買價格比原有價格下降了20m元，購買數(shù)量在原計劃基礎(chǔ)上增加15m%,最終，在兩個網(wǎng)站的實際消費(fèi)總額比原計劃的預(yù)算總額增加了m%，求出m的值.答案】(1)120；(2)20解析】試題分析：(1)本題介紹兩種解法：解法一：設(shè)標(biāo)價為x元，列不等式為0.8x80W7680，解出即可；解法二：根據(jù)單價=總價一數(shù)量先求出1個禮盒最多花費(fèi)，再除以折扣可求出每個禮盒在花店的最高標(biāo)價；(2)先假設(shè)學(xué)生會計劃在這兩個網(wǎng)站上分別購買的禮盒數(shù)為a個禮盒，表示在

8、大眾點(diǎn)評網(wǎng)上的購買實際消費(fèi)總額：120a(1-25%)(1+2m%)，在“美團(tuán)網(wǎng)上的購買實際消費(fèi)總額：a120(1-25%)-20m(1+15m%)根據(jù)“在兩個網(wǎng)站的實際消費(fèi)總額比原計劃的預(yù)算總額增加了15m%”列方程解出即可.試題解析：(1)解：解法一：設(shè)標(biāo)價為x元，列不等式為0.8x80W7680,x0；(2)m=-1,-3.【解析】分析：(1)先計算判別式得到=(m-3)2-4m(-3)=(m+3)2,利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；3(2)利用公式法可求出x1=,x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值.1m2詳解：(1)證明：TmHO,方程mx2+(m-3)

9、x-3=O(mHO)是關(guān)于x的一元二次方程，=(m-3)2-4mx(-3)=(m+3)2，(m+3)20,即厶0,.方程總有兩個實數(shù)根；-(3-m)(m+3)(2)解：Tx=2m3X1=-，x_=1,1m2Tm為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，.m=-1或-3.點(diǎn)睛:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的根的判別式=b2-4ac：當(dāng)厶0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)厶40,即厶0.關(guān)于x的方程x2(m+2)x+(2m1)=0恒有兩個不相等的實數(shù)根.(2)T此方程的一個根是1，.121x(m+2)+(2m1)=0，解得，m=2，則方程的另一根為：m

10、+21=2+1=3.當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時，由勾股定理得斜邊的長度為J10，該直角三角形的周長為1+3+J10=4+0.當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2邁；則該直角三角形的周長為1+3+2邁=4+2邁.8閱讀材料:若m2一2mn+2n2一8n+16=0，求m、n的值.解：m2一2mn+2n2一8n+16=0,(m2一2mn+n2)+(n2一8n+16)=0(m一n)2+(n一4)2=0,m一n=0,n一4=0,n=4,m=4.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題:己知x2+2xy+2y2+2y+1二0，求x一y的值.已知ABC的三邊長a、

11、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-6a-8b+25=0，求邊c的最大值.若己知a一b=4,ab+c2一6c+13=0,求a一b+c的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】將多項式第三項分項后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出x與y的值，即可求出x-y的值；將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長；由a-b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡，根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)之和為0,兩非負(fù)數(shù)分別為0求

12、出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a-b+c的值【詳解】(1)vx2+2xy+2y2+2y+1=0二(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0 x+y=0y+1=0解得：x=1,y=-1.x-y=2；(2)va2+b2-6a-8b+25=0.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0.(a-3)2+(b-4)2=0.a-3=0，b-4=0解得：a=3,b=4t三角形兩邊之和第三邊Aca+b,cV3+4,二cV7.又:c是正整數(shù)，：ABC的最大邊c的值為4,5,6,二c的最大值為6；(3)ta-b=4,即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2-6c+13=

13、0，整理得：(b2+4b+4)+(C2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,ab+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2，則a-b+c=2-(-2)+3=7.故答案為7.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用,以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì),熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵.將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元售出,能售出500件,如果該商品漲價1元,其銷售量就要減少10件,為了賺取8000元的利潤,售價應(yīng)定為多少元？這時應(yīng)進(jìn)貨多少件？【答案】要賺取8000元的利潤,售價應(yīng)定為60元或80元.售價定為60元時,應(yīng)進(jìn)貨400件；售價定為80元時,應(yīng)進(jìn)貨200件.【解析】【分析】設(shè)每件商品漲價x元，

14、能賺得8000元的利潤；銷售單價為(50+x)元，銷售量為(500-10 x)件；每件的利潤為根據(jù)為(50+X-40)元，根據(jù)總利潤=銷售量x每個利潤，可列方程求解【詳解】解：設(shè)每件商品漲價x元，則銷售單價為(50+x)元，銷售量為(500-10 x)件.根據(jù)題意，得(500-10X)(50+x)-40=8000.解得x二10,x=30.12經(jīng)檢驗，x1=10，x2=30都符合題意當(dāng)x=10時，50+x=60,500一10 x=400；當(dāng)x=30時，50+x=80,500一10 x=200.所以，要賺取8000元的利潤，售價應(yīng)定為60元或80元.售價定為60元時，應(yīng)進(jìn)貨400件；售價定為80元

15、時，應(yīng)進(jìn)貨200件【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵看到售價和銷售量的關(guān)系，然后以利潤做為等量關(guān)系列方程求解若兩個一次函數(shù)的圖象與x軸交于同一點(diǎn)，則稱這兩個函數(shù)為一對“x牽手函數(shù)”，這個交點(diǎn)為“x牽手點(diǎn)(1)一次函數(shù)y=x-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；一次函數(shù)y=ax+2與一次函數(shù)y=x-1為一對“x牽手函數(shù)，則a=；(2)已知一對“x牽手函數(shù)”：y=ax+1與y=x-1，其中a,b為一元二次方程X2-kx+k-4=0的兩根，求它們的“x牽手點(diǎn)”.11【答案】(1)(1,0),a=-2；(2)“x牽手點(diǎn)為(一2，0)或(2，0)-【解析】【分析】根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求一次函數(shù)y=x-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；把一次函數(shù)y=x-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax+2可求a的值；根據(jù)“X牽手函數(shù)的定義得到a+b=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得k=0,可得方程X2-4=0，解得X=2,x2=-2,再分兩種情況：若a=2,b=-2,若a=-2,b=2，進(jìn)行討論可求它們的“X牽手點(diǎn)【詳解】解：(1)當(dāng)y=0時，即x-1=0,所以x=1,即一次函數(shù)y=x-1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),由于一次函數(shù)y=ax+2與一次函數(shù)y=x-1為一對“x牽手函數(shù)，所以